多孔材料性能模型研究1：數(shù)理關系

劉培生，崔 光，程 偉

(北京師范大學 核科學與技術學院 射線束技術 教育部重點實驗室，北京 100875)

利用內部的孔隙結構達到材料性能優(yōu)化是多孔材料的主要特點，而物理性能和力學性能的綜合優(yōu)化可使該類材料由此獲得很好的功能結構一體化[1-5]。在能源、機械、化工、醫(yī)學、環(huán)保、交通、航空航天等諸多領域，多孔材料都具有其他材料難以或不可替代的應用優(yōu)勢，其中三維網(wǎng)狀泡沫金屬在生產(chǎn)規(guī)模和實際應用方面都占據(jù)了十分重要的位置。因此，研究人員對該類材料進行了大量的研究[3-5]，其中性能研究一直受到高度重視[5-9]。

具有代表性的多孔材料性能模型理論體系大致有三類。第一類是基于立方孔隙簡化結構的Gibson-Ashby模型理論，簡稱GA模型理論或GA理論，由該領域著名學者Gibson和Ashby建立，屬于多孔材料領域最具代表意義的經(jīng)典性模型理論[6]。該模型理論基于立方構架連接的簡化結構模型，運用幾何力學的方法進行流暢而簡潔的推演，得到多孔材料性能關系。其用于實際計算方便，為業(yè)界廣泛接受和應用至今[9-10]。但該模型理論主要適于多孔材料的拉壓性能，而難以方便地推演其他物理性能[6,9]。第二類是基于密排多面體孔隙結構的公式化模型理論，在設定多面體孔隙結構的基礎上，運用固體力學和固體物理的方法得出性能關系的數(shù)理表達[6,11]。用到的多面體結構如代表性的Kelvin模型[11-12]，其將孔隙簡化為6個正方形和8個正六邊形組成十四面體結構，認為這樣比GA模型的立方構架更接近實際情況。另外一個用得較多的多面體結構是菱形十二面體模型[6,9]。此類模型理論主要獲得了多孔材料拉壓性能關系和熱傳導性能關系，但推演過程較復雜，結果中間參量較多，實際應用不夠方便。因此，在材料領域的影響和應用都不如第一類模型理論。第三類是有限元模擬理論，這是后期出現(xiàn)的計算模型[9,13-14]。該模型理論一般是基于上述十四面體模型和菱形十二面體模型以及Voronoi隨機模型等，當然也可以是其他模型，運用有限元方法獲得材料性能指標。其計算細致，計算本身具有較高的精度，但要求參量有足夠的準確性。往往因為參量的真值獲取困難，給實際計算偏差帶來較大的不確定性。此外，還有其他一些模型理論，它們一般是針對某一結構和某一性能提出特定的模型方案進行處理，如電阻模型[15]、聲學模型[16]、力學模型[17]、表面積模型[18-19]等，因此應用比較局限?？梢姡瑢嵱梅奖?、穩(wěn)定可靠、適應性強的模型理論，具有較好的實踐價值和較高的設計應用前景。

為探討開孔網(wǎng)狀泡沫金屬的電阻率及拉伸強度等能源領域實際應用要求的基本使用性能，本文第一作者提出了一個對應于這種多孔材料的體心立方結構式八面體模型(注：這不是正八面體)，由此出發(fā)推演出其電阻率及拉伸強度與孔隙因素的數(shù)理關系，經(jīng)樣品實驗測試，初步驗證了這些關系的實用性[8,20-21]。迄今作者圍繞多孔材料特別是三維網(wǎng)狀泡沫金屬已開展多年的相關工作。從同一自提源模型出發(fā)，探討了此類材料的系列基本物理、力學性能表征，涉及多孔材料的拉伸、彎曲、扭轉、剪切、疲勞、傳導、比表面、多向拉壓等多個方面。與其他模型理論相比，本模型理論具有獨特優(yōu)點，如系統(tǒng)性強、連貫性好、覆蓋面寬、推演簡便、實用方便等[8,20-26]。

近幾年發(fā)展起來的3D打印規(guī)則格子結構材料，可看作一種新型的多孔材料。其結構的規(guī)則性及由此帶來的性能可控性是一大優(yōu)勢，但就目前展示的生產(chǎn)狀態(tài)及產(chǎn)品結構形態(tài)和層次來看，其實際應用將是原有多孔材料廣闊應用市場中的一個補充。億萬年的地球生命史也表明，自然界漫長的抉擇仍在很多關鍵場合青睞孔隙結構呈自由隨機狀態(tài)的多孔形貌，比如動物和人類的骨骼結構，這自然有其道理和奧妙?？梢?，人類對多孔結構的利用，可能在某些場合以規(guī)則的格子形態(tài)為佳，而在更多的場合則是隨機孔隙形態(tài)，這些仍有待不斷探索和實踐。本文從目前具有大量實際應用的三維網(wǎng)狀高孔率泡沫金屬出發(fā)，介紹其結構模型的構建，以及由此建立的性能分析模型和獲得的性能關系表征，為多孔材料的應用設計提供更為豐富的理論依據(jù)。

1 多孔材料類型

在多孔材料的實際應用中，大多情況下都是使用固體物質呈自由隨機分布的泡沫態(tài)多孔制品，其中包括孔隙呈三維網(wǎng)狀結構的網(wǎng)狀泡沫材料(reticular foams)和孔隙呈類似細胞形態(tài)(或液泡聚集形態(tài))的胞狀泡沫材料(cellular foams)。胞狀泡沫材料一般呈閉孔型或半開孔型，適于結構用途和隔熱等場合；網(wǎng)狀泡沫材料為開孔型，適于利用連通孔隙和孔隙內表面的場合，如熱交換、分流過濾、高效電極、生物移植、催化反應工程等。圖1為網(wǎng)狀泡沫多孔材料SEM圖，其結構非常類似于天然骨骼的內部構造。

圖1 網(wǎng)狀泡沫材料SEM圖 (a)泡沫金屬；(b)泡沫陶瓷[27]；(c)泡沫塑料[28]Fig.1 SEM images of reticulated porous materials (a)metal foams;(b)ceramic foams[27];(c)plastic foams[28]

根據(jù)材質的不同，多孔泡沫材料可分為泡沫金屬、泡沫陶瓷和泡沫塑料三大類[5,29-30]。其中泡沫金屬是一類非常重要的多孔材料。因其同時具有孔隙結構和金屬屬性，因此在物理和力學方面的綜合性能優(yōu)良。除體密度低、內表面大、滲透性好(開孔)等多孔材料的一般性質外，泡沫金屬還有可焊性、導電性及延展性等金屬特性，具有優(yōu)良的傳導性、強韌性、加工性和安裝性，使其在熱量交換、吸能減震、消音降噪、電磁屏蔽等領域具有應用優(yōu)勢。

2 多孔材料結構模型

2.1 網(wǎng)狀多孔材料

在整個多孔材料的應用中，泡沫制品占據(jù)了主體地位，其中網(wǎng)狀泡沫材料又擁有更大的應用規(guī)模和更多的應用場合。除普遍將泡沫塑料用于包裝材料和常溫環(huán)境下的吸聲材料外，目前多孔材料規(guī)模最大的工業(yè)應用是將開孔網(wǎng)狀泡沫金屬用于各種場合的多孔電極等[4-5,31-33]，如各種蓄電池、燃料電池、空氣電池、太陽能電池以及各類電化學過程電極，涉及航空衛(wèi)星、宇宙飛船以及飛機啟動和空中應急的動力源等尖端技術，其中應用較多的有泡沫鎳，其次還有泡沫鉛和泡沫銅等。生物移植產(chǎn)品是開孔網(wǎng)狀泡沫金屬結構的又一重要用途，并不斷發(fā)展泡沫金屬來改進移植體的使用性能[5,34-35]。有關的制造和應用市場在日益擴大，其中主要有泡沫鈦和泡沫鉭[34]。金屬具有良好的導熱性，因此具有很大比表面積的通孔泡沫金屬是熱交換的有效材料，適用于加熱器、換熱器、散熱器和致冷器等[36-39]。優(yōu)良的熱物理性能可使開孔泡沫金屬在換熱器強化傳熱和微電子冷卻等方面獲得十分廣闊的應用[40]?？妆诨蚩桌獠牧蠟楦邿釋实慕饘伲茏柚够鹧嬖诳扇細怏w中的傳播[41]。工業(yè)上廣泛采用的可燃氣體在使用過程中，當由于偶發(fā)性原因導致氣體混合物燃燒時，火焰會以很快的速度沿氣體管路傳播。采用多孔金屬制作的阻火器，可阻止火焰的傳播[42-43]。難熔金屬材料鎢不被液汞等浸潤且耐其腐蝕，其多孔體或作為多孔基體制作的元器件在航空航天、電力電子及冶金工業(yè)等領域都有較好的應用[44-46]。開孔網(wǎng)狀泡沫金屬在汽車工業(yè)的商業(yè)應用也有重大的進展，如用于柴油機排放物的過濾和催化轉化。可見，在豐富多樣的多孔材料結構形態(tài)中，三維網(wǎng)狀結構是具有最廣泛應用的多孔結構類型。

制備三維多孔泡沫金屬的工藝方法目前已有很多，主要包括粉末冶金法、金屬沉積法、金屬熔體發(fā)泡法、熔模鑄造法、滲流鑄造法等[1-5]。其中，由金屬熱蒸發(fā)沉積、氣體反應沉積、電沉積等工藝形式獲得的泡沫金屬產(chǎn)品，以及采用熔模鑄造法和滲流鑄造法等形成的泡沫金屬產(chǎn)品，一般均為三維網(wǎng)狀結構。此外，粉末冶金法所得制品也可以是高孔率的連通性開孔結構。電沉積法所得泡沫鎳[47]以及反應沉積法所得電極支撐材料[2]的形貌完全類似于圖1的泡沫材料，熔模鑄造法以及改進的粉末燒結法則容易制造更大厚度的網(wǎng)狀泡沫產(chǎn)品(見圖2)[48-49]。

圖2 熔模鑄造法所得泡沫鋁 (a)多孔結構的SEM圖[48]；(b)塊體制品[49]Fig.2 Aluminium foams by infiltration casting (a)SEM image of porous structure[48];(b)product blocks[49]

2.2 結構模型

2.2.1 結構模型構建

高孔率網(wǎng)狀多孔材料是由孔棱(孔筋)相互交錯連接起來的三維網(wǎng)狀結構。該類網(wǎng)狀泡沫產(chǎn)品多孔體內的孔棱連接錯綜復雜，取向各異；孔棱相互連接構成的孔隙形狀也是多種多樣，走向變化無規(guī)則。根據(jù)其實際結構形態(tài)特征，構建均勻結構網(wǎng)狀多孔材料的簡化結構模型，以便簡捷地分析和推演有關參量[8,20-21,50-52]。最后設計提出簡化結構分析模型，稱之為多孔材料八面體結構模型，如圖3所示。

各向同性高孔率網(wǎng)狀多孔材料整體由固體孔棱和大量孔隙組合而成，為簡化對應多孔體的性能分析，設想其內部孔棱系按立方體對角線的簡單方式連接。如此構成大量源于體心立方晶格結構方式的八面體孔隙單元(圖3(a))，每個孔隙單元包含8條(注：不是八面體的所有12條邊)孔棱，它們具有同樣的結構方式，即在結構狀態(tài)上相互等價。這些八面體孔隙單元在3個正交的方向上交互緊密堆積，完全充滿空間，并可進行均勻的三維規(guī)則延伸擴展，從而形成三維同性的均勻結構多孔體。

