橫向分布載荷作用下雙模量簡(jiǎn)支梁的級(jí)數(shù)解

韓朝暉

（湖南文理學(xué)院，湖南 常德 415000）

0 引言

隨著新材料的不斷涌現(xiàn)，有許多材料受拉和受壓時(shí)變形模量相差較大，在不同應(yīng)力狀態(tài)下需要考慮其不同的本構(gòu)關(guān)系，成為了當(dāng)前研究熱點(diǎn)，吸引了廣大學(xué)者注意力。Medri G建立了考慮受拉受壓不同變形模量各向同性材料的非線性模型[1]、Bert CW等[2]、Srinivasan RS[3]研究了受拉受壓不同變形模量材料板的振動(dòng)；李戰(zhàn)莉等[4]、曾紀(jì)杰[5]、蔡來(lái)生等[6]建立了受拉受壓不同變形模量材料的本構(gòu)關(guān)系；吳曉等[7]考慮材料的雙模量特性，分析了雙模量圓板的彎曲變形；羅戰(zhàn)友等[8]建立了不同拉壓模量及軟化特性材料的柱形孔擴(kuò)張問(wèn)題的統(tǒng)一解；Ambartsumyan SA[9]、高潮等[10]和吳曉等[11-12]對(duì)不同拉壓模量板、梁[13-14]的彈性理論解開展了研究；吳曉等[15]和韓朝暉等[16-18]考慮剪切效應(yīng)建立了不同拉壓模量材料的彈性理論。本文考慮雙模量材料特性，利用奇異函數(shù)對(duì)分布載荷作用下不同拉壓模量梁的平面應(yīng)力問(wèn)題進(jìn)行了研究，

并推導(dǎo)出了雙模量簡(jiǎn)支梁應(yīng)力公式的級(jí)數(shù)解。

1 應(yīng)力函數(shù)

如圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁。

圖1 雙模量簡(jiǎn)支梁

其拉伸區(qū)和壓縮區(qū)的應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足協(xié)調(diào)方程：

式中：i=1時(shí)代表拉伸區(qū)，i=2時(shí)代表壓縮區(qū)。以下類同。令式（1）的解為

將式（2）代入式（1）可得

由式（3）可得

由式（4）可以求得：

將式（6）代入式（3）可得

由式（7）可以求得

所以，雙模量簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力函數(shù)為

對(duì)于圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁，在梁兩端x=0和x=l時(shí)，有

故圖1所示雙模量簡(jiǎn)支梁應(yīng)力函數(shù)通解為

2 應(yīng)力公式

對(duì)于圖1所示工程中常見的線性分布載荷可用奇異函數(shù)表示為如下形式：

其中，奇異函數(shù)運(yùn)算規(guī)則為

利用傅里葉級(jí)數(shù)可把式（13）展開為如下形式：

由式（12）可知雙模量簡(jiǎn)支梁拉伸區(qū)和壓縮區(qū)的應(yīng)力分別為：

雙模量簡(jiǎn)支梁的邊界條件及中性層連續(xù)條件分別為

將（16）代入式（17）可得

利用式（18）可以求得

式中：

將式（19）代入式（16）即可得到雙模量簡(jiǎn)支梁在橫向分布載荷作用下的應(yīng)力表達(dá)式。

3 中性軸位置的確定

雙模量梁在外荷載作用下彎曲時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系為

式中：E1為拉伸區(qū)的彈性模量；E2為壓縮區(qū)的彈性模量。

如圖2所示任意荷載作用下的簡(jiǎn)支梁，對(duì)B點(diǎn)的力矩平衡方程為

所以，

圖2 任意荷載作用下簡(jiǎn)支梁

這樣，由簡(jiǎn)支梁的支座反力，就可以得到各個(gè)截面的彎矩表達(dá)式。

彎曲時(shí)雙模量梁的力矢和力矩平衡方程分別為：

將式（20）代入（21）中，可得

式中：h1為拉伸區(qū)高度；h2為壓縮區(qū)高度；H=

由式（22）可知，雙模量梁中性軸的位置與作用在梁的橫向載荷無(wú)關(guān)。

4 算例分析與討論

設(shè)某雙模量簡(jiǎn)支梁的b=1，E1=93.2 GPa，E2=124.36 GPa。采用本文方法計(jì)算中點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力，如表1~表4所示。

為驗(yàn)證本文方法，采用ANSYS有限元程序?qū)﹄p模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的最大拉應(yīng)力及最大壓應(yīng)力也進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果一并列入表1~表4。

