趣談數(shù)學(xué)中的一去與一回的教學(xué)研究

陶印修 趙紅

【摘要】學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)在一定程度上還是有難度的，就連馬云都如此。本文借助一去與一回又回到原點(diǎn)的思路來談小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)，相互啟發(fā)，舉一反三，溫故而知新，以期達(dá)到學(xué)生感興趣、減輕學(xué)習(xí)難度的目的。

【關(guān)鍵詞】一去一回 回到原點(diǎn)

容易明白把去理解為正方向，把回理解為去的反（或逆）方向，一去與一回相互抵消后又回到原點(diǎn)。本文談的是初等數(shù)學(xué)中變量x（其實(shí)變量x也是函數(shù)）的一去與一回又回到原點(diǎn)及高等數(shù)學(xué)中函數(shù)F（x）的一去與一回又回到原點(diǎn)兩種情形。

一、初等數(shù)學(xué)中變量x的一去與一回又回到原點(diǎn)

（一）乘法與除法中變量x又回到原點(diǎn)

例1 2x=y是x的一去為乘法運(yùn)算，那x=y/2就是x的一回為除法運(yùn)算。

由于x經(jīng)過乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算后又回到原點(diǎn)，說明乘法運(yùn)算與除法運(yùn)算相互抵消，故把乘法運(yùn)算叫正運(yùn)算，把除法運(yùn)算叫乘法的逆運(yùn)算。

例1是小學(xué)數(shù)學(xué)，比較簡(jiǎn)單，通過此來理解下面的兩個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的例子。

（二）乘方與開方中變量又回到原點(diǎn)

由于x經(jīng)過乘方運(yùn)算與開方運(yùn)算后又回到原點(diǎn)，說明乘方運(yùn)算與開方運(yùn)算相互抵消，故把乘方運(yùn)算叫正運(yùn)算，把開方運(yùn)算叫乘方的逆運(yùn)算。

（三）指數(shù)與對(duì)數(shù)中變量x又回到原點(diǎn)

例3a^x=y是x的一去為指數(shù)運(yùn)算，那x=logay就是x的一回為對(duì)數(shù)運(yùn)算。

由于x經(jīng)過指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算后又回到原點(diǎn)，說明指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算相互抵消，故把指數(shù)運(yùn)算叫正運(yùn)算，把對(duì)數(shù)運(yùn)算叫指數(shù)的逆運(yùn)算。

需要說明的是，x^a是冪函數(shù)，而a^x是指數(shù)函數(shù)，千萬不要搞混。

由于x經(jīng)過函數(shù)運(yùn)算與反函數(shù)運(yùn)算后又回到原點(diǎn)，說明函數(shù)運(yùn)算與反函數(shù)運(yùn)算相互抵消，故把函數(shù)運(yùn)算叫正運(yùn)算，把反函數(shù)運(yùn)算叫函數(shù)的逆運(yùn)算。

例4是抽象函數(shù)f（x）的正運(yùn)算與抽象函數(shù)f^-1（y）（習(xí)慣上把f^-1（y）寫成f^-1（x））的逆運(yùn)算

以上4個(gè)例子不僅可以相互推導(dǎo)，而且其關(guān)鍵問題是，原來的x經(jīng)過正運(yùn)算與其相應(yīng)的逆運(yùn)算兩種運(yùn)算后x又回到原點(diǎn)，這樣的兩種運(yùn)算就是互逆運(yùn)算。

一中談到的一去就是已知x把y求出來，一中談到的一來就是已知y把x求出來。

由于F（x）經(jīng)過微分運(yùn)算與積分運(yùn)算后又回到原點(diǎn)，說明微分運(yùn)算與積分運(yùn)算相互抵消，故把微分運(yùn)算叫正運(yùn)算，把積分運(yùn)算叫微分的逆運(yùn)算。

例5是抽象函數(shù)F（x）的正運(yùn)算與抽象函數(shù)f（x）的逆運(yùn)算。若把例5具體化：當(dāng)已知F（x）=sinx時(shí)，那正運(yùn)算的結(jié)果就是f（x）=COSX;當(dāng)已知f（x）=COSX時(shí)，那逆運(yùn)算的結(jié)果就是F（x）=sinx。

二中談到的一去就是已知F（x）把f（x）求出來，二中談到的一來就是已知f（x）把F（x）求出來。