圖3 網(wǎng)狀多孔材料的八面體結構模型(a)八面體孔隙單元;(b)孔隙單元軸向投影(俯視圖);(c)孔隙單元側向投影(側視圖)Fig.3 Octahedral structure models for reticulated porous materials(a)octahedral pore unit;(b)top view of the pore unit;(c)side view of the pore unit

單元八面體的中心四次對稱軸即為其軸線方向，簡稱該八面體的方向。單元八面體的軸向投影為側置正交十字形(參見圖3(b))，而其兩個側向投影均為側置正方形(參見圖3(c))。這些單元八面體在相互垂直的3個正交方向上實行交互密堆積，整齊密堆積的單元八面體集合投影為方孔“篩網(wǎng)”，這些等效“篩網(wǎng)”可重合性地疊加而形成孔隙結構均勻規(guī)則的三維多孔體。

該多孔材料的體心立方結構式八面體模型，簡稱“八面體結構模型”，是一個簡化的幾何結構模型。在該結構模型的基礎上，賦予不同的物理概念和內容，即可獲得對應的結構-性能分析模型。通過相應的分析推演，就可進一步導出其不同物理、力學性能指標的對應數(shù)理關系規(guī)律。

2.2.2 結構模型分析

圖3(a)的八面體孔隙單元表明，本八面體模型中構成孔隙單元的孔棱全部由立方體心與立方體頂點的連線(共計8條)組成,立方體頂點之間的連線均不屬于這種孔棱結構。因此，組成孔隙單元的孔棱全部等價，且其中每條孔棱均為3個軸線互相垂直(正交)的孔隙單元所共用。以圖3(a)中紅色棱為例,它既參與了該圖中完整顯示的軸線在豎直方向上的八面體孔隙單元(即主單元)組成,又參與了軸線在水平左右方向上而位于圖中主單元左上側的八面體孔隙單元組成,同時還參與了軸線在水平前后方向上而位于圖中主單元前上側的八面體孔隙單元組成。因為除了這種用以組成孔隙單元的等價孔棱之外,結構中不存在另外類型的實體棱柱,所以這些八面體單元既是孔隙單元,同時又是結構單元,從而所有棱柱在結構上的狀態(tài)都是等價的。同時,這些八面體單元的大小均完全相等，形狀均完全相同,只是軸線方向不同(相互垂直)。而且,軸線相互正交的八面體單元一一對應,數(shù)量相等,相互交錯密堆積,完全充滿空間?？梢?，這種孔隙單元交互密堆積并三維延伸而形成的多孔體，在圖3中的上下(豎向)、左右(水平)和前后(垂向)3個正交方向上實現(xiàn)了同性，即三維同性。

此外，從另一角度來看，本八面體模型的“BCC式”結構還可視為兩套“簡單立方亞格子的復合點陣”結構，孔棱也可視為這兩套亞格子頂點之間的“配位式”連線(參見圖3(a))。因此，孔隙單元所含結點的組成方式亦全部一致，結點的結構狀態(tài)均等價。

這樣,本模型就為網(wǎng)狀多孔材料實現(xiàn)了結構均勻、三維同性的表征,且孔隙單元與結構單元完全統(tǒng)一,組成單元高度密堆積,所形成的多孔體中棱柱的結構狀態(tài)等價，結點的結構狀態(tài)也等價。

2.2.3 模型特征

根據(jù)形成方式以及結構模型分析，八面體結構模型具有如下特征：①該模型所構成的八面體單元，既是多孔體的孔隙單元，又是多孔體的結構單元，即孔隙單元和結構單元是一體的；②八面體孔隙單元中的孔棱都是通過立方格子的體心與頂點連接而成，因此每個孔隙單元只有8條孔棱，而不是12條孔棱；③該單元八面體的8個面都是等腰三角形而不是等邊三角形，因此不是正八面體；④多孔體中這些單元八面體的軸線具有3個正交的方向，3個軸線方向上的單元八面體一一對應地交錯疊加并不斷延伸，形成大量完全充滿空間的密堆積孔隙單元集合而構成整個多孔體。其中需要特別注意的是，本模型中的單元八面體并不是8個面都是等邊三角形的正八面體，另外，本模型中的八面體孔隙單元只包含8條孔棱。

2.2.4 討論

2.2.4.1 經(jīng)典性模型理論

在關于多孔材料結構和性能方面的理論中，GA模型是最具代表意義的經(jīng)典性模型[6,53-59]。該模型理論受到國際同行的普遍認同，是國內外眾多研究者廣泛應用的理論基礎。但是，該模型理論有一些特點不能很好地適應有關性能分析及其數(shù)理關系推演[8,51-52]。例如，該模型的結構單元(包含1個立方孔隙單元和12條連接用的半棱)可實現(xiàn)密排堆積，但其孔隙單元本身并不能充滿空間；該模型中的結構單元中存在著構成立方孔隙的孔棱和連接這些立方孔隙的連接棱，其在結構中的狀態(tài)不等價等。模型表現(xiàn)出來的上述特點可能會導致其應用過程中出現(xiàn)一些困難。例如，孔隙單元的非密堆積性不僅偏離了實際網(wǎng)狀多孔材料制品的孔隙密排狀態(tài)，也不便于在該模型基礎上的物理、力學性能分析；結構單元中的棱柱狀態(tài)不等價，則會顯著降低由此進行相應物理、力學性能分析推演的簡便性。因此，GA模型理論出現(xiàn)了受力分析困難、多孔體斷裂方式不自恰、所得有關性能的數(shù)學關系式中的材料常數(shù)依賴于多孔體的孔率參量等問題[8]。

一些研究者采用了另外一些模型，如比較有代表性的Kelvin模型[6,11]。此外，可密堆積的還有三棱柱結構模型、四棱柱結構模型、六棱柱結構模型、菱形十二面體模型等[6]。上述模型可實現(xiàn)等同單元的規(guī)則堆積，但也都存在與GA模型類似的特點，如結構單元中的孔棱狀態(tài)不等價等。分析單元中的孔棱在結構上的不等價，勢必造成其對整個多孔體的物理、力學性能方面的貢獻狀態(tài)不等價，因此會增加對應結構模型對于性能分析推演的復雜性和難度。這些模型一般不能像GA模型和本八面體模型那樣可以通過隔離孔棱的簡單方式來進行物理分析，因此有關數(shù)理關系的推演比較繁瑣，而有些性能關系則推演起來相當困難。而若需要依賴于數(shù)值模擬才能得到有關性能表征的數(shù)理關系，則會帶來更多的不確定性。

2.2.4.2 模型的簡化

多孔材料的孔隙結構是極其復雜的，其尺寸和形狀變化萬千，即使在同一塊多孔體中也是大小不一、形狀各異。無論是Gibson和Ashby提出的立方體結構模型[6]、Kelvin提出的十四面體結構模型[6,11]，還是本文作者提出的八面體結構模型，或者是其他的如四面體模型、十二面體模型等，都不可能完整而全面地描寫多孔材料的實際孔隙狀態(tài)。眾所周知，任何理論模型都是在一定程度上對實際狀態(tài)的抽象和綜合概括，其目的是在盡量簡化的基礎上簡捷而方便地表征出實際狀態(tài)的有效特征和性能行為。要評價這些結構模型，關鍵是看其能否較好地表征出泡沫材料的結構特點，更重要的是看其能否從相應模型獲得符合多孔材料實測性能結果的對應數(shù)理表征，而且數(shù)理關系普適性好，推演過程便捷、實際應用簡易為佳。

眾所周知，幾乎沒有任何理論模型能做到完美，都是在不同程度上的簡化或近似。本模型盡量同時考慮宏觀對稱性和分析簡便性兩個因素，力爭既反映出泡沫體三維同性的特征，又可較簡捷地進行便于操作的分析應用。將孔隙單元集中簡化成八面體單元來進行處理，便于性能分析，同時也不悖于該材料的結構特征，弱化了各種真實多孔材料各自具體的結構特點，從而明顯簡化了分析和推演。

實踐證明，本八面體模型在多孔材料的電阻性能、單向拉伸性能、雙向拉伸性能、疲勞性能等數(shù)理表征方面均獲得了比較成功的應用[8,20-23,60-62]。當然，本模型理論在多孔材料性能研究中也有一定的適用范圍，屬于高孔率產(chǎn)品條件下的模型理論，適用于孔率在70%以上的區(qū)間(實踐證明這是使用效果較好的區(qū)間)。但這足以覆蓋實際網(wǎng)狀多孔材料的孔率范圍，此類實用多孔產(chǎn)品的實際孔率范圍一般在80%以上。目前用以大規(guī)模連續(xù)性生產(chǎn)此類產(chǎn)品的電沉積工藝，其產(chǎn)品孔率多在90%以上。因此，本八面體模型理論具有良好的實用價值。

3 多孔材料性能分析模型及表征

3.1 多孔材料電阻率

相對于其他材質的多孔材料而言，泡沫金屬的特點之一是其傳導性能良好，并且具有一定的自支撐能力和很大的表面積，以提供廣闊的界面電化學電荷傳遞空間[63-65]。用作電極材料時，其導電性能十分重要，電阻率成為其使用過程中的關鍵指標[66]。此外，泡沫金屬電阻加熱器具有更理想的加熱狀態(tài)和更大的熱傳輸效率[37,67]，其電阻率指標同樣十分重要。

3.1.1 物理模型及數(shù)理關系

3.1.1.1 模型建立的出發(fā)點

電阻率是電極材料基本而重要的關鍵指標，因此高性能電極材料的設計,必然要對其作出較為精確的量值規(guī)定。但以電阻率參數(shù)直接控制泡沫金屬的制備相當困難,同時產(chǎn)品電阻率直接檢測本身也比較麻煩。相對于電阻率參數(shù),泡沫金屬的孔率控制卻較為容易,而且孔率測量方法多樣,其中一些非常簡便。另外，孔率是多孔材料最基本的參量，其本身一般也是材料設計主要而基本的要求。因此，找出電阻率與孔率的數(shù)理關系,對關系到電性能的多孔材料的設計和產(chǎn)品性能指標的生產(chǎn)控制，是大為有利的。特別是對于高孔率多孔電極材料，電阻率隨孔率的變化非常劇烈，此時一個能夠較好地描述兩者關系的數(shù)理關系則可發(fā)揮重要的作用。

3.1.1.2 電阻率分析模型的基本假設

基于之前建立的結構模型，將結構均勻的高孔率網(wǎng)狀多孔材料(如泡沫鎳)的具體結構抽象簡化為大量正交密堆積的體心立方晶格式八面體孔隙單元集合。在分析多孔體的導電性能時，僅考慮軸線方向與多孔體整體電流方向一致的八面體孔隙單元。此時整個導電多孔體也可視為由大量包容這類單元八面體的立方格子進行密堆積所構成。這些立方格子不但結構形態(tài)相同，而且其導電狀況也相同。通過從多孔體中隔離出這樣一個立方格子，即可代表性地進行導電性能分析[8,20]。將這種導電立方格子構建等效電路，進而推演出多孔體的電阻率。

