• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群:本質(zhì)解析與教學(xué)設(shè)計(jì)

    2019-06-18 13:36:22武麗莎
    關(guān)鍵詞:核心內(nèi)容學(xué)段運(yùn)算

    武麗莎

    ?

    小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群:本質(zhì)解析與教學(xué)設(shè)計(jì)

    武麗莎

    (唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,河北 唐山 063000)

    小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群,即在小學(xué)數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率)內(nèi),能夠聯(lián)結(jié)相應(yīng)領(lǐng)域中不同學(xué)段的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持、具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法。小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群具有聯(lián)結(jié)性特征、持續(xù)性特征、奠基性特征、思想性特征,從數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展以及數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度解析核心內(nèi)容群有助于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略的設(shè)計(jì)與教學(xué)資源的開(kāi)發(fā)。

    小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群;本質(zhì)解析;教學(xué)設(shè)計(jì)

    1 小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的內(nèi)涵

    1.1 何為“核心”

    《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》對(duì)“核心”一詞的解釋為中心,即主要部分[1]。所謂“核心”,是指在一定的領(lǐng)域或體系中,對(duì)事物或事情的存在提供支持和持續(xù)作用、某類領(lǐng)域或體系中不可或缺的部分,既可以是現(xiàn)實(shí)世界的存在物,也可以是精神世界的存在物。從范圍層面來(lái)看,“核心”一定是針對(duì)某個(gè)領(lǐng)域或者體系而言,以孤立形態(tài)存在的對(duì)象沒(méi)有“核心”;從時(shí)間層面來(lái)看,“核心”對(duì)事物或事情存在的支持具有持續(xù)性,其支持作用不會(huì)消失;從功能層面來(lái)看,“核心”是不可或缺的,是一個(gè)領(lǐng)域或體系存在的前提,具有一定的奠基作用。

    1.2 何為小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群

    數(shù)學(xué)內(nèi)容是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想兩條主線的集中體現(xiàn)[2],缺少數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容沒(méi)有價(jià)值,缺少數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容沒(méi)有靈魂,數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程就是數(shù)學(xué)思想形成凸顯的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容作為數(shù)學(xué)內(nèi)容的下位概念,一方面應(yīng)該具備數(shù)學(xué)內(nèi)容的共同屬性,另一方面又具有反映自身的特殊性?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》)指出:“在數(shù)學(xué)課程中,應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時(shí)代發(fā)展對(duì)人才培養(yǎng)的需要,數(shù)學(xué)課程還要特別注重發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)?!盵3]

    基于“核心”和小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容兩方面因素,我們提出小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的概念,它是包括知識(shí)點(diǎn)、綜合數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)和思想方法的內(nèi)容體系,具有基礎(chǔ)性、聯(lián)結(jié)性、持續(xù)性、思想性等特征。所謂小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群,即在小學(xué)數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域(數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率)內(nèi),能夠聯(lián)結(jié)相應(yīng)領(lǐng)域中不同學(xué)段的小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容并為其提供持續(xù)性支持具有奠基作用的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。

    2 小數(shù)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群的數(shù)學(xué)本質(zhì)解析

    2.1 小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

    2.1.1 數(shù)與數(shù)量

    人類很早便具有區(qū)分?jǐn)?shù)量的能力,數(shù)的形成依賴于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量本質(zhì)的抽象,但是從這種對(duì)數(shù)量的感性認(rèn)知抽象到對(duì)數(shù)的理性認(rèn)知卻是緩慢漸進(jìn)的,這種理性認(rèn)知的對(duì)象便是某種群組所共有的屬性(數(shù))[4]?!皵?shù)概念的形成可能與火的使用一樣古老,大約是在30萬(wàn)年以前,它對(duì)人類文明的意義也決不亞于火的使用?!盵5]而記數(shù)是伴隨著計(jì)數(shù)的發(fā)展而發(fā)展的,十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)經(jīng)歷了計(jì)數(shù)、符號(hào)兩個(gè)層次的抽象過(guò)程[6]。

