試論線性代數(shù)學(xué)習(xí)障礙及解決策略

(山西廣播電視大學(xué)，山西 太原 030027)

《線性代數(shù)》課程是國(guó)家開放大學(xué)(原中央廣播電視大學(xué))土木工程專業(yè)(本科)、水利水電專業(yè)(本科)統(tǒng)設(shè)必修課程《工程數(shù)學(xué)》的重要組成部分,在《工程數(shù)學(xué)》課程的終結(jié)性考核中占據(jù)相當(dāng)重要的地位。由于數(shù)學(xué)課程具有高度的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性的顯著特點(diǎn),是人們普遍公認(rèn)的難學(xué)課程,掌握起來具有一定的難度。好多學(xué)生一聽到數(shù)學(xué)兩字就感到發(fā)怵,還沒有進(jìn)入學(xué)習(xí)就產(chǎn)生畏難情緒。所以在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中,如何引導(dǎo)學(xué)生,克服畏難情緒,找到突破課程學(xué)習(xí)難點(diǎn)的金鑰匙就顯得尤為關(guān)鍵。那么破解《線性代數(shù)》課程學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是什么?金鑰匙又在哪里呢?

經(jīng)過多年的教學(xué)實(shí)踐,筆者認(rèn)為,在教學(xué)中,如果教師能夠充分利用初等行變換在課程中的作用，就是突破《線性代數(shù)》課程學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。根據(jù)學(xué)習(xí)遷移理論,學(xué)習(xí)遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響,或習(xí)得的經(jīng)驗(yàn)對(duì)完成其他活動(dòng)的影響。遷移廣泛存在于各種知識(shí)、技能與社會(huì)規(guī)范的學(xué)習(xí)中。在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中,初等行變換是存在于學(xué)習(xí)始終的一種變換方法,在線性代數(shù)學(xué)習(xí)的始終都在發(fā)揮著重要而無可替代的作用。因此,教師若能夠引導(dǎo)學(xué)生熟練地掌握初等行變換,能夠正確地理解相關(guān)概念,就能夠較好地完成本課程相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

在《線性代數(shù)》課程學(xué)習(xí)中,矩陣、方程組、矩陣的特征值及二次型是核心內(nèi)容,在以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,逆矩陣的求法、矩陣的秩、高斯消元法解方程組及線性方程組的通解、向量組的極大無關(guān)組的確定、特征向量的確定都離不開初等行變換。而在行列式內(nèi)容的學(xué)習(xí)中,我們常常用到的行列式的性質(zhì)2、性質(zhì)3、性質(zhì)5與初等行變換有著異曲同工之處。所以熟練掌握初等行變換方法對(duì)《線性代數(shù)》課程的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。下面我們通過幾個(gè)典型問題來談?wù)劤醯刃凶儞Q在矩陣及線性方程組學(xué)習(xí)中的具體應(yīng)用。

一、求逆矩陣問題

問題1:已知X=AX+B,其中

求X。

分析:由矩陣減法運(yùn)算先求得I-A,之后用初等行變換法求I-A的逆矩陣(I-A)-1,最后X的值為(I-A)-1B。

解:

即

由矩陣乘法運(yùn)算得

二、求矩陣秩的問題

問題2:求矩陣

的秩。

分析:首先對(duì)A進(jìn)行運(yùn)用初等行變換,使其化為階梯形矩陣,則階梯形矩陣的非零行的數(shù)目就是該矩陣的秩。

解:

所以,r(A)=2

三、高斯消元法解線性方程組

問題3:當(dāng)λ取何值時(shí),線性方程組

有解,在有解的情況下,求此方程組的一般解。

分析:首先對(duì)線性方程組的增廣矩陣[A?B]進(jìn)行初等行變換,化為階梯形矩陣后,判斷λ的取值情況,進(jìn)而求出該方程組的一般解。

解:

當(dāng)r(A)=r([A?B])時(shí)方程組有解,所以當(dāng)λ-1=0,即λ=1時(shí)此方程組有解。

此時(shí)方程組的一般解為:

(其中x3,x4為自由未知元)

四、線性方程組解的結(jié)構(gòu)問題

問題4:求齊次線性方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解。

分析:這是一個(gè)典型的齊次線性方程組求通解問題,我們只要按照齊次線性方程組求解方法,先將系數(shù)矩陣經(jīng)初等行變換化為階梯形矩陣,之后確定自由未知元,進(jìn)而求出基礎(chǔ)解系和通解。

解:

由此知x3,x4為自由未知元。

令x3=1,x4=0,得相應(yīng)的解向量為

令x3=0,x4=1,得相應(yīng)的解向量為

所以,{X1,X2}為方程組的基礎(chǔ)解系。

該方程組的通解為:

X=k1X1+k2X2(其中k1,k2為任意常數(shù))

問題5:設(shè)齊次線性方程組

μ為何值時(shí),方程組有非零解?在有非零解時(shí)求其通解。

分析:本問題為齊次線性方程組求解問題。首先對(duì)所給定的齊次線性方程組判定何時(shí)有非零解。根據(jù)定理,當(dāng)系數(shù)矩陣的秩小于方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),齊次線性方程組有非零解。而現(xiàn)在的方程組,參數(shù)μ取值不同,方程組的解隨之不同。當(dāng)參數(shù)的取值滿足系數(shù)矩陣的秩小于方程組未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí),該方程組有非零解。

解:

當(dāng)μ-5=0,即μ=5時(shí),方程組有非零解。

x3為自由未知元,令x3=1,得x2=1,x1=1所以該方程組的基礎(chǔ)解系為

所以該方程組的通解為:

X=kX0(k為任意常數(shù))

問題6:在線性方程組

中,

λ取何值時(shí),此方程組有解?在有解的情況下求出通解。

分析:本題為非齊次線性方程組求解問題。首先對(duì)所給定的非齊次線性方程組判定何時(shí)有解。根據(jù)定理,當(dāng)系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時(shí),非齊次線性方程組有解。而現(xiàn)在的方程組,參數(shù)λ取值不同,方程組分為有解和無解兩種情況。當(dāng)參數(shù)的取值滿足系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩時(shí),該方程組有解。我們還是先從初等行變換做起。

解:

所以,當(dāng)λ+1=0,即λ=-1時(shí),r(A)=r([A?B])=2,此時(shí)方程組有解。

x3為自由未知元,令x3=0,求得x2=1,x1=-2

方程組的特解為:

不計(jì)最后一列,令x3=1,求得x2=-1,x1=-1

方程組的基礎(chǔ)解系為:

所以該方程組的通解為:

X=kX1+X0(k為任意常數(shù))

五、向量組極大無關(guān)組的確定

問題7:設(shè)向量組

求向量組的秩及其一個(gè)極大無關(guān)組。

分析:首先構(gòu)造一個(gè)矩陣

用初等行變換把A化為階梯形矩陣。則非零行的數(shù)目就是向量組的秩,主元所在列對(duì)應(yīng)的原來向量組就是極大無關(guān)組。

在教學(xué)中,學(xué)生主體作用發(fā)揮的程度取決于多種因素的影響,但起決定性作用的依然是教師。教師在教學(xué)中的引領(lǐng)作用發(fā)揮的好,學(xué)生的學(xué)習(xí)就可以少走彎路,比較好地掌握所學(xué)知識(shí)，否則學(xué)生的學(xué)習(xí)就會(huì)事倍功半。這就要求教師對(duì)教材有深入的研究,吃透教材,挖掘出教材當(dāng)中對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起遷移引領(lǐng)作用的線索和知識(shí)點(diǎn),促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的正遷移。