3.1.1.3 表征電阻率的數(shù)理關系

通過在電阻率分析模型基礎上的分析推演，運用孔隙單元等效電路和歐姆定理，得出表征多孔材料電阻率的關系公式[20]。

(1)

式中：ρ為多孔材料的電阻率；θ為多孔體的孔率；ρ0為同質致密材料的電阻率,決定于孔棱材質的組織結構；K是材料常數(shù)，取決于多孔體材質種類和制備工藝條件,更確切地說是不同多孔制品自身具體結構狀態(tài)的修正系數(shù)。

3.1.2 模型理論分析

在GA模型建立的網(wǎng)狀多孔體結構中，存在立方孔隙單元的孔棱及其孔隙單元的連接棱，其中兩者的長度比例沒有給出[6,8]。而根據(jù)這種模型結構，垂直于電流方向的連接棱對電流傳導沒有貢獻。所以，很難在此基礎上建立有效的電路分析模型，從而難以由此推演出電阻率的數(shù)理關系。對于Kelvin模型(十四面體模型)、菱形十二面體模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等結構模型，同樣也難于在其基礎上建立如同本八面體模型這樣簡單可行的等效電路分析模型。當前，借助計算軟件可實現(xiàn)很多強大的性能計算，但參數(shù)的選擇和使用是個非常重要的問題，其操作性、簡捷性和實用性還需要實踐檢驗。

數(shù)理關系的應用不但要考慮其準確性和可靠性,同時也要考慮其使用的方便性。如果一個關系公式的待定系數(shù)和中間參量太多或不易求得,使用起來十分麻煩,有時還不如直接通過實驗檢測得出主求量,這樣,公式計算就會大打折扣甚至變得沒有意義。

3.2 多孔材料拉壓強度

多孔材料本身固有的功能屬性和結構屬性是同時存在的。作為功能應用的場合是指以利用其物理性能為主，但也需要兼顧其一定力學性能的結構作用；作為結構應用的場合是指以利用其力學性能為主，但往往也考慮其物理性能的功能作用。多孔材料作為功能-結構雙重應用的場合是指同時利用其物理性能和力學性能且兩者并重，此時功能作用和結構作用同樣重要?？梢?，多孔材料的基本力學性能指標是其應用設計的基本要求，其力學性能強烈地依賴于其孔率或表觀密度[6,42]。因此，研究該材料力學性能與孔率的關系，具有重要的理論意義和實用價值。

網(wǎng)狀泡沫金屬一般用作功能-結構一體化材料，比如在多孔電極基體方面的大規(guī)模應用，既要作為電極集流體以傳導電流，又要作為活性物質的支撐體而承受一定的載荷；再如生物醫(yī)學人工骨的應用，既要具有生物相容性以接納生物組織的生長，又要承受身體運動和體重本身帶來的相應負荷[68-71];用作電池電極基體時，泡沫金屬的拉伸強度(抗拉強度)極大地影響著整個電極的強度和卷成品率，決定著整個電池結構的穩(wěn)定性，是關系到電池能否大批量工業(yè)化生產(chǎn)的關鍵[31]；用于植入材料時，其強度須足夠高以在一定時期內持續(xù)承受生理載荷，同時還應使其強度與骨骼達成最佳匹配[34]。

3.2.1 物理模型及數(shù)理關系

3.2.1.1 拉伸強度分析模型

借鑒電阻率分析模型的構建方式，在本八面體模型的結構方式基礎上，分析多孔體的單向拉伸性能時，僅考慮軸線方向與多孔體整體受力方向一致的八面體孔隙單元[8,21]。整個多孔體由大量這樣的孔隙單元進行規(guī)則排列，它們具有相同的結構形態(tài)和受力狀態(tài)。多孔制品中的孔棱結點承載能力一般大于其孔棱本身，故失效破壞一般發(fā)生在孔棱上。將構成高孔率網(wǎng)狀多孔材料的孔棱視為細梁，則當多孔體承受拉壓載荷，其承載單元所受載荷導致孔棱上任何位置的最大正應力達到對應致密材質的許用應力時，孔棱就會發(fā)生失效和破壞。大量這種同等孔隙單元中的等價孔棱的失效破壞，即可導致整個多孔體的失效和破壞。此時整個多孔體受到外加拉伸載荷所致整體名義拉應力即為該多孔材料的表觀拉伸強度。

3.2.1.2 表征拉伸強度的數(shù)理關系

通過在拉伸強度分析模型基礎上的分析推演，將多孔體孔棱作懸臂梁假設處理，運用工程力學和材料中的梁理論，得出表征多孔材料拉伸強度的關系公式[21]。

(1)準剛體結構受力模型：

σ≈K·(1-θ)3/2·[σ]

(2)

式中：σ為多孔材料的表觀拉伸強度；[σ]為相應致密體的許用應力，對于脆性材質可代換為其對應密實材質的抗拉強度σ0。

(2)變形體結構受力模型：

σ≈K·(1-θ)m·[σ]

(3)

式中：m是多孔體對應致密材質的塑性指標，其值介于1和3/2之間。對應材質的脆性越大、剛性越高，則m越偏向于3/2；對應材質的韌性越大、塑性越高，則m越偏向于1；而當對應材質為塑性適中的一般金屬或合金時，可近似取其中值，即m≈1.25。對于Cu，Sn等塑性較好的金屬材料，其指數(shù)應偏向于1；對于Ti等塑性相對較差的金屬材料，其指數(shù)應偏向于1.5；而對于Ni，F(xiàn)e等塑性適中的金屬材料，不妨將其冪次項指數(shù)近似取為(1+1.5)/2=1.25，則

σ≈K·(1-θ)1.25·[σ]

(4)

3.2.2 壓縮強度

無論是對于韌性大的高塑性材質，還是對于剛性大的低塑性材質，或是材質塑性介于兩者之間的一般性網(wǎng)狀多孔材料，其表觀壓縮強度都可得到與式(2)同型的近似表征：

σ≈K·(1-θ)3/2·[σ]

(5)

該式適合于所有材質的網(wǎng)狀多孔材料，這與GA模型理論一致。

可見，對于多孔材料拉伸強度的描述，八面體模型理論在(1-θ)項的指數(shù)方面與GA模型理論具有不同的取值方式；而在多孔材料壓縮強度的描述中，對(1-θ)項的指數(shù)獲得一致的取值，但其得到這一取值的來由也不盡相同。通過企業(yè)生產(chǎn)線制備的泡沫鎳產(chǎn)品拉伸實驗，驗證了本拉伸強度分析模型的可行性及其數(shù)理關系的實用性[21-22]。

對于多孔材料承受壓縮載荷的結構，一般都有強度更高的面板與其組成夾層結構(通稱三明治結構)，這樣可使外加載荷均勻地施加到多孔體的外表面，緩解直至消除其內多孔體承載后的局部應力集中問題。此時整體承載達到平衡后，多孔體內部承載單元的受力將趨于均勻，即載荷趨于向這些單元均布。因此，八面體分析模型中這些單元不但結構形態(tài)相同，而且其承載受力狀況也相同。所以，從多孔體中隔離出一個這樣的八面體孔隙承載單元，對其分析即可代表其他承載單元的分析。

3.2.3 數(shù)理關系說明

3.2.3.1 修正系數(shù)

上述公式是在多孔體三維同性的基礎上推導出來的。當多孔體各向異性時，可將分析模型中的原單元八面體視為在軸向被拉長或壓扁。從模型假設可知，此時各棱與單元八面體軸線的原始夾角便發(fā)生變化。由推導過程可知，這種變化效果最終落到公式(2)～(5)中的系數(shù)K上。所以，這些公式應用于各向異性的多孔材料時，其K值還與承載方向有關。

3.2.3.2 承載單元約束力

上述數(shù)理關系都是在自由拉壓狀態(tài)下推演得到的，即未考慮承載單元在拉壓方向之外的相互約束問題。當然，這對于“準剛體結構受力模型”不會有太大的影響，但對于不能忽略變形作用的“變形體結構受力模型”就可能會有影響。但是，這種約束力對于多孔樣品在垂直拉壓方向上的尺寸(即橫向尺寸)足夠小，在拉壓方向的尺寸明顯大于其橫向尺寸的情形，如拉伸樣品，也不會有太大影響，否則其影響即會顯現(xiàn)。據(jù)此，有關承載單元的受力狀態(tài)也可歸于后述的雙向和三向作用。

3.2.3.3 指標的影響因素

除孔率這個關鍵性的重要因素外，孔隙形狀、孔隙尺寸分布、材料內部缺陷特點及多孔體的具體結構方式等，這些取決于制備工藝的因素，也都可能對材料強度產(chǎn)生一定的甚至是較大的影響，從而給許用應力的合理取值帶來問題。本理論公式把上述因素的作用累積在表征材料種類和制備工藝條件的常數(shù)項上，從而將它們表達出來。當然，公式基于高孔率特征，只適于高孔率范圍，對較低孔率的計算會引起嚴重的失真，這是該估算方法的局限性。

3.2.3.4 其他

本模型公式與GA模型公式存在指數(shù)項表征的差異，后者對于塑性材質和脆性材質都取3/2[72]。但眾所周知,在拉伸斷裂過程中，致密的塑性材料會表現(xiàn)出屈服現(xiàn)象,而致密的脆性材料則沒有這種現(xiàn)象。這就是說,兩者在拉斷過程中表現(xiàn)出的規(guī)律是不同的。因此,有理由認為,上述指數(shù)項對塑性材質多孔體和脆性材質多孔體,采用不同的取值方式是切合實際的。

至于其他模型理論，如Kelvin模型(十四面體模型)、菱形十二面體模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等結構模型，由于它們的孔隙單元中都不同程度地存在著結構狀態(tài)不同的孔棱，因此在多孔體受到拉伸作用時都會出現(xiàn)若干類受力狀態(tài)各異的孔棱。所以，要通過這些模型直接而簡捷地導出如上所述的拉伸強度數(shù)理關系，具有較大的難度。其過程也遠比上述數(shù)理關系的推演復雜，因此不便在此一并做出類似于對GA模型那樣的對比分析。這些模型所得理論關系一般可能比較復雜，需要較多的待定系數(shù)和中間參量。

3.3 多孔材料伸長率

多孔材料應用過程中經(jīng)常會被要求具有一定的室溫塑性變形能力，網(wǎng)狀泡沫金屬用于多孔電極即是一個代表性實例。如前所述，多孔電極基體材料在使用過程中會受到拉伸作用。在制作多孔電極的過程中，將使極板拉伸變形，故多孔基體應能有足夠的延伸，否則易造成基板結構破壞。因此，伸長率也是作為多孔基體的泡沫金屬不可或缺的一項重要指標。泡沫金屬的伸長率強烈地依賴于孔率[42]，但以往對多孔金屬伸長率與孔率的關聯(lián)問題研究得并不多，且只對孔率較低的粉末燒結材料提出過兩者的換算關系[42,73]。后來發(fā)展的電沉積法制備泡沫鎳的工藝[47,74-76]已相當成熟，其中最大的市場即是用于電池電極[1-5,7,20-21]。