    圖1 核心內(nèi)容群:數(shù)與數(shù)量網(wǎng)絡(luò)圖

    小學(xué)階段“數(shù)與數(shù)量”的內(nèi)容也是由現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量到數(shù)學(xué)世界數(shù)的抽象,可以從三個(gè)角度來(lái)理解:第一,數(shù)位與計(jì)數(shù)法;第二,數(shù)域的擴(kuò)充;第三,數(shù)的特征分類。如圖1所示,小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段和第二學(xué)段分別接觸萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)和萬(wàn)以上的數(shù),自然數(shù)表示實(shí)現(xiàn)由小到大的關(guān)鍵在于數(shù)位與計(jì)數(shù)法的使用。數(shù)位是指在一個(gè)數(shù)中每個(gè)數(shù)字符號(hào)所占的位置,一個(gè)數(shù)字符號(hào)不僅代表自身的數(shù)值,還隱含著它所在的數(shù)位,即使是同一個(gè)數(shù)字符號(hào),由于所在數(shù)位不同,計(jì)數(shù)單位不同,所表達(dá)的含義也就不同。在眾多計(jì)數(shù)法中,我國(guó)的十進(jìn)位制(滿十進(jìn)一,四位一級(jí))記數(shù)體系成為普遍采用的方法。馬克思認(rèn)為:“中國(guó)的十進(jìn)位制是最美妙的發(fā)明之一。”[7]也正是因?yàn)閿?shù)位與十進(jìn)制,我們才能夠利用“0~9”十個(gè)數(shù)字符號(hào)表示出所有的自然數(shù)。在我國(guó),除了利用數(shù)位記數(shù)法來(lái)表示自然數(shù),還有一種科學(xué)記數(shù)法。在科學(xué)記數(shù)法中,如果采用十進(jìn)制記數(shù),那么我們稱“10”為基底,一般來(lái)說(shuō),是幾進(jìn)制,基底就是幾。有了基底,任意一個(gè)自然數(shù)都可以表示成基底的線性組合的形式,例如

    9 527(10)=9×103+5×102+2×101+7×100”。兩種記數(shù)法雖然表現(xiàn)形式不同,但在本質(zhì)上是一致的,基底的冪是數(shù)位與進(jìn)位制的合二為一。

    數(shù)域擴(kuò)充的根本原因在于運(yùn)算,當(dāng)一個(gè)數(shù)域?qū)δ撤N運(yùn)算不再保持封閉性時(shí),便會(huì)有新的數(shù)產(chǎn)生,從而再次保證運(yùn)算的封閉性,實(shí)現(xiàn)數(shù)域的擴(kuò)充。在小學(xué)階段涉及兩次數(shù)的擴(kuò)充,第一次是在小學(xué)第一學(xué)段——分?jǐn)?shù)的出現(xiàn),這是因?yàn)樽匀粩?shù)對(duì)于除法運(yùn)算不再保持封閉,例如“2÷3”的結(jié)果不是自然數(shù),從而需要引入分?jǐn)?shù);第二次是在小學(xué)第二學(xué)段——負(fù)數(shù)的出現(xiàn),這是因?yàn)檎麛?shù)對(duì)減法運(yùn)算不再保持封閉,例如“2-3”的結(jié)果不是正整數(shù),從而需要引入負(fù)數(shù)。分?jǐn)?shù)的現(xiàn)實(shí)意義有兩個(gè),第一個(gè)意義是整體與等分,通過(guò)等分形成分?jǐn)?shù)單位,這是非常重要的概念,無(wú)論是在分?jǐn)?shù)的運(yùn)算,還是分?jǐn)?shù)的大小比較,都是以分?jǐn)?shù)單位作為基礎(chǔ);第二個(gè)意義是整數(shù)的比例關(guān)系,體現(xiàn)了除法運(yùn)算結(jié)果,這里需要注意的是分?jǐn)?shù)是除法運(yùn)算的結(jié)果(數(shù)),而不是除法運(yùn)算本身[6,p13-15]。小數(shù)作為分?jǐn)?shù)另外一種表示形式,它的出現(xiàn)比微積分還要晚100多年。如上所述,我們利用科學(xué)記數(shù)法可以得到

    9 527=9×103+5×102+2×101+7×100”,

    而對(duì)于9.527依然可以寫成基底10的線性組合形式,即

    9.527=9×101+5×10-1+2×10-2+7×10-3”,

    與整數(shù)不同的是,這里用10的負(fù)整數(shù)冪表示,所以小數(shù)使分?jǐn)?shù)與整數(shù)在表征形式上得到了統(tǒng)一。除此以外,小數(shù)另一個(gè)重要的價(jià)值在于對(duì)無(wú)理數(shù)和有理數(shù)的描述。所謂無(wú)理數(shù)是指無(wú)限不循環(huán)小數(shù),而有理數(shù)是指有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)。負(fù)數(shù)的引入并非一帆風(fēng)順,起初人們?cè)诮夥匠虝r(shí)以否認(rèn)回避的態(tài)度對(duì)待負(fù)根。古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖(Diophantus)曾將負(fù)數(shù)解視為“荒唐的東西”加以舍棄;我國(guó)唐代數(shù)學(xué)家王孝通的《緝古算經(jīng)》對(duì)負(fù)根也只字不提;然而,負(fù)數(shù)作為正數(shù)的補(bǔ)充,來(lái)源于社會(huì)實(shí)踐,并在實(shí)踐的推動(dòng)之下逐漸被世人公認(rèn)。