表1 qa=qb，a=0，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

表2 qb=2qa，a=0，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

表 3 qa=qb，a=，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

表 3 qa=qb，a=，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

參數(shù) 方法 l=h l=2h l=3h l=4h l=5h l=6h σx1本文方法 0.72 2.83 6.35 11.27 17.58 25.29 ANSYS 0.69 2.79 6.28 11.21 17.49 25.18 E1=E2=93.2 GPa 0.65 2.63 5.91 10.50 16.41 23.63 E1=E2=124.36 GPa 0.65 2.63 5.91 10.50 16.41 23.63 σx2本文方法 0.63 2.49 5.59 9.89 15.49 22.25 ANSYS 0.60 2.45 5.52 9.80 15.38 22.13 E1=E2=93.2 GPa 0.65 2.63 5.91 10.50 16.41 23.63 E1=E2=124.36 GPa 0.65 2.63 5.91 10.50 16.41 23.63

表 4 qb=2qa，a=，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

表 4 qb=2qa，a=，b=l時(shí)雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力

注：表1~表4中E1=E2=93.2 GPa、E1=E2=124.36 GPa是材料力學(xué)方法。

參數(shù) 方法 l=h l=2h l=3h l=4h l=5h l=6h σx1本文方法 0.95 3.77 8.48 15.02 23.45 33.71 ANSYS 0.92 3.71 8.39 14.91 23.29 33.45 E1=E2=93.2 GPa 0.88 3.50 7.88 14.00 21.88 31.50 E1=E2=124.36 GPa 0.88 3.50 7.88 14.00 21.88 31.50 σx2本文方法 0.82 3.30 7.43 13.20 20.58 29.68 ANSYS 0.80 3.26 7.35 13.09 20.46 29.42 E1=E2=93.2 GPa 0.88 3.50 7.88 14.00 21.88 31.50 E1=E2=124.36 GPa 0.88 3.50 7.88 14.00 21.88 31.50

本文把雙模量梁應(yīng)力公式的級(jí)數(shù)解、有限元法、材料力學(xué)方法計(jì)算的結(jié)果均列在表1~表4中，以便分析對(duì)比三種方法計(jì)算結(jié)果的計(jì)算精度。

由表1~表4可知，采用奇異函數(shù)研究分布載荷作用在雙模量簡(jiǎn)支梁上任意梁段上的彎曲變形都是很方便的。本文方法與有限元法的計(jì)算結(jié)果相差不大，驗(yàn)證了本文方法的正確性。

相同彈性模量彈性理論與本文雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處彎曲應(yīng)力的級(jí)數(shù)解誤差均在5%以上。對(duì)于雙模量梁而言，采用單模量彈性理論研究雙模量梁的彎曲應(yīng)力，拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力絕對(duì)值是相等的，因?yàn)閱文Ａ繌椥岳碚摯_定的梁的中性軸位置是在梁橫截面高度的中點(diǎn)處。而事實(shí)上，雙模量梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力絕對(duì)值是不相等的，是隨雙模量簡(jiǎn)支梁拉壓區(qū)的彈性模量變化而變化的，即雙模量彈性理論確定的梁的中性軸位置不在梁橫截面高度的中點(diǎn)處，從而導(dǎo)致雙模量梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力絕對(duì)值不相等。在本文中，雙模量簡(jiǎn)支梁的拉壓區(qū)的彎曲應(yīng)力相差均達(dá)10%以上。所以，雙模量簡(jiǎn)支梁的平面應(yīng)力問(wèn)題，不宜采用相同彈性模量彈性理論，而應(yīng)該采用雙模量彈性理論。

由于長(zhǎng)高比的增大使得彎矩變大，因而，在外載荷作用下，雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力隨著長(zhǎng)高比的增大而增大。

由于分布載荷作用下的彎矩大于均布載荷，相應(yīng)的，雙模量簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的彎曲應(yīng)力大于均布載荷。

由表3、表4可以看出，對(duì)于拉伸區(qū)的彎曲應(yīng)力，材料力學(xué)方法與本文方法計(jì)算結(jié)果相差不大，壓縮區(qū)的彎曲應(yīng)力則誤差較大，大于50%，說(shuō)明了材料力學(xué)方法計(jì)算雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力的局限性。

5 結(jié)論

（1）采用奇異函數(shù)研究分布載荷作用在雙模量簡(jiǎn)支梁上任意梁段上的彎曲變形都是很方便的。本文證明了雙模量梁中性軸的位置與作用在梁的橫向載荷無(wú)關(guān)。

（2）采用奇異函數(shù)研究雙模量簡(jiǎn)支梁彎曲應(yīng)力，具有較高的計(jì)算精度。

（3）對(duì)于拉壓彈性模量相差較大的簡(jiǎn)支梁，其平面應(yīng)力計(jì)算要采用雙模量彈性理論。

（4）在外載荷作用下，雙模量簡(jiǎn)支梁的彎曲應(yīng)力隨著長(zhǎng)高比的增大而增大；均布載荷作用下的彎曲應(yīng)力小于分布載荷作用。