3.3.1 物理模型及數(shù)理關系

3.3.1.1 伸長率分析模型

在分析多孔體在單向拉伸載荷作用下的伸長率時，亦僅考慮軸線方向與多孔體整體受力方向一致的八面體孔隙單元[24]。通過從多孔體中隔離出孔隙單元進行拉伸分析推演，即可導出多孔體的伸長率表征。整個泡沫金屬多孔體在拉伸期發(fā)生的塑性變形，主要是大量金屬孔棱沿拉伸方向的塑性偏轉，它們使多孔體在拉伸方向對應的相對伸長百分比即為該多孔材料的伸長率δ。雖然在此過程中也存在孔棱自身軸向變形和孔棱本身彎曲變形的問題，但孔棱自身軸向變形相對發(fā)生量很少(可以忽略)，而孔棱本身的彎曲變形則可并入孔棱偏轉處理，最后由相應數(shù)理關系中的材料常數(shù)統(tǒng)一涵蓋。

3.3.1.2 表征伸長率的數(shù)理關系

通過在伸長率分析模型基礎上的分析推演，運用“孔棱懸臂梁”的處理方式，得出表征多孔材料伸長率的關系公式[24]：

δ≈K·[1-0.53(1-θ)1/2]

(6)

式(6)的推導基于高孔率材料的結構特征，只適于高孔率區(qū)間，如目前規(guī)模性使用的網(wǎng)狀多孔材料產(chǎn)品的實際孔率范圍(孔率在70%以上甚至更高)，而且應用前提是多孔體的孔棱不能細到其缺陷足以決定斷裂和延伸。

3.3.2 模型理論分析

3.3.2.1 本模型理論

從本理論導出的式(6)可推知，該公式在孔率θ=1時仍有一個不為零的伸長率結果，這顯然是不合邏輯的。而以往研究結果提出的關系式更是在θ=1時伸長率出現(xiàn)負值[42,73]?？梢?，關系公式的應用一般都有其適應的條件和范圍。事實上，多孔體內部孔棱的徑向尺寸小于某一值后，孔棱的缺陷將對整個多孔體的斷裂和延伸起決定作用。此時只要缺陷足夠嚴重，拉伸強度和伸長率都將為零。但多孔體的孔率不是特別高時，其孔棱一般不會太細，故這種缺陷影響不大。只有當多孔體的孔率非常高(例如超過99.5%)，孔隙尺寸又不很大時，孔棱一般就會非常細小，而容易產(chǎn)生伸長率為零的現(xiàn)象。所以，本理論公式的應用前提是多孔體的孔棱不能細到由其缺陷決定斷裂和延伸。顯然，θ=1的多孔體是不可能制造出來的，因此公式的理想適用范圍上限是孔率可趨近于1而不是等于1。

3.3.2.2 經(jīng)典模型理論分析

網(wǎng)狀多孔材料的GA結構模型中，不但存在構成立方孔隙格子的孔棱以及其連接棱，而且立方孔隙的孔棱還有三種不等價的結構狀態(tài)，在多孔體受到拉伸作用時這三種結構狀態(tài)會出現(xiàn)不等價的受力狀態(tài)。因此，它們對多孔體承受拉伸載荷而產(chǎn)生的伸長率的作用各不相同，需要比較復雜的計算[8]：每個立方孔隙單元有8條棱垂直于拉伸方向，其中有4條可能發(fā)生塑性偏轉，對整個多孔體的伸長率有主要作用，另外4條對多孔體伸長率的作用不明確；平行于拉伸方向的棱只有塑性伸長對多孔體伸長率有作用。而且，連接棱與孔棱兩者的尺寸比例不明確，其對多孔體伸長率的作用也有明顯的差異。因此，從該結構模型出發(fā)難以推導出對應多孔材料的伸長率數(shù)理關系。Kelvin模型(十四面體模型)結構相對來說更為復雜，要做這種推演過程會更繁瑣。而其他如菱形十二面體模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等模型結構也各有特色，雖然復雜程度各不一樣，但要做這種多孔材料伸長率的數(shù)理關系推演，同樣具有相應的難度。如果要依賴于計算機模擬，模型理論在應用操作過程中也會顯露其弱點和不足。

3.4 多孔材料彈性模量

網(wǎng)狀泡沫金屬以其優(yōu)異的綜合性能廣泛應用于工程領域[4-6]，其有關力學性能得到了大量研究[6,77-81]。彈性模量和泊松比是工程材料比較基本的兩個力學指標。例如，用作多孔電極基體的網(wǎng)狀泡沫金屬，在電池充放電過程中需要具有與活性物質膨脹和收縮相適應的彈性變形，從而對泡沫金屬基體提出了彈性模量的要求。泡沫金屬制品的彈性模量可直接影響整個電池的充放電性能及其使用效果和使用壽命。又如，用作生物植入體的多孔材料需要具有與自然骨質匹配的彈性模量，否則在受力時會產(chǎn)生變形不協(xié)調和應力屏蔽，導致植入體與自然骨的配合失效[32,34,68,70,82]。

3.4.1 物理模型及數(shù)理關系

3.4.1.1 彈性模量分析模型

承前伸長率分析模型所述，在拉伸載荷作用下，整個多孔體發(fā)生的變形主要是由于大量孔棱沿多孔體拉伸方向產(chǎn)生的偏轉。在彈性變形范圍內，這些孔棱偏轉使多孔體在拉伸方向對應的相對伸長百分比即為該多孔材料的表觀彈性應變。當多孔體的變形使其孔棱內部產(chǎn)生的應力達到對應致密材質的比例極限時，多孔體在拉伸方向上承受的名義應力即為多孔體的表觀比例極限，多孔體的表觀應變即對應為其表觀線彈性應變極限。多孔體的表觀比例極限與其在拉伸方向上的表觀線彈性應變極限之比為其表觀楊氏模量，其垂直于拉伸方向的橫向表觀線彈性應變極限負值與其拉伸方向上的表觀線彈性應變極限之比則為多孔體的表觀泊松比。

3.4.1.2 表征彈性模量的數(shù)理關系

通過彈性模量分析模型基礎上的分析推演，沿襲伸長率研究中的“孔棱懸臂梁”處理方式，得出表征多孔材料楊氏模量Ea和泊松比νa的關系公式分別為[83]：

Ea≈KE·{(1-θ)m/[1-0.53(1-θ)1/2]}

(7)

νa=Kν

(8)

式中：KE，Kν為取決于多孔體材質的材料常數(shù)(當多孔材料各向異性時也與取向有關)。

關于上述關系的適用范圍，正如作者多次提到的那樣：基于網(wǎng)狀多孔材料結構特征條件下的本模型理論，其性能研究適于較高的孔率區(qū)間(如70%以上)，可覆蓋此類產(chǎn)品的實際孔率范圍。因此，本八面體模型理論可以具有廣泛的實踐背景以及良好的實用價值。

3.4.2 模型理論分析

3.4.2.1 本模型理論的說明

從建立八面體模型開始，到獲得泡沫金屬的彈性模量數(shù)理表征，可以看出：通過本模型理論分析推演一系列相關數(shù)理關系的過程，自成具有自身特點的理論體系，富有理論體系本身的依承性、一貫性和邏輯性，而且獲得這些數(shù)理關系的方式比較簡便和直接。研究結果表明，高孔率網(wǎng)狀泡沫金屬的表觀泊松比是一個與其孔率無關的材料常數(shù)。這一結論與Gibson和Ashby的研究結果相同[6]。用本八面體模型理論可以很好地詮釋這一指標的孔率無關性和材質決定性，即多孔體在受到拉伸作用時，其內部孔棱沿拉伸方向的偏轉程度(以偏轉角大小來衡量)取決于孔棱的材質，這樣就與多孔體的孔率無關；而該孔棱偏轉角度決定了對應多孔材料的表觀泊松比，因此其表觀泊松比與孔率無關而僅由孔棱材質制約，亦即該泊松比是僅決定于多孔體材質的材料常數(shù)。

另外，本八面體模型理論獲得的多孔材料彈性模量等數(shù)理關系，相對來說待定系數(shù)和中間參量少，獲得過程也相對容易，因此應用比較簡便。使用過程中，所需中間參量少，中間參量獲取難度小，這是本模型理論數(shù)理關系的一大特點和優(yōu)勢。

3.4.2.2 孔棱的彎曲問題

從力學的角度來看，當桿件的長徑比(L/r)大于10，一般就視其為細長桿。此時就應該考慮多孔體中孔棱的彎曲變形。有人認為，孔棱的長細比越大，其彎曲就會越嚴重，對模型的影響也會越大。如果把孔棱孤立起來用通常情況看，確會是這樣。但由于孔棱是相互連接而組成多孔體，其受力變形狀態(tài)就不會這樣簡單，因為其相互約束非常復雜。此時模型的處理方式很關鍵，顯然是越簡單越好，但又要能夠由此出發(fā)最后獲得符合實驗結果的數(shù)理關系。因此，不同的模型理論可以有自己不同的處理方式，是否可行也不是單看該環(huán)節(jié)本身就能夠判斷的。事實上，對于比較復雜的受力系統(tǒng)，分析時很難做到考慮周全，所以也很難孤立出某一環(huán)節(jié)來直接判斷其合理性。本八面體模型理論處理該環(huán)節(jié)的方式，是認為孔棱偏轉到一定程度就會發(fā)生失效和破壞，無論孔棱本身發(fā)生的彎曲程度如何都是這樣。根據(jù)本模型有關數(shù)理關系的推演，這一孔棱本身彎曲變形的作用可以統(tǒng)一合并到其“偏轉程度”中去，而這個“程度”的層次變化可以通過作為修正系數(shù)的材料常數(shù)加以解決。因此，最后的數(shù)理關系形式可以保持統(tǒng)一。

對于GA模型，在該方面只考慮了組成立方孔隙并且與受力方向垂直的棱，而沒有考慮所有的連接棱以及組成立方孔隙但與受力方向平行的棱，這樣會對實際情況造成更大的偏離。但無論如何，模型理論處理問題的合理性和可行性，最終要由實驗結果進行驗證。

3.4.2.3 塑性指數(shù)m

本模型中的多孔材料塑性指標m值在1～1.5的范圍內，而m=1只有在材質塑性極高的極端情況下才可能出現(xiàn)，如只有像泡沫鉛這樣的材質時才可以近似取1(略大于1)的值。盡管本模型及其相關彈性模量數(shù)理關系在理論上顯示了其合理性，但由于研究條件的限制，目前還沒有相應的實驗數(shù)據(jù)，不能給出相關的定量分析和結果驗證。Ashby等[78]給出了一些數(shù)據(jù)，但這些數(shù)據(jù)只是對某幾種材料的寬泛標識，數(shù)據(jù)非常分散。根據(jù)這些數(shù)據(jù)，很難找到一個比較簡便的數(shù)學關系表達。

3.4.2.4 孔棱的懸臂梁假設

關于孔棱懸臂梁假設方案，這是模型提出者對解決問題的一種處理方式。其假設方式即此懸臂梁模型建構的可行性和實用性，已得到相關實驗結果的驗證，如關于多孔材料拉伸強度和斷后伸長率的實驗結果，以及關于多孔材料雙向拉伸的實驗結果[8,20-26]。