    我們根據(jù)自然數(shù)特征,按照不同的標(biāo)準(zhǔn)將其分類。以能否被2整除為標(biāo)準(zhǔn)分為奇數(shù)和偶數(shù),所有的奇數(shù)用2+1(∈Z)表示,所有的偶數(shù)用2(∈Z),這對(duì)后期數(shù)列的學(xué)習(xí)有著重要作用;以因數(shù)是否只有1和自身為標(biāo)準(zhǔn)分為質(zhì)數(shù)(素?cái)?shù))和合數(shù)。素?cái)?shù)是數(shù)論的主要研究對(duì)象,在數(shù)論中,與素?cái)?shù)相關(guān)的定理很多,例如歐拉函數(shù)、高斯的二次互反律、歌德巴赫猜想等等,素?cái)?shù)為數(shù)論的發(fā)展提供了素材;而對(duì)于因數(shù)和倍數(shù),在小學(xué)階段,公因數(shù)為分?jǐn)?shù)約分奠定基礎(chǔ),公倍數(shù)為分?jǐn)?shù)通分奠定基礎(chǔ)。

    2.1.2 運(yùn)算

    運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中開(kāi)始最早,時(shí)間跨度最長(zhǎng),運(yùn)算內(nèi)容采用螺旋式組織方式,如圖2所示。從數(shù)學(xué)發(fā)展的邏輯體系來(lái)看,加法運(yùn)算是四則運(yùn)算的基礎(chǔ),可以將減法運(yùn)算視為加法運(yùn)算的逆運(yùn)算,將乘法運(yùn)算視為特殊的加法運(yùn)算,而將除法運(yùn)算視為乘法運(yùn)算的逆運(yùn)算。運(yùn)算包含兩個(gè)層面:第一,是對(duì)數(shù)字符號(hào)(常量)的四則運(yùn)算;第二,是對(duì)字母符號(hào)(變量)的四則運(yùn)算。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,數(shù)字運(yùn)算施行于具體的數(shù),而字母運(yùn)算施行于事物的形式[5,p129]。從數(shù)字進(jìn)行具體的演算到利用符號(hào)進(jìn)行抽象的形式演算,人類經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的歲月,但無(wú)論是數(shù)字運(yùn)算,還是字母運(yùn)算,其本質(zhì)在于算理的把握,例如在加法運(yùn)算中,加一個(gè)正數(shù)所得結(jié)果一定比原來(lái)的數(shù)大。

    圖2 核心內(nèi)容群:運(yùn)算網(wǎng)絡(luò)圖

    小學(xué)階段的估算不需要精確計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題,其本質(zhì)在于獲得一定誤差允許范圍內(nèi)運(yùn)算結(jié)果的上界或下界,是心算、數(shù)感、算術(shù)技巧之間相互作用的過(guò)程。小學(xué)的兩個(gè)學(xué)段都涉及到估算,但是側(cè)重點(diǎn)有所不同:第一學(xué)段的估算主要側(cè)重在實(shí)際情境中合理估算測(cè)量單位,例如,估計(jì)書本長(zhǎng)度時(shí)一般采用厘米作為單位;第二學(xué)段的估算主要側(cè)重利用合理的估算解決問(wèn)題,例如9.9×5.9與50的大小關(guān)系。

