平移傳遞　巧尋“存在”

佘小莉

探討平行四邊形的存在性問題是近年來(lái)數(shù)學(xué)中考的熱點(diǎn)。本文介紹一種坐標(biāo)平移策略，可以幫我們簡(jiǎn)潔明了地解決平行四邊形的存在性問題。

策略呈現(xiàn) 如圖1，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是坐標(biāo)平面內(nèi)不在同一直線上的三點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)。

【解析】首先，四邊形四個(gè)頂點(diǎn)排序未定，可以分別以△ABC三條邊AB、AC、BC為對(duì)角線作為分類依據(jù)進(jìn)行討論（如圖2）。

其次，若以BC作為對(duì)角線，把[?ABD1C]的一組對(duì)邊AC、BD1看成線段AC平移至BD1處，點(diǎn)A→B，橫、縱坐標(biāo)分別增加x2-x1、y2-y1，根據(jù)坐標(biāo)平移的性質(zhì)，點(diǎn)C→D1，橫、縱坐標(biāo)也分別增加x2-x1、y2-y1，所以D1坐標(biāo)為（x2+x3-x1，y2+y3-y1）。

最后，以AC、AB為對(duì)角線的兩種情形，同理，求出D2、D3坐標(biāo)分別為（x1+x3-x2，y1+y3-y2）、（x1+x2-x3，y1+y2-y3）。

策略應(yīng)用 （2012·黑龍江綏化）如圖3，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）。（1）求G點(diǎn)坐標(biāo);（2）求直線EF解析式;（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

【解析】（1）根據(jù)折疊等已知條件得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1。在Rt△BFG中，BG=[3]。所以G點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4-[3]）。

（2）如圖4，過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，設(shè)OE=m，在Rt△GEP中，EG2=GP2+EP2，即（4-m）2=32+（4-[3]-m）2，解得m=4[-23]。根據(jù)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，解得直線EF的解析式為y=[3]x+4[-23]。

（3）設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（a，0），分別以△NFG三條邊NF、NG、FG為對(duì)角線分三種情形展開討論。

情形一：以NF為對(duì)角線，應(yīng)用坐標(biāo)平移策略，點(diǎn)G→N，橫、縱坐標(biāo)分別增加a-3、[3]-4，點(diǎn)F→M，橫、縱坐標(biāo)也分別增加a-3、[3]-4，則點(diǎn)M坐標(biāo)為（a-3+2，[3]-4+4），即為（a-1，[3]），代入直線EF解析式y(tǒng)=[3]x+4[-23]，解得a-1=[9-433]，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（[9-433]，[3]）。

情形二：以NG為對(duì)角線，同理，應(yīng)用坐標(biāo)平移策略，點(diǎn)M坐標(biāo)為（a+1，[-3]），代入直線EF解析式，求出a+1的值，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（[3-433]，[-3]）。

情形三：以FG為對(duì)角線，同理，應(yīng)用坐標(biāo)平移策略，點(diǎn)M坐標(biāo)為（5-a，8[-3]），代入直線EF解析式，求出5-a的值，得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（[3+433]，8[-3]）。

綜上所述，點(diǎn)M存在，坐標(biāo)分別為（[9-433]，[3]）、（[3-433]，[-3]）和（[3+433]，8[-3]）。

總結(jié) 坐標(biāo)平移策略可以避免畫圖的“煩惱”，回避了復(fù)雜圖形的分析推理，而且考慮全面、不易遺漏。這種策略不僅適用于多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的探討，也適用于菱形、矩形、正方形存在性的探討。隨著日后學(xué)習(xí)的深入，當(dāng)平行四邊形與其他問題相結(jié)合時(shí)，越發(fā)可以顯示它的“威力”。

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市梅嶺中學(xué)）