3.4.2.5 模型結構的各向同性

對網(wǎng)狀多孔材料提出的本八面體結構模型，是將此類材料的孔隙單元抽象簡化為單元八面體。如2.2節(jié)建模所述，這種結構方式可以實現(xiàn)整個多孔體在3個相互垂直的正交方向上同性，即空間上的三維同性，但不能實現(xiàn)任意方向上的同性。不過，從幾何學的角度上看，其結構模型只要不是球形，似乎都不可能做到任意方向上都同性。因此，能夠做到上述三維方向上的同性，就可以大致體現(xiàn)均勻結構多孔材料的各向同性特征，并進行相關的性能分析。本模型理論關于多孔材料電阻率、拉伸強度和斷后伸長率以及雙向拉伸的實驗結果[8,20-26]，都可以支持這一觀點。

3.4.2.6 其他

對于多孔材料，在可密堆積的多面體孔隙單元模型中，本八面體模型的結構最為簡單(例如，GA模型的立方孔隙結構雖簡單，但其立方孔隙單元不能密堆積，要連接棱來連接這些孔隙單元)。本模型雖然結構簡單，但能夠做到結構單元與孔隙單元完全同一，所有孔棱結構全部等價，受力狀態(tài)對應等價，并能夠反映三維方向同性的特征。對比關于多孔材料的不同模型，還可發(fā)現(xiàn)，本八面體模型理論在對此類材料的電阻率、拉伸強度、斷后伸長率，以及彈性模量分析推演和后續(xù)對雙向載荷、三向載荷、其他常見載荷、疲勞性能分析推演等，總體上都是較為便捷和簡單的。而且，這些性能分析都是源于同一單元八面體孔隙結構模型，工作具有良好的連貫性。

另外，本文第一作者提出的“八面體分析模型”，是一個對隨機發(fā)泡型高孔率網(wǎng)狀多孔材料的抽象簡化分析模型，其結構形式是對此類材料的真實孔隙結構進行的抽象和簡化。作為一種近似，本“八面體分析模型”完全可以用于低密度開孔泡沫材料的描述，就像GA模型和Kelvin模型等模型理論一樣。八面體模型體系展示了其理論上的合理性，它雖然不是真實的孔隙原貌模型，但能同時反映軸力(拉壓)變形機制和彎曲變形機制。按照這一觀點，本模型對低密度開孔泡沫材料應具有對應的實用價值。當然，其實用性應由實踐來檢驗。

還有一點需要補充：有專家提出，盡管泊松比是泡沫金屬材料的基本力學性能指標，但研究泡沫材料在線彈性狀態(tài)下的泊松比一類的工作意義不大，因為“實際應用的通常是泡沫金屬在整體屈服狀態(tài)下的泊松比”。但本文作者認為，既然是“基本力學性能指標”，那自然就有其研究的意義。而專家所指的“整體屈服狀態(tài)下的泊松比”可能也是一個重要的應用指標，但需要為該指標給出一個明確的詮釋，因為就一般意義上的認識，泊松比是個彈性常數(shù)，而屈服狀態(tài)顯然不在彈性階段。

3.5 多孔材料雙向拉伸

實際工程結構所受載荷常常具有多向性，故對其雙向和三向承載行為的研究也就十分必要。多孔材料在應用中往往也會受到多向拉伸和壓縮的復雜載荷作用，而平面內任意方向的載荷都可以在平面直角坐標系中分解為2個互相垂直方向上的分量，所以面內多向載荷都可以化為雙向載荷來處理。

3.5.1 物理模型及數(shù)理關系

3.5.1.1 雙向拉伸分析模型

在分析多孔體的雙向拉伸性能時，受力分析僅考慮軸線方向與多孔體整體受力方向一致的2個方向的八面體孔隙單元[25-26]。將構成高孔率網(wǎng)狀多孔材料的孔棱視為細梁，根據(jù)此時孔棱的結構狀態(tài)和受力狀態(tài)求出其合力，即可參照多孔體單向拉伸相類似的處理方式進行后面的推演。當多孔體承受拉壓載荷，其承載單元所受載荷導致其孔棱上任何位置的最大正應力達到對應致密材質的許用應力時，孔棱就會發(fā)生失效和破壞。大量這種同等孔隙單元中的等價孔棱的失效破壞，即可導致整個多孔體的失效和破壞。

3.5.1.2 表征雙向拉伸的數(shù)理關系

通過在雙向拉伸分析模型基礎上的分析推演，承襲拉伸強度研究中的處理方式，得出表征多孔材料雙向拉伸狀態(tài)下的力學關系為[25-26]：

(σ1+σ2)≈K·(1-θ)m·[σ]

(9)

式中：σ1和σ2是多孔體在雙向拉伸失效破壞時的2個名義主應力。

進一步表達成偏應力的簡單形式，即有:

(10)

(11)

式中：σd和σm分別為雙向加載狀態(tài)下拉伸破壞時的偏應力和平均應力。

3.5.1.3 雙向拉壓問題

當多孔材料處于一般性的雙向拉壓載荷時，即其承受的雙向載荷既有拉伸又有壓縮時，可以得到與上式類似的數(shù)理關系[25,68]。此時，外加載荷為拉伸時對應的名義主應力取正號，外加載荷為壓縮時對應的名義主應力取負號。當多孔體所受載荷以拉伸為主，m取值方式同上；但當多孔體所受載荷以壓縮為主，m通取1.5，因此雙向壓縮時m必取1.5。

3.5.2 模型理論分析

3.5.2.1 力學模型的基本假設

實際各向同性三維網(wǎng)狀結構可以同時存在許多大小和形狀各異的孔隙單元，孔棱的具體形態(tài)也可以各不相同。因此，孔棱的細觀力學行為在一定程度上亦互不相同，造成復雜的力學狀態(tài)。為簡化分析，這種復雜的結構可由一種抽象出來的較為簡單的形式來進行等效處理[6]。在本八面體模型中，抽象簡化的具體結構的力學行為僅僅是實際各向同性網(wǎng)狀結構的統(tǒng)計平均性等效表征，其可靠性還有賴于材料常數(shù)的引入來做進一步的保證。

3.5.2.2 本模型理論的總體性評述

基于所得多孔材料雙向拉伸破壞時兩向名義應力與孔率的數(shù)理關系，可進一步得出雙向承載條件的安全載荷水平判據(jù)。當雙向承受的名義應力相等時，還可得到多孔材料在雙向等荷承載條件下的載荷強度與孔率的量值關系。通過該數(shù)理關系，可以換算出對應不同孔率值的該類材料所能承受的雙向載荷水平，即該關系式可以作為多孔材料在雙向受力狀態(tài)下使用時的強度設計判據(jù)。本模型體系不但在這些方面優(yōu)于多孔材料的其他相關模型理論，而且還能夠實現(xiàn)模型孔隙單元中孔棱的結構等價和受力狀態(tài)等價，并能在單向和雙向承載(以及后述三向承載)時對孔棱進行受力分析。

由于本八面體模型和相應假設普遍適合于三維同性網(wǎng)狀多孔材料，因此所得數(shù)理關系可望符合一般性的應用。盡管已有證明其實用性的實驗例證有限，但卻具有良好的代表性[8,20-26]。

3.5.2.3 其他模型理論比較分析

在多孔材料多向承載方面所作研究中最具代表性的主要是Gibson和Ashby的工作，但一些分析結果顯示其合作建立的經(jīng)典性理論模型存在應用困難。例如，在單向載荷條件下，GA模型可以很好地采用孔棱的隔離分析方法，根據(jù)梁理論求取結構內部孔棱上產(chǎn)生的最大應力；但對于多孔體的雙向和三向承載，要繼續(xù)運用該方法似乎是困難或不可能的，因而該模型理論在數(shù)理推導過程的相關環(huán)節(jié)中直接使用了連續(xù)介質的偏應力關系表征(即孔徑對于試樣尺寸來說小到一定程度就可以視為連續(xù)體，但這個“一定程度”是很不明確的)。關于多孔材料，另一具有代表性的模型是Kelvin的十四面體模型，此外還有菱形十二面體模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等。其中在模擬計算中使用較多的是十四面體模型和菱形十二面體模型。這些模型則無論多孔體的受力狀態(tài)是單向載荷、雙向載荷和三向載荷，均無法運用梁理論進行直接受力分析而進行有關推演。借助于本八面體模型，在單向、雙向以及三向載荷狀態(tài)下均可方便地運用梁理論對多孔材料進行受力分析和推演。通過梁理論得出的多孔材料多向拉伸失效破壞數(shù)理關系，還可換算出對應不同孔率值的多孔材料所能承受的多向總體載荷水平。這些似乎都是其他模型理論體系所難于或不便于實現(xiàn)的。

3.6 三向拉壓力學模型

在實際工程應用中，除最簡單的單向載荷作用以及雙向載荷作用外，多孔泡沫材料也可能會受到空間多向載荷作用[6,84]。對于任一方向的載荷，都可將其分解成相互垂直的3個分量。可見，多向載荷的處理可轉化成為三向載荷的問題。因此，探討多孔材料在三向承載條件下發(fā)生失效的載荷條件，并據(jù)其力學性能依賴于孔率的特點，找出該材料三向拉壓承載水平與孔率的關系，對于該材料的優(yōu)化設計和實際應用具有良好的指導意義和參考價值。

3.6.1 物理模型及數(shù)理關系

3.6.1.1 三向拉壓分析模型

對于多孔體承受三向拉伸載荷的情形，其分析模型可以沿襲單向拉伸及雙向拉伸的分析方法，此時受力分析中3個相互垂直方向上的孔隙單元都需要考慮[85-86]。與雙向拉伸情況一樣，將多孔體的孔棱視為細梁，根據(jù)此時孔棱的結構狀態(tài)和受力狀態(tài)求出其合力，即可參照多孔體單向拉伸的類似處理方式進行推演。當多孔體承受拉壓載荷，其承載單元所受載荷導致其孔棱上任何位置的最大正應力達到對應致密材質的許用應力時，孔棱就會發(fā)生失效和破壞。大量同等孔隙單元中等價孔棱的失效破壞，即可導致整個多孔體的失效和破壞。

3.6.1.2 表征三向拉伸的數(shù)理關系

通過在三向拉壓分析模型基礎上的分析推演，承襲拉伸強度和雙向拉伸研究中的處理方式，得出表征多孔材料三向拉伸狀態(tài)下的力學關系為[85-86]：

K·(1-θ)m·[σ]

(12)

式中：σ1，σ2和σ3是多孔體在多向拉伸破壞時的3個名義主應力。

借用連續(xù)介質力學中的偏應力σd和平均主應力σm的概念

(13)

得：

(14)

3.6.1.3 三向拉壓問題

當多孔材料承受的三向載荷既有拉伸又有壓縮時，即多孔材料處于一般情況下的三向拉壓載荷情形時，可以得到與上式完全相同的數(shù)理關系。此時外加載荷為拉伸時對應的名義主應力取正號，外加載荷為壓縮時對應的名義主應力取負號。其中塑性指標m取值規(guī)則如下：當多孔體所受載荷以拉伸為主時，m取值方式同前所述的單向拉伸，但當多孔體所受載荷以壓縮為主(即上述σ1，σ2和σ3中較大的為壓應力)時，m通取1.5，可見三向壓縮時m必取1.5。