    2.1.3 式與方程

    由“數(shù)”到“式”是學(xué)生對(duì)數(shù)的符號(hào)化表征進(jìn)一步抽象的過(guò)程,“式”不是確定性的數(shù),是可以取得不同數(shù)值的符號(hào),而字母表示數(shù)的出現(xiàn),意味著代數(shù)學(xué)的開(kāi)始,第一個(gè)有意識(shí)地使用字母進(jìn)行抽象運(yùn)算的是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)[6,p32-33]。對(duì)韋達(dá)字母符號(hào)的改善工作由笛卡爾完成,他首先用拉丁文字母的前幾個(gè)(,,,,……)表示已知量,后幾個(gè)(,,,,……)表示未知量,形成今天的習(xí)慣[5,p129]。從理論上講,代數(shù)是字母的算術(shù),代數(shù)思維的本質(zhì)是關(guān)系思維,其目的是發(fā)現(xiàn)具有一般化的關(guān)系、普遍化的結(jié)構(gòu)[8],例如用符號(hào)表示運(yùn)算律、計(jì)算公式,都是將數(shù)的知識(shí)提升到一般化的水平。自此數(shù)學(xué)開(kāi)始進(jìn)入變量數(shù)學(xué)的時(shí)代,從常量到變量的過(guò)渡,是數(shù)到符號(hào)的轉(zhuǎn)變,是具體思維到抽象思維的飛躍。變量是從數(shù)量關(guān)系上反映客觀事物的運(yùn)動(dòng)和變化,變量的出現(xiàn)為方程、函數(shù)等重要概念登上數(shù)學(xué)的舞臺(tái)奠定了重要的基礎(chǔ),對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的影響是巨大的。

    方程是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的一個(gè)提煉過(guò)程,實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)從數(shù)量關(guān)系到等量關(guān)系的轉(zhuǎn)變,其本質(zhì)在于利用數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)等價(jià)關(guān)系,方程思想集中體現(xiàn)在建模與化歸兩個(gè)方面[9]。因此方程的結(jié)構(gòu)包含了等量關(guān)系、代數(shù)式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)以及等式變形的結(jié)構(gòu),這里所說(shuō)的結(jié)構(gòu)是指“從語(yǔ)言表達(dá)抽象出來(lái)的一種形式”[10]。而小學(xué)第二學(xué)段出現(xiàn)的簡(jiǎn)易方程作為刻畫現(xiàn)實(shí)情境中等量關(guān)系的工具,其價(jià)值在于提供用代數(shù)方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的途徑,而代數(shù)方法的出發(fā)點(diǎn)就是建立模型,進(jìn)而促使學(xué)生形成從現(xiàn)實(shí)世界抽象到數(shù)學(xué)符號(hào)的建模過(guò)程,為以后方程與方程組的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。方程建模說(shuō)明了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活密不可分的關(guān)系,而方程的求解是利用四則運(yùn)算的算術(shù)思路來(lái)計(jì)算未知數(shù)。

    2.2 小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

    《課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形,根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;依據(jù)語(yǔ)言描述畫出的圖形等。”[3,p6]基于此我們將小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”的核心內(nèi)容群定為圖形的空間描述和圖形的度量。

    2.2.1 圖形的空間描述

    圖形的空間描述是以空間視覺(jué)為基礎(chǔ),形成空間物體在形狀、變換、位置關(guān)系等特征的屬性表象[11],包括圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形的位置三部分,位于小學(xué)數(shù)學(xué)的第一學(xué)段和第二學(xué)段,如圖3所示。圖形的認(rèn)識(shí)依賴于人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中物體外部輪廓特征的抽象,從而實(shí)現(xiàn)三維空間的物體到二維平面圖形的轉(zhuǎn)化[12]。圖形的運(yùn)動(dòng)和圖形的位置是圖形量化研究的兩個(gè)重要領(lǐng)域,其關(guān)鍵在于參照系,因此它們實(shí)現(xiàn)的前提是笛卡爾與費(fèi)馬將數(shù)與圖形的有機(jī)結(jié)合,創(chuàng)立坐標(biāo)系和解析幾何學(xué)[12,p119]。

    圖3 核心內(nèi)容群:圖形的空間描述網(wǎng)絡(luò)圖

    在小學(xué)階段,兒童對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)基于日常生活中積累的關(guān)于圖形的生活經(jīng)驗(yàn),通過(guò)觀察、想象認(rèn)識(shí)常見(jiàn)的立體圖形與平面圖形。而認(rèn)識(shí)圖形的關(guān)鍵在于圖形的分類,在分類時(shí)不僅要關(guān)注圖形之間的共性,還要關(guān)注圖形之間的差異,例如長(zhǎng)方體與圓柱雖然都屬于空間幾何體(共性),但是長(zhǎng)方體是多面體而圓柱是旋轉(zhuǎn)體(差異)。分類的關(guān)鍵在于制定標(biāo)準(zhǔn),遵循某一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的過(guò)程也是培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的過(guò)程[13]。

