波動率函數(shù)的局部線性K-nn估計

葉緒國，龍偉芳

考慮連續(xù)擴散過程{Xt, 0≤t≤T}的波動率函數(shù)σ2(?)估計問題，且其過程描述為微分方程

dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dWt， （1）

其中，μ(?)和σ(?)分別叫做漂移項與波動率項，Wt是一個標準布朗運動.

目前波動率函數(shù)的非參數(shù)估計研究現(xiàn)已有很多結果［1］.特別地，F(xiàn)an和Yao［2］提出局部線性估計技術估計波動率.然而，當在其支撐內數(shù)據(jù)分布不均，那么帶有固定窗寬的局部線性滑動估計量可能在某個支持區(qū)域內存在極少數(shù)據(jù)，從而導致不穩(wěn)定統(tǒng)計推斷.一些數(shù)據(jù)驅動技術用于解決自動窗寬選擇問題［3］，但涉及繁重的計算，且需要額外的努力實現(xiàn)執(zhí)行.作為核估計的一個備選方法，在估計密度函數(shù)或回歸函數(shù)時，部分學者建議使用帶有隨機窗寬且擁有收斂速度相同的K-nn估計.歐陽德生等人［4］使用其估計回歸函數(shù).然而，局部線性K-nn估計技術并未使用于波動率函數(shù)估計.因此，本文將探討該方法應用于波動率函數(shù)估計，同時建立估計量的漸近性質，并證明了帶有交叉驗證（CV）技術選取參數(shù)k的K-nn估計漸近行為類似于帶有交叉驗證（CV）技術選取參數(shù)k的核估計的表現(xiàn).

1 波動率函數(shù)的局部線性K-nn估計

設Δt為取樣間距，設由模型（1）生成而得歷史數(shù)據(jù)為那么，基于Fan和Zhang，對于模型模型（1）使用Euler近似，可得

其中，εi～i.i.dN(0, 1)，i=1, 2,…,n.現(xiàn)在考慮波動率函數(shù)的局部線性K-nn估計.固定x，定義kn近嶺距離，即所有Xti到x中第kn最近歐氏距離其中表示歐氏距離，且Rn，i=1, 2,…,n}.或者也定義到Xti的kn近嶺距離為所有Xtj(j≠i)到Xti中第kn最近歐氏距離.

如果在公式（2）中函數(shù)m(?)是已知的，于是，基于E(S2|Xt=x)=σ2(x)，我們視估計σ2(x)問題為非參數(shù)估計問題，其中S2=(Y-m(Xt))2.給定來自模型（1）的觀察樣本點{(Xti,Yi), 1≤i≤n}，我們寫S2i=(Yi-m(Xti))2.

定義δ(x)=(σ2(x),σ˙2(x))T，其中σ˙2(x)表示σ2(x)的一階導函數(shù).對于x∈R，δ(x)的局部線性K-nn估計量為

當函數(shù)m(?)一般是未知的，為了得到m(x)和σ2(x)的非參數(shù)估計，利用由歐陽德生等人［4］提出的局部線性K-nn估計技術.令m?(x)=α?1表示m(x)的局部線性K-nn估計量，且具體形式可由解加權最小二乘問題而得，即

從而，δ(Xti)的去一局部線性估計量表示為

定義一個首位元素為1，其他為0的2×1向量e1，定義的去一局部線性估計量.為了更好的估計波動率，應討論如何選擇參數(shù)k，于是，這里提出最小二乘CV方法，即選擇使得函數(shù)CVL(k)最小化

其中，M(?)是支持緊集函數(shù)，以便避免中分母過小.于是是基于公式（6）的參數(shù)k下的σ2(x)局部線性K-nn估計量.

2 估計量的漸近性質

首先，介紹下列一些假設.

A1.存在常數(shù)C，使得E|μ(Xs)|2(p+δ)≤C，E|σ(Xs)|2(p+δ)≤C，?s∈[t-η,t]，其中η是正數(shù)，p是不小于2的正數(shù)，且δ＞0.

A2.函數(shù)m(x)、p(x)和σ2(x)是四階連續(xù)可微.給 定x，p(x)＞0 ，σ2(x)＞0 和 函 數(shù)E(Y4|X=x)是在x處連續(xù)，其中p(x)是Xt的概率密度函數(shù).