根據(jù)上述數(shù)理關系,可以換算出對應不同孔率值的多孔材料所能承受的多向載荷水平，即該關系式可作為在多向承載狀態(tài)下使用時的載荷設計判據(jù)。關系式的推演很好地承襲了多孔體的單向拉伸和雙向拉伸情形，實現(xiàn)了從單向到多向受力狀態(tài)分析的連續(xù)性和系統(tǒng)性。本模型在多孔體的受力分析方面，其單、雙、多向載荷狀態(tài)分析方式的一貫性和便捷性，明顯地優(yōu)于其他模型理論體系。

3.6.2 模型理論分析

3.6.2.1 孔棱細梁假設

在本八面體模型理論的有關數(shù)理關系推演過程中，多孔體內部孔隙單元的孔棱均作細梁假設，這是對高孔率網(wǎng)狀多孔材料研究的一種處理方式。這種簡化數(shù)理推演而運用的處理方式，之前即已被本領域最具名望的Gibson和Ashby等人所采用，并已被他們的理論工作及其大量的實驗工作證明是合理的和可行的[6]。

當然，當孔率較小時，對孔棱的細梁模型即不再適用。一般情況下，當多孔體的孔率小于70%以下時，細梁模型即被認為不再適用。因此，涉及這一問題的對應GA模型理論，也與本八面體模型理論一樣，要將其應用范圍限制在孔率70%以上。但其實這一孔率范圍已為網(wǎng)狀多孔材料實際產(chǎn)品的“高孔率”特征所限制，所以將模型理論用于此類產(chǎn)品時無須另外考慮適用范圍，更不用考慮孔率為0的極端條件。

3.6.2.2 幾何參量作用

對于一定的制備工藝方法和材質，孔隙大小和分布等幾何參量均有相應的規(guī)律。將這些參量的作用統(tǒng)一表征于數(shù)理關系式的材料常數(shù)或工藝影響因子中，證明是可行的。如果要進一步表達這些幾何作用，復雜性和難度就會明顯增加。利用所得結果可達到以孔率推知多孔材料多向承載水平的目的，實現(xiàn)強度與孔率的優(yōu)化組合設計。

3.6.2.3 模型的適應性

本八面體分析模型試圖以一個簡單的方式表征三維同性網(wǎng)狀多孔材料的特點，因此其對應于所有這種類型的網(wǎng)狀多孔材料。其設想的孔棱結構方式不但可以實現(xiàn)多孔體中所有孔棱的等價，同時也可實現(xiàn)多孔體中結構單元與孔隙單元的統(tǒng)一，還可使多孔體在前后、左右、上下3個垂直方位具有等同性。上述推演雖是基于八面體分析模型，但正如前文已經(jīng)提到過的，該模型其實是一個對三維網(wǎng)狀泡沫體進行抽象簡化而得到的結構-性能分析模型，因此結果可以表征所有三維網(wǎng)狀的高孔率泡沫材料，而不限于八面體孔隙單元結構的多孔體。就像GA模型并不限于立方體結構的多孔材料和Kelvin模型并不限于十四面體結構的多孔材料一樣。關于本八面體分析模型對多孔材料力學行為的實際表征，文獻[21-25]提供了應用于具有代表性的三維網(wǎng)狀多孔材料在單、雙向承載狀態(tài)下的相應實驗數(shù)據(jù)，證明表征效果是良好的。

實際泡沫材料的破壞一般呈現(xiàn)出遞進的演變過程，由微小的破壞帶逐漸發(fā)展，最終誘導發(fā)生整體性的宏觀破壞。因此，多孔體的實際破壞過程，也不會是孔棱上一點的局部應力達到相應的許用值就立即發(fā)生其宏觀性的整體破壞。雖然本模型是以理想的孔棱等同和分布均勻假設為前提，但通過引入修正性的材料常數(shù)K就可較好地適應于實際的多孔材料。類似的做法已得到實驗數(shù)據(jù)的支持，驗證結果良好[21-25]。

3.6.2.4 性能計算

雖然目前已有一些關于多孔材料的力學模型和性能計算工作，但大多處于理論研究狀態(tài)。這些理論工作結果與實踐的接合，一般還要經(jīng)歷較多的中間環(huán)節(jié)，其間還有許多工作要做。有些計算方法(如用得較多的有限元法等)需要一些關鍵性的中間參量，而這些中間參量的獲取往往需要對多孔材料實體進行較煩瑣的實際測量，其中有些還難以得到可靠的數(shù)據(jù)。由于上述種種原因，理論模擬計算的實踐性還有待加強，以真正方便作為多孔材料的設計依據(jù)。根據(jù)這種情況，今后宜大力開展理論模型、模擬計算與材料設計實踐緊密結合的研究，從而改變實際多孔材料設計不便采用和不敢放心采用理論數(shù)據(jù)的狀況。

3.6.2.5 力學性能的影響因素

多孔材料的力學性能對其孔率因素最為敏感，即孔率是影響力學性能的主要因素，這一點似乎已成為不爭的結論。但是，孔隙形狀、尺寸及其分布等因素，也都會不同程度地影響多孔材料的力學性能。不過，這些因素對性能結果的影響，可視為性能結果對理想結構的偏離，即對理論模型的偏離。因此，其影響的綜合作用可統(tǒng)一表征于材料常數(shù)和/或工藝常數(shù)中，用以修正理論模型對實際狀態(tài)的偏離。

3.6.2.6 其他補充說明

空間多向拉壓最終都可以通過載荷正交分解的方式得到三向拉壓的受力分析狀態(tài)。多孔材料在實際應用中承受拉壓載荷的情況比較復雜，但一般都是在某個或某2個方向上承受拉伸或壓縮作用為主，其他方向的載荷相對較小。實踐中，三向等應力或近等應力拉壓的多孔材料承載情況一般很難發(fā)生，因此，本數(shù)理關系可普通適用。

運用上述模型數(shù)理關系，還可以進行多孔材料承載失效模式分析，如壓縮載荷下泡沫體孔棱的剪切失效模式和屈曲失效模式等[87-88]。

3.7 其他載荷形式力學模型

對于工程材料，除拉伸和壓縮等基本載荷形式外，還有彎曲、扭轉、剪切等常見載荷形式。例如，在生物醫(yī)學領域，人工骨骼既需要泡沫金屬植入材料具有開孔網(wǎng)狀結構，同時移植人體后要承受一定的載荷作用[29]；而載荷形式在很多情況下往往都是比較復雜的，包括壓縮、彎曲、扭轉等作用，此時抗彎強度和抗扭強度也是應用過程中的重要因素[69]。以往的相關研究主要集中于泡沫材料的拉壓性能(其中特別是壓縮)[6,78]，而對其彎曲、扭轉和剪切等不同載荷形式的研究相對較少(特別是對扭轉、剪切等作用)，只有少量有關的實驗性研究報道[69,89-90]。

3.7.1 剪切載荷作用

均勻結構網(wǎng)狀泡沫金屬被視為八面體孔隙單元集合。剪切載荷作用下，多孔構件內最大名義切應力(可通過工程力學和材料力學根據(jù)不同類型的構件形式求算)造成孔棱內部產(chǎn)生的最大拉應力達到對應密實材質的許用應力大小時，就會萌發(fā)孔棱失效而導致多孔體的整體性失效。由此分析推演，承襲拉伸強度研究中的孔棱處理方式，得出表征多孔體構件在剪切載荷作用下發(fā)生失效破壞時構件中最大名義切應力與孔率的數(shù)理關系為[91-92]：

(15)

式中：τmax為多孔體構件內部產(chǎn)生的最大名義切應力；KQ是材料常數(shù)(剪切材料常數(shù))，取決于多孔體的材質種類和制備工藝條件。

3.7.2 扭轉載荷作用(扭矩作用)

多孔體構件在承受扭轉載荷時，由其名義扭矩導致的八面體孔隙單元中孔棱內部產(chǎn)生的最大拉應力達到對應密實材質的許用應力大小時，就會萌發(fā)多孔體的整體性失效。由此分析推演，承襲拉伸強度研究中的孔棱處理方式，得出表征多孔體構件在扭轉力作用下發(fā)生失效破壞時構件中最大名義扭矩與孔率的數(shù)理關系為[92-93]：

KT·WP·θ·(1-θ)m·[σ]

(16)

式中：Tmax為多孔體構件所能承受的最大名義扭矩，可通過工程力學和材料力學進行計算求出；KT是材料常數(shù)(扭轉材料常數(shù))，同樣取決于多孔體的材質種類和制備工藝條件；WP為與多孔體構件形狀和尺寸均相同的對應同質致密構件的扭轉截面模量。

3.7.3 彎曲載荷作用(彎矩作用)

按照剪切載荷形式中的物理模型假設，建立三維同性均勻網(wǎng)狀泡沫金屬的簡化分析模型。多孔體構件在承受彎矩作用時，由其在構件的八面體孔隙單元中孔棱內部引發(fā)的最大拉應力達到對應密實材質的許用應力大小時，就會萌發(fā)多孔體的整體性失效。由此分析推演，承襲拉伸強度研究中的有關處理方式，得出多孔體構件在彎曲載荷作用下發(fā)生失效破壞時能夠承受的最大名義彎矩大小可表達為[92,94]：

KB·Wz·θ·(1-θ)m·[σ]

(17)

式中：Mmax是多孔體構件所能承受的最大名義彎矩大?。籏B是材料常數(shù)(彎曲材料常數(shù))；Wz為與多孔體構件形狀和尺寸均相同的對應同質致密構件的抗彎截面模量。

3.7.4 關于模型本質和驗證問題

本文的八面體分析模型是對所有各向同性三維網(wǎng)狀多孔材料的抽象。基于本分析模型的建構原則，在受力分析過程中可抽取一個孔隙單元來表征整個結構的受力狀態(tài)，同時也可由一條棱來推演整個結構單元的力學行為。

對于本部分數(shù)理關系的實驗結果佐證問題，由于所要求的同工藝系列孔率的泡沫金屬材料樣品制取難度較大，目前還不易實施。該項實驗數(shù)據(jù)也未見報道。

3.7.5 孔棱破壞模式

當多孔體構件承受剪切、扭轉、彎曲等載荷時，對應地，由其名義切應力τ、名義扭矩T、名義彎矩M引起的多孔體孔棱內部最大拉應力σmax達到對應密實材質的抗拉強度σ0大小，或者多孔體孔棱內部最大切應力τmax達到對應密實材質的剪切強度τ0大小時，都會誘發(fā)多孔體的整體性破壞。考慮到脆性材質的剪切強度與抗拉強度大小相當(即τ0≈σ0)以及韌性材質的剪切強度略高于其抗拉強度的半值(即τ0≈(0.5～0.577)σ0)[95]，比較可以滿足有關條件關系的難易程度，得出：在扭轉、剪切和彎曲載荷的作用下，脆性材質的多孔構件的孔棱多呈拉斷破壞模式；韌性材質的多孔構件，當其材質的τ0為其σ0的半值或接近半值時，孔棱趨向于剪切斷裂破壞，而當τ0超過其σ0的半值時，孔棱仍將趨向于拉斷破壞[96-97]?？梢?，多孔構件在載荷作用下大多都是孔棱拉斷的破壞模式，但有時也可能出現(xiàn)孔棱趨向于剪切斷裂的破壞模式。