    圖形的位置出現(xiàn)在兩個(gè)學(xué)段,第一學(xué)段,描述物體所在方向,其本質(zhì)是方位角的滲透。在第二學(xué)段,主要包含兩部分內(nèi)容:(1)利用數(shù)對(duì)描述方格紙上點(diǎn)的位置,其本質(zhì)是直角坐標(biāo)系下的數(shù)對(duì)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系;(2)利用方向和距離確定事物的位置,其本質(zhì)是極坐標(biāo)下的數(shù)對(duì)與點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。小學(xué)階段關(guān)于圖形運(yùn)動(dòng)的基本形式有兩種:一是圖形的形狀和大小不變,位置發(fā)生變化的剛體運(yùn)動(dòng),例如圖形的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換;二是圖形的形狀不變,大小發(fā)生變化的相似運(yùn)動(dòng),例如放縮變換。我們可以利用圖形的運(yùn)動(dòng)來(lái)描述一些圖形的相關(guān)概念,例如利用平移變換描述平行線,即通過(guò)平移得到的直線與原直線平行;利用旋轉(zhuǎn)變換描述圖形的中心對(duì)稱;利用反射變換描述軸對(duì)稱以及利用放縮變換描述圖形的相似。

    2.2.2 圖形的度量

    小學(xué)階段圖形的度量可以分為平面圖形的度量和立體圖形的度量,如圖4所示。

    圖4 核心內(nèi)容群:圖形度量網(wǎng)絡(luò)圖

    平面圖形可以從長(zhǎng)度(一維)、面積(二維)兩個(gè)角度來(lái)度量,而立體圖形可以從體積(三維)角度來(lái)度量。度量的本質(zhì)就是圖形所包含的度量單位的多少,因此度量的條件是度量單位,度量的要求是單位的統(tǒng)一,所以在小學(xué)數(shù)學(xué)的第一學(xué)段涉及了國(guó)際通用長(zhǎng)度單位、面積單位的認(rèn)識(shí),第二學(xué)段涉及體積單位的認(rèn)識(shí),為圖形的度量提供基礎(chǔ)條件。除此之外,第一、二學(xué)段都涉及了估測(cè),第一學(xué)段要求“估測(cè)一些物體的長(zhǎng)度、給定的簡(jiǎn)單圖形的面積”,第二學(xué)段要求“體驗(yàn)?zāi)承?shí)物體積的測(cè)量”,例如測(cè)量一個(gè)土豆的體積,可以轉(zhuǎn)化為測(cè)量與土豆等體積的規(guī)則物體的體積測(cè)量,有利于培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化規(guī)思想[14]。

    2.3 小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域核心內(nèi)容群

    如果說(shuō)描述確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的確定性思維,那么概率與統(tǒng)計(jì)就是通過(guò)找出客觀事物的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性和隨機(jī)現(xiàn)象中的客觀規(guī)律性,來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的因果推斷思想和隨機(jī)思想。有助于學(xué)生形成偶然中蘊(yùn)涵著必然以及變與不變的辯證思維[15],因此我們將小學(xué)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域的核心內(nèi)容群定為數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)現(xiàn)象。

    2.3.1 數(shù)據(jù)分析

    統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)據(jù),主要研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù),為人們制定決策提供理論依據(jù)??蓮娜齻€(gè)層面理解數(shù)據(jù)分析。第一,對(duì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含信息的提取。我們所收集到的數(shù)據(jù)可能是雜亂無(wú)章的,并不能直接從中看出統(tǒng)計(jì)規(guī)律,所以需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理,提取有用的數(shù)據(jù)信息,因此數(shù)據(jù)信息的提取是數(shù)據(jù)分析前提。第二,對(duì)數(shù)據(jù)分析方法的選擇。在小學(xué)階段主要有條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖等數(shù)據(jù)分析方法,不同的分析方法對(duì)應(yīng)不同的問(wèn)題,因此需要根據(jù)待解決問(wèn)題選擇合適的分析方法。如果希望得到數(shù)據(jù)中某些數(shù)量之間的差異,可以選擇條形統(tǒng)計(jì)圖;如果希望了解不同部分所占總體的百分比,可以選擇扇形統(tǒng)計(jì)圖;如果希望得到數(shù)據(jù)變化趨勢(shì),可以選擇折線統(tǒng)計(jì)圖。分析方法的選擇是數(shù)據(jù)分析的保障。第三,對(duì)分析結(jié)果的預(yù)測(cè)。數(shù)據(jù)分析結(jié)果具有一定的隨機(jī)性,其原因在于每次所選擇數(shù)據(jù)的不同。因此在小學(xué)階段,只能根據(jù)分析結(jié)果做出簡(jiǎn)單的判斷和預(yù)測(cè),使學(xué)生初步體會(huì)統(tǒng)計(jì)中因果推斷的思想,分析結(jié)果的預(yù)測(cè)是數(shù)據(jù)分析的目的[16]。