A3.M是函數(shù)M(?)的支撐，那么存在δ，有

A4.核函數(shù)K(?)是一個有界對稱非負密度函數(shù). 進 一 步 ，∫K(x)dx= ∫‖x‖＜1K(x)dx=1 ，當‖x‖≥1，K(x)=0，其中‖‖u表示歐氏范數(shù).

對 ?x1,x2∈R，有|K(x1)-K(x2)|≤C|x1-x2|，

A5.假設嚴格平穩(wěn)過程{(Xti,Yi),i=1, …,n}是絕對規(guī)則的，即當j→∞ ，β(j)=，其中是由進 一 步 假 設 ，，其中δ的要求與A1一致，同時我們約定00=0.

A6.對于λ∈(0, 1/2)，k∈[nλ,n1-λ]，且 Λ=[nλ,n1-λ].設Wj= ∫ujK(u)du和Vj= ∫ujK2(u)du.設表示CVL(k)的主要部分，并且忽略高階無窮小項，則有其中和

D2=4V0∫p(x)σ4(x)M(x)dx.設kL，0=，那么其中

A7.假設函數(shù)K(z)=K(‖z‖)存在m階可導.

假設A7表示權函數(shù)是充分光滑，從而應用Taylor公式獲得的收斂速度，即

定理3在假設A1～A7下，對于x∈R，且p(x)＞0，當n→∞，則有

3 主要結論的證明

證明過程中，Xi和x分別表示為Xti和xt.由于漂移項對波動率函數(shù)估計量的收斂速度影響是高階無窮小［2］，因此，假定漂移項是已知的，且這種假設不會影響結論.為證明定理1，引入引理1，即

證明 由公式（6），可知

注意到

在歐陽德生等人［4］的引理A2下，利用變量變換與Taylor公式可得.于是可得

同理可證

因此，B2n=O((nk)-1/2).于是，對于 ?i，B1i=Op((k/n)2)和B2i=Op((k/n)2).因此，進一步可證得，對于 ?i，C1i=Op((k/n)2)和C2i=Op((k/n)2).現(xiàn)在考慮

同理可知

因此，Qi其中有較小的階，于是，有

利用Cauchy-Schwarz不等式，結合公式（7），（9），可得

于是可證明

依據(jù)公式（9），（10）和（11），可證明引理1.

其中，KRi,ji=K((Xj-Xi)/Ri)/Ri.利用 Taylor展開，可得σ2(Xj)=σ2(Xi)+(Xj-Xi)σ˙2(Xi)+Tij，其中，Tij=σ2(Xj)-σ2(Xi)+(Xj-Xi)σ˙2(Xi).

因此

注意A2i的逆為從 而其 中 ，

因此

將公式（14）代入CVL(k)，可得CVL(k)=

在引理1下，可知CVL(k)的主要部分為CVL，1(k)，其中其 中注 意CV?L,1(k)是與k無關的項.

因此，類似歐陽德生等人［4］的定理1的證明，可證得CV″L,1(k)比CV′L,1(k)有更小的階，且根據(jù)公式（7），可知CV″L,1(k)=o(1/k+(k/n)4).因此，CVL,1(k)的主要部分為，即

定理2的證明：在定理1中，可知CVL(k)=，其中是不含有k的函數(shù).在定理1的證明中，可知同理，類似于歐陽德生等人［4］的引理A4證明可知，CV2(k)=所以

因為 (k/n)4～k-1.因此，n-1(k/n)2～(nk)-1/2，并且于是，

現(xiàn)在來比較 (k/n)6與 (nk)-1/2的價.因為k-1，于是需要比較(k/n)2與(k/n)12或等價于比較2與1 2.顯然，(nk)-1/2的階比(k/n)6的大.定義，則利用Racine和Li（2004）的定理 2.2［5］證明思路，可證得因此

同理，基于定理1的證明，可得

在Lyapunov中心極限定理下，可知

類似上述證明，首先定義

根據(jù)歐陽德生等人的定理6，即可證明漸近收斂一個2維正態(tài)隨機變量.

當 k=kL,0時，易得估計量的漸近正態(tài)性，即在中心極限定理下