3.8 多孔材料疲勞性能

疲勞也是工程材料在使用過程中可能遇到的基本力學性能之一。作為一種用途廣泛的功能結構材料[1-5]，泡沫金屬也會遇到疲勞問題。該類材料具有大量孔隙、彈性內耗大、小能量沖擊性能好，在能量不大的沖擊和循環(huán)負荷下使用，能獲得滿意的結果[6,42]。由金屬沉積法和滲流鑄造法等工藝制備的高孔率網(wǎng)狀泡沫金屬，在很多情況下可以適應于上述用途。但在某些應用場合，會遇到疲勞(材料在大小或方向隨時間而變化的交變應力作用下發(fā)生的失效[95])或類疲勞的問題：如在震動裝置中，會受到震源的反復沖擊；在高載場合使用多孔植入體，一個主要關注問題即是多孔基體對疲勞強度的影響；做電池多孔電極的基體，在活性物質灌注和充電過程中都會產(chǎn)生應力和疲勞[98]，引起基體網(wǎng)眼結點的機械破壞，影響電極長期使用過程中的容量衰減[99]。疲勞性能強烈地依賴于材料的塑性，從而也像塑性一樣強烈地依賴于多孔體的孔率/相對密度[42]，而且多孔體在循環(huán)應力條件下的應用不斷增多，故疲勞-孔率的關系變得相當重要[73]。

3.8.1 物理模型及數(shù)理關系

3.8.1.1 疲勞性能分析模型

將三維同性網(wǎng)狀泡沫金屬視為大量體心立方式結構的孔棱所形成的八面體孔隙單元集合[8]。無論多孔體所受載荷是循環(huán)拉壓還是循環(huán)彎曲，總可歸于其單元八面體在各自軸向的往復拉壓(其中循環(huán)彎曲作用時多孔構件中性層兩側的單元八面體拉壓正好相對)，即孔棱具有產(chǎn)生繞結點的來回偏轉或具有這種趨勢。而多孔體的反復扭轉也由其內孔棱繞結點的往復偏轉來實現(xiàn)，更是易于直接理解。因此，多孔體的循環(huán)負荷性能，最終可由孔棱所受的反復彎曲載荷來體現(xiàn)。在做疲勞性能比較時，對同工藝同材質的多孔體，可簡單地統(tǒng)一考慮其均勻孔棱所受的彎曲作用，最終歸結為該彎曲作用使孔棱產(chǎn)生的最大應力，即在同樣的外加循環(huán)載荷作用下，同質孔棱產(chǎn)生的最大應力幅值越小，多孔體的疲勞性能越好。

3.8.1.2 表征疲勞性能的數(shù)理關系

(1)類應力疲勞(多孔材料整體所受外加循環(huán)載荷為應力幅控制)

通過疲勞性能分析模型基礎上的分析推演，得出表征多孔材料類應力疲勞性能指標的疲勞因子(應力疲勞因子)為[100]：

Fσ=Kσ(1-θ)-m

(18)

式中：Fσ為應力疲勞因子；Kσ是材料常數(shù)。

無論是在彈性區(qū)還是在塑性區(qū)，F(xiàn)σ都可以作為比較材料疲勞性能的指標，即在同一循環(huán)載荷作用下Fσ越大的泡沫金屬越易產(chǎn)生疲勞。只要多孔體發(fā)生受應力幅控制的疲勞現(xiàn)象，其疲勞性能總可用Fσ作為比較性的表征，從而把疲勞性能與材料的孔率聯(lián)系在一起。

(2)類應變疲勞(作用在多孔體上的外加循環(huán)載荷受應變幅控制)

通過在疲勞性能分析模型基礎上的分析推演，得出表征多孔材料類應變疲勞性能指標的疲勞因子(應變疲勞因子)為[100]：

(19)

式中：Fε為應變疲勞因子；Kε為取決于多孔體制備工藝和材質的常數(shù)；d為多孔體中孔隙的等效圓孔直徑。

無論是在彈性區(qū)還是在塑性區(qū)，F(xiàn)ε都可以作為比較多孔體疲勞性能的指標，即在同一循環(huán)載荷作用下Fσ越大的泡沫金屬越易產(chǎn)生疲勞。只要多孔體發(fā)生受應變幅控制的疲勞現(xiàn)象，其疲勞性能總可用Fε來作為比較性的表征，從而把疲勞性能與材料的孔率聯(lián)系在一起。

3.8.1.3 疲勞因子分析

(1)對類應力疲勞因子Fσ的分析

對于同工藝制備的同質多孔泡沫金屬，在同等循環(huán)載荷的作用下，如果在彈性應變范圍內其孔棱所受往復應力幅值σmax(大于疲勞極限)越大，則多孔體的疲勞損傷會越嚴重。根據(jù)文獻[100]可知，外加載荷幅值一定，則Fσ越大的材料其孔棱受力幅值σmax越大，多孔體越易產(chǎn)生疲勞。所以，F(xiàn)σ可作為衡量多孔體類應力疲勞性能高低的指標。

當金屬孔棱應變進入塑性區(qū)，則同一循環(huán)載荷條件下多孔體的Fσ越大，其應變超出彈性極限的距離也就越遠，即進入塑性區(qū)越深，故其疲勞性能會越差。因此，無論是在彈性區(qū)還是在塑性區(qū)內，F(xiàn)σ都可以作為比較材料疲勞性能的指標。由表達式可看出，同工藝同材質制備的多孔體，孔率越高，F(xiàn)σ值越大，越易產(chǎn)生類應力疲勞。

值得指出的是，由于Kσ為取決于多孔體制備工藝和材質的材料常數(shù)，與孔率無關，可見Fσ/Kσ能夠起到與Fσ同樣的疲勞表征作用。

(2)對類應變疲勞因子Fε的分析

當多孔金屬的孔棱處于彈性應變區(qū)，最大應力幅與最大應變幅成比例，這時只要產(chǎn)生的最大應力幅大于對應致密金屬的疲勞極限，就可以用式(19)表達的Fε來表征多孔體的類應變疲勞性能。

當多孔體孔棱的最大應變幅處于塑性區(qū)，應力和應變的關系就比較復雜。但對同一方法制備的同質多孔材料，F(xiàn)ε較大時其孔棱尺寸也較大[100]，從而使同樣的循環(huán)應變作用產(chǎn)生的最大塑變幅度也較大，這時孔棱和整個多孔體較易疲勞。所以，F(xiàn)ε仍可衡量多孔體的類應變疲勞性能。

總之，只要多孔體發(fā)生類應變疲勞，其疲勞性能的相對優(yōu)劣就總可用Fε來表征。Fε與孔率和孔徑都有關系，當然還與材質和多孔體制備工藝有關。孔徑越大、孔率越小，則Fε值越大，多孔體越易產(chǎn)生類應變疲勞。

3.8.2 模型理論分析

3.8.2.1 本模型理論的實用性

疲勞因子Fσ和Fσ是關于多孔材料不同類型疲勞性能的衡量指標。式(18)和式(19)把這兩項指標與孔率聯(lián)系在一起，從而得出了多孔材料疲勞與孔率的某種對應關系。但關系式并不是對疲勞性能具體量值的一種計算，而只是反映疲勞性能隨孔率變化的一種趨勢，可應用于判斷疲勞性能隨孔率的走向以及疲勞性能的相互比較等場合。文獻[100]的實驗數(shù)據(jù)表明，樣品疲勞性能相對優(yōu)劣的實驗考核指標(Δρ/ρ)走向規(guī)律與對應模型指標(Fσ/Kσ或Fε/Kε)走向一致，這直接印證了模型理論的正確性和實用性。

3.8.2.2 某些環(huán)節(jié)的處理方式

根據(jù)本八面體模型理論的建構，無論是循環(huán)拉壓載荷作用還是循環(huán)彎曲或循環(huán)扭轉載荷作用，都可轉化為多孔體內部孔隙單元的往復拉壓問題。在多孔體承受應變幅一定的循環(huán)加載過程中，其總體上的反復變形幅度即為一定，此時多孔體內部孔棱的軸線運動幅度也一定。在這種情況下，孔棱越粗，意味著其表層產(chǎn)生的最大伸縮量越大，從而導致應力幅值也越高，故在同等循環(huán)載荷作用下多孔體越易疲勞。當然，如果多孔體承受的是應力幅一定的循環(huán)加載，則情況完全相反。此時若多孔體的孔棱越粗，則其截面彎曲模量越大，孔棱表層可產(chǎn)生的最大應力(正應力)就會越小，因而多孔體越不易產(chǎn)生疲勞。這些都體現(xiàn)在式(18)和式(19)中，并由相關實驗結果所驗證[100]。

此外，本工作之所以將泡沫金屬的疲勞問題分為應力幅控制的類應力疲勞和應變幅控制的類應變疲勞兩種情形，系因為這是工程材料可能遇到的最基本的兩種循環(huán)載荷形式。當然，工程構件在實際使用過程中遇到的循環(huán)載荷形式可能遠比這兩種情況復雜，但分析研究可以以此為基礎展開。

3.8.2.3 其他相關討論

對于傳統(tǒng)的粉末燒結多孔金屬材料，孔率較低，孔隙孤立(孔隙是引起應力集中和產(chǎn)生疲勞裂紋源的場所)[42,73]。因此，人們趨于認為提高孔率將降低材料的疲勞性能。然而，卻未曾發(fā)現(xiàn)疲勞和孔率關系的理論性研究報道，也未見到明確地對疲勞和孔率關系的數(shù)理描述。

后期發(fā)展的高孔率泡沫金屬相對來說是一種新型的多孔材料。本工作對其疲勞-孔率關系的研究表明，對于受應力幅控制的循環(huán)載荷，多孔體的疲勞性損傷隨孔率增大而增大；而相應的類應變疲勞性能卻隨孔率增大和孔徑減小而變好。這些主要都是因為高孔率泡沫金屬對傳統(tǒng)的孔率較低的多孔材料而言，具有較獨特的結構特征所致。

高孔率開孔泡沫金屬的孔率高、孔徑大、孔隙連通，它不再被視為引起應力集中的“缺陷”或“夾雜物”，而是一個廣闊的“環(huán)境”。裂紋源的形成主要不在于孔隙，而在于孔棱本身所能產(chǎn)生的最大應力。當然，孔棱的表面狀況和內部缺陷，如表面溝紋、內部夾雜物和亞孔(孔棱中存在的比主體孔隙小得多的微細孔隙)等，都會影響孔棱所能產(chǎn)生的最大應力，它們可以造成應力集中和形成裂紋源。但這些可分別納入式(18)和式(19)的常數(shù)項Kσ和Kε之中，故該兩式利用孔率孔徑可方便地進行高孔率網(wǎng)狀泡沫金屬疲勞性能的比較。這對于不同應用場合的選材和設計是有利的。

疲勞破壞經(jīng)歷裂紋形成、擴展和瞬斷3個階段。疲勞裂紋源一般總是出現(xiàn)在應力最高的部位[101]。受彎曲或扭轉后表層應力最高，故裂紋源大多在表面層的峰值應力處。本理論對Fσ和Fε的推演，正是建立在表層產(chǎn)生最大應力的前提下，因而其出發(fā)點具有合理性。