    2.3.2 隨機(jī)現(xiàn)象

    隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小用概率來(lái)表示,雖然概率是未知的,但是隨機(jī)現(xiàn)象具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律是一種總體規(guī)律,一定是在大量同類隨機(jī)現(xiàn)象中才能呈現(xiàn),它的存在構(gòu)成了或然數(shù)學(xué)的研究基礎(chǔ)[17]。在小學(xué)階段,要求學(xué)生感受隨機(jī)現(xiàn)象,我們可以從兩個(gè)層面理解隨機(jī)現(xiàn)象:第一個(gè)層面是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象本身的認(rèn)識(shí);第二個(gè)層面是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的合理解釋[18]。列出簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果(基本事件),體會(huì)隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性大?。ǜ怕剩瑢?duì)其做定性的描述,這些內(nèi)容為古典概率模型(古典概型)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。小學(xué)階段關(guān)于概率的學(xué)習(xí),重點(diǎn)在于借助現(xiàn)實(shí)情境,通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn),利用頻率來(lái)感悟概率。例如拋硬幣正面向上的概率,可以通過(guò)總結(jié)事件發(fā)生的頻率變化趨勢(shì)而得出。隨著拋硬幣試驗(yàn)次數(shù)的增多,正面向上的頻率在0.5上下波動(dòng)(如表1),可以估計(jì)硬幣正面向上的概率為0.5,其依據(jù)為頻率是概率的估計(jì)值,而概率是頻率的穩(wěn)定值。

    表1 拋硬幣正面向上的頻率變化趨勢(shì)[19,p216]

    3 小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群教學(xué)設(shè)計(jì)分析

    在教學(xué)設(shè)計(jì)中,不同學(xué)段相同學(xué)習(xí)領(lǐng)域內(nèi)所對(duì)應(yīng)的相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容采用螺旋式組織形式,漸次提高所重復(fù)學(xué)習(xí)的主要概念和觀念的深度和復(fù)雜程度,使小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群與學(xué)生內(nèi)部心理過(guò)程綜合起來(lái),在不同學(xué)段對(duì)其他小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容提供動(dòng)態(tài)支持,這種支持不僅包括數(shù)學(xué)概念、定理和公式等人們?cè)陂L(zhǎng)期數(shù)學(xué)活動(dòng)中形成的間接經(jīng)驗(yàn),還包括學(xué)習(xí)者通過(guò)自身的觀察、操作、比較、分析、歸納、概括等活動(dòng)而獲得的直接經(jīng)驗(yàn),下面以“字母表示數(shù)”與“分?jǐn)?shù)乘法”的教學(xué)設(shè)計(jì)片段為例進(jìn)行分析。

    3.1 字母表示數(shù)中的數(shù)量關(guān)系

    “字母表示數(shù)”屬于式與方程,是小學(xué)生初步接觸數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容,既是對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)的總結(jié),也是對(duì)式的學(xué)習(xí)奠基,具有承上啟下的作用。在教學(xué)中,教師用《數(shù)青蛙》兒歌來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解用字母表示數(shù)[19,p58]:

    一只青蛙一張嘴,兩只眼睛四條腿。

    兩只青蛙兩張嘴,四只眼睛八條腿。

    三只青蛙三張嘴,六只眼睛十二條腿。

    ……

    讓學(xué)生邊拍手邊有節(jié)奏地?cái)?shù)青蛙,與此同時(shí)課件出現(xiàn)很多青蛙,直到數(shù)不清,這時(shí)教師提問(wèn):我們可以用今天所講的內(nèi)容將這首兒歌數(shù)完嗎?

    學(xué)生在練習(xí)紙上填寫:

    生1:無(wú)數(shù)只青蛙無(wú)數(shù)張嘴,無(wú)數(shù)只眼睛無(wú)數(shù)條腿。

    生2:a只青蛙b張嘴,c只眼睛d條腿。

    生3:a只青蛙a張嘴,b只眼睛c條腿。

    生4:a只青蛙a張嘴,aa只眼睛aaaa條腿。

    生5:只青蛙張嘴,2只眼睛4條腿。

    在實(shí)際教學(xué)中,能夠真正說(shuō)出第五種答案的學(xué)生,其實(shí)并不多,大部分表現(xiàn)為第二