ANA序列的完全收斂性及強大數(shù)定律

何其慧

完全收斂性是概率極限理論中非常重要的一個研究領(lǐng)域，在統(tǒng)計推斷中也有很重要的應(yīng)用.其概念最早由Hsu和Robbins（1947年）提出：稱隨機變量序列完全收斂于一個常數(shù)C，如果對任意的ε＞0，都有ε)＜∞.

由B-C引理可知，上式可以推出在幾乎處處（a.s.）意義下Xn→C.自文獻［1］提出并建立完全收斂性的結(jié)果以來，很多學(xué)者對其進行了推廣和改進，其中最重要的一個推廣結(jié)果就是由文獻［2］建立的Baum-Katz定理.許多學(xué)者將這一結(jié)果由獨立序列推廣到各種相依序列［3-6］.最近，文獻［7］又將這個結(jié)果推廣到單下標加權(quán)的漸近負相協(xié)（ANA）序列.

由于在很多統(tǒng)計模型中，估計量都是雙下標加權(quán)的形式，而文獻［7］中的結(jié)果只考慮了單下標加權(quán)隨機變量的完全收斂性，因此其實用性非常有限.故本文進一步考慮了雙下標加權(quán)隨機變量的完全收斂性，且本文主要結(jié)果的條件較文獻［7］的結(jié)果都有所改進.

本文引用如下一些記號：C代表正的常數(shù)，在不同的地方可以取不同的值，I(A)為事件A的示性函數(shù)，a+=aI(a≥0)且a-=-aI(a＜0).

1 預(yù)備知識

首先，回顧一下由文獻［8］提出的一類相對比較寬泛的相依結(jié)構(gòu)——漸近負相協(xié)（ANA）的概念，其定義如下：

定義1定義混合系數(shù)

其中，?是非降函數(shù)的集合.若混合系數(shù)

下面介紹隨機控制的概念.

定義2若存在常數(shù)C，使得對所有的x≥0及n≥1，都有，則稱隨機變量序列{ }Xn,n≥1被隨機變量X隨機控制.

為證明主要結(jié)果，還需要下述幾個引理.

引理1［8］設(shè)隨機變量 { }

Xn,n≥1為ANA的.若{ }

fn(·),n≥1為單調(diào)非降（或非增）函數(shù)序列，那么{ }

fn(Xn),n≥1仍為ANA的，且其控制系數(shù)不大于ρ-(n).

引理 2［11］令，假設(shè)為均值為0的ANA隨機序列，滿足EXn2＜∞及存在N使ρ-(N)≤s.則存在常數(shù)C=C(2,N,s)使得

利用文獻［12］中定理2.1的方法，我們可以得到如下的重要引理.

引理4假設(shè){ }Xn,n≥1是被隨機變量X隨機控制的隨機序列，則對任意的a＞0,b＞0以及n≥1，都有

其中，C1和C2代表著不同的正常數(shù).

2 主要結(jié)果

由隨機控制的定義容易驗證

對I2，若0＜p＜1，取μ=min{ }q,1 ，由Markov不等式及引理4可知

若 1≤p＜2，先證明0,n→∞.事 實 上 ，由EXni=0，αp＞1及E|X|p＜∞可得

從而當n充分大時，對任意的ε＞0，都有

取ν=min{ }q,2 ，由（2）式、Markov不等式、引理3、引理4、Cr不等式及Jensen不等式，可得

易證

類似可以驗證

定理2 令 0＜p＜2及i≤n, }

n≥1為一被隨機變量X隨機控制的ANA隨機變量陣列，滿足控制系數(shù)ρ-(n)≤s.若1≤p＜2則假設(shè)對所有 1≤i≤n,n≥1都有EXni=0.令{ }ani,1≤i≤n,n≥1為一滿足的常數(shù)陣列，其中q＞p.若也被改進到.因此，定理1改進了文獻［7］中相應(yīng)的結(jié)果.

文獻［7］的結(jié)果考慮的是單下標情形下的完全收斂性，而本文的結(jié)果定理1則是建立在雙下標隨機變量和雙下標權(quán)函數(shù)的情形下的，因此具有更廣泛的適用性.另外文獻［7］中的條件E|X|p＜∞，則對任意的ε＞0，都有

證明 在定理1的證明中取α=1/p，僅需驗證在αp=1的條件下也有（2）成立.事實上，由EXni=0，E|X|p＜∞及控制收斂定理同樣可得即（2）式成立.其他證明完全類似定理1的證明.此處省略.

文獻［7］也建立了類似定理2的單下標的結(jié)果，除了注1中所述的這些改進之外，文獻［7］只考慮了1≤p＜2的情況，而定理2更考慮了0＜p＜1的情況.因此，定理2也改進了文獻［7］中相應(yīng)的結(jié)果.

證明 在定理2中取ani=ai,Xni=Xi，可得

從而由Borel-Cantelli引理，可得

因?qū)θ我獾膎≥1，總存在k使得2k≤n＜2k+1，故而有

3 結(jié)論

本文主要利用關(guān)于ANA序列的改良過的矩不等式（見引理4），對雙下標加權(quán)ANA隨機變量加權(quán)和的完全收斂性進行了研究，其結(jié)果改進了文獻［7］相應(yīng)的結(jié)果.作為應(yīng)用，我們還得到了ANA序列加權(quán)和形式的強大數(shù)定律.在今后的工作中，我們會進一步將所得結(jié)果應(yīng)用到統(tǒng)計模型中去，為統(tǒng)計研究的發(fā)展提供扎實的理論基礎(chǔ).