影響疲勞強度的因素很多[101-102]，包括材質、材料狀態(tài)和工作條件。材質方面有化學成分、金相組織以及表面條件和內部缺陷等；材料狀態(tài)方面有應力集中因素、尺寸因素、表面處理因素等，這兩方面都可體現(xiàn)在Fσ和Fε表達式中的常數(shù)項Kσ和Kε上；至于工作條件的載荷特性、環(huán)境介質和使用溫度等，只要保持一致，高孔率開口泡沫金屬的疲勞性能就仍可用式(18)和式(19)表達的Fσ和Fε來比較。

3.8.3 相關工作對比分析

在泡沫體簡單受力狀態(tài)下，Gibson和Ashby的立方結構孔隙單元模型可以直接運用幾何力學的方式進行相關分析，但他們沒能根據(jù)該模型開展多孔材料的疲勞性能研究工作，這可能是其中某一或某些環(huán)節(jié)遇到了困難，比如孔隙單元中不同孔棱的受力分析綜合處理等。其他較復雜的結構模型(如十四面體模型、FCC格子模型、菱形十二面體模型等)可能更接近泡沫體的真實結構，但也可能不便于通過簡單的方式推演有關性能的關系表征，而需依靠數(shù)據(jù)模擬和計算軟件才能實現(xiàn)計算功能。

本八面體孔隙單元模型的特點是構造相對簡單，便于直接運用幾何力學的方式進行相關的數(shù)理推演，并獲得易于使用的數(shù)理關系，無須借助數(shù)據(jù)模擬和計算軟件就能實現(xiàn)性能指標計算或性能對比計算。而且本模型理論在解決多孔材料一系列物理、力學性能問題方面是相承相依的，具有良好的連貫性和系統(tǒng)性。

本八面體模型理論對網(wǎng)狀多孔金屬材料疲勞性能的探討，獲得了多孔體的孔率和孔徑等孔隙因素對該性能的直接表征，其中的孔率參量其實是開孔率。只是由于一般網(wǎng)狀多孔金屬產(chǎn)品的閉孔率相對很小，開孔率與總孔率近似相等，而總孔率的檢測比開孔率還要簡單、方便，因此上述表征關系中就直接使用了總孔率指標。

3.9 多孔材料比表面積

雖然多孔材料比表面積是一個結構性的參量，但在實際應用中具有與物理、力學性能指標同等重要的地位。在多孔材料的很多應用中，如消音降噪、熱量交換、反應催化、電化學過程以及人工骨骼生物組織內生長等場合，都需要利用其內部孔隙的表面(即多孔體的內表面)，其使用性能強烈地依賴于孔隙表面(即孔棱/孔壁的表面)的結構形態(tài)和多孔體比表面積的大小[103-107]。該材料用于熱交換和散熱等熱傳遞過程時，由于傳導、對流、輻射三種方式的傳熱均與多孔體的內表面積有關[108]，多孔體的比表面積會對熱傳遞效率產(chǎn)生重大影響；在聲音吸收和消音降噪等能量衰減過程中，聲波在多孔體內的反射、折射、吸收，以及聲波引起介質振動而與孔隙表面產(chǎn)生摩擦生熱等，也都與內表面直接相關，多孔體的比表面積大小會嚴重影響到聲能的衰減程度[109]；在作為多孔態(tài)人工骨骼方面，多孔體的內表面積則涉及生物組織內生長時與人工骨的結合面等問題；此外，分離過濾時多孔體內表面的吸附作用，也會影響到分離過濾的效果等等。泡沫金屬具有發(fā)達的表面和很強的表面作用，可制成高效能的傳熱換熱裝置、消音降噪裝置和催化劑載體，也可制成高效電池電極基體和多種電化學過程電極等。在這些突出利用表面作用的場合，多孔材料的比表面積指標顯得尤為重要，直接影響著多孔體的使用性能，故這項指標成為整個多孔部件的一個重要參量。

3.9.1 物理模型及數(shù)理關系

3.9.1.1 比表面積分析模型

為簡化網(wǎng)狀多孔材料比表面積的分析過程，可將其結構表征為由其孔棱規(guī)則地按立方體對角線方式連接而形成的大量正交密堆積的八面體孔隙單元集合。因為高孔率多孔體中孔棱結點所占空間相對很小，其表面積相對于孔棱的表面積也就很小。因此，多孔體內部孔隙的表面積，主要貢獻來自孔棱，而結點貢獻可近似地納入到孔棱一并計算[110]。于是，一個單元八面體中各條孔棱表面積的總和，與包含這個單元八面體的立方體體積之比，即可表征整個多孔體的體積比表面積，較確切地說是有效體積比表面積。

3.9.1.2 比表面積數(shù)理關系

通過在比表面積分析模型基礎上的分析推演，得出表征多孔材料體積比表面積的計算公式[110]：

(20)

式中：SV為多孔體的比表面積，cm2/cm3；KS為材料常數(shù)；d為多孔體的平均孔徑，mm；n為多孔體孔隙結構形態(tài)的幾何因子。

3.9.2 模型理論分析

3.9.2.1 本計算方法的適應性

本模型關系公式的理論部分基于高孔率多孔材料，故整個公式應該只適于高孔率范圍，如可應用于電沉積法制備的網(wǎng)狀泡沫金屬和滲流法制備的開孔胞狀泡沫金屬等多孔產(chǎn)品。

孔率不變，多孔材料制品的比表面積隨孔徑增大而減小。而保持孔徑不變，多孔材料制品的比表面積隨孔率的提高先增大后減小，有一個極大值，對應于該極值的孔率值隨多孔體的制備工藝和材質以及孔徑值而異。

3.9.2.2 本計算方法的優(yōu)越性

在多孔材料比表面積的獲知方面，以往一般都是采用直接測試的方法，當然其中也會用到材料的其他一些參數(shù)。對于多孔材料比表面積的測試，目前采用的主要方法有氣體吸附法(BET法)、流體透過法和壓汞法等[5]。在一些場合，由于測量方法、測試設備以及材料取樣等方面的限制，給測量工作帶來很大的不便，有時則根本無能為力。而對多孔材料比表面積的理論計算，都是限于已知多孔體孔隙尺寸、孔棱尺寸(或孔壁厚度)和更多的結構參量為前提條件的方法[18-19]。在實踐中，孔率和孔隙尺寸可通過一些比較簡單的實驗方法進行測試，特別是具有統(tǒng)計性質的簡單方法，得出的結果也比較可靠；但孔棱尺寸或孔壁厚度等結構參量的問題則比較麻煩，利用孔率和孔徑等易知易測或可測的少量指標來間接求算比表面積的研究，特別是其可較廣泛地適應于不同工藝方式制備的不同結構多孔材料的研究，是一項具有實際意義的工作。本工作即是根據(jù)一般性多孔材料的簡化結構處理結合有關實驗數(shù)據(jù)，提出了通過孔率和孔徑這兩個指標來估算多孔材料比表面積的方法。該法利用多孔體的孔率和孔徑等普通參量，可方便地計算不同結構多孔材料的比表面積，并可用于對多孔產(chǎn)品比表面積不能或不便直接測試的場合。

運用本模型理論關于多孔材料比表面積的計算公式，可方便地考察和分析生產(chǎn)工藝條件對多孔產(chǎn)品比表面積的影響[111]。多孔材料的比表面積與孔率和孔徑等均有關系。而生產(chǎn)中一般只能控制各指標的范圍，難以得到孔率和孔徑都完全相同的產(chǎn)品。因此，要比較不同工藝條件對產(chǎn)品比表面積的影響及影響程度，就很難直接利用實驗所測數(shù)據(jù)來進行。借助于式(20)就可解決這一問題。當然，還有研究者也提出了關于泡沫金屬比表面積的其他計算方法[18-19]，但所需參量不易測量獲得多孔產(chǎn)品的對應真實值。

按公式(20)，基于某一材質和某種工藝，只要確定式中Ks和n中的任何一個量，另一個量即可體現(xiàn)不同工藝條件對所得多孔材料比表面積的影響狀況。由公式可以看出，SV對指數(shù)項n較為敏感，即n有較小變化時SV就可能作較大變化，SV相差不很大時n的差別就不會明顯，從而難于比較。因此，在本工作中采用確定n值而比較Ks值的作法，此時對應K值較大的工藝條件即有利于獲得較大的比表面積。

4 結束語

多孔材料優(yōu)異的綜合性能賦予了其豐富的用途。近些年來，多孔材料在各方面的研究都得到了快速的發(fā)展。不但其制備工藝技術在不斷改進并不斷創(chuàng)新，而且其物理、力學性能研究也在不斷推進并越來越緊密地與實際應用相結合。材料的研制及其性能研究的最終目標都是材料的實際應用，而應用的前提則是其性能指標達到預期的要求，因此其性能指標的預先估算和性能關系的研究就具有重要的意義。

文中各數(shù)理關系源于八面體分析模型。由于該模型是對三維網(wǎng)狀多孔體進行抽象簡化而得到的結構-性能分析模型，因此結果可以表征所有三維網(wǎng)狀的高孔率泡沫金屬，而不限于八面體孔隙結構的多孔材料。此外，基于網(wǎng)狀多孔材料結構特征條件下的本模型理論，其性能研究適用范圍限于較高的孔率區(qū)間。規(guī)?；姵练e工藝等方法獲得的產(chǎn)品實際孔率范圍一般在80%以上，多超過90%。因此，本八面體模型理論具有廣泛的實踐背景以及良好的實用價值。

多孔材料是由固相和通過固相形成的孔隙所組成的復合體，其應用無一例外地要利用其孔隙。因此，多孔材料最基本的參量應是直接表征其孔隙性狀的指標即其孔隙因素，如孔率、孔徑、孔形、比表面積等。其中孔率指標又是這些參量中最基本的主要指標，因為它對多孔材料力學、物理和化學等方面性能的影響最為顯著。當然，多孔材料的性能也在某種程度上依賴于孔隙形貌、孔隙尺寸及其分布，但一般遠不如孔率這一參量那樣突出。因此，在研究該類材料的物理、力學性能時，首先就是要考慮其孔率指標對這些性能指標的影響；研究這些性能與材料孔隙因素的數(shù)理關系，主要研究其與孔率參量的關系規(guī)律。在本文中，介紹和討論了多孔材料的電阻率、拉伸強度、伸長率、彈性模量、雙向拉伸、多向拉壓、彎曲載荷、扭轉載荷、剪切載荷、疲勞載荷以及比表面積等性能指標與孔率參量的數(shù)理關系，以期對多孔材料制品性能指標進行一個粗略的估算和評判，為多孔材料實際應用選材和設計提供初步參考。

作為一種多孔材料，泡沫金屬以電性能、熱性能、聲性能等物理指標優(yōu)良而獲得諸多的功能應用，并且由于體密度低、比強度高、比剛度大、熱導率優(yōu)、導電性佳、吸能性好等特點而在結構用途方面也可供選擇。力學性能與電、熱、聲等物理性能的結合，為泡沫金屬的工程應用開創(chuàng)了廣闊的前景。為了進一步優(yōu)化多孔材料在不同領域和各個方面的應用，尤其是功能-結構一體化應用，進一步拓寬多孔材料可能的應用范疇，對其結構指標和性能指標的綜合優(yōu)化組合開展更深入的研究將具有十分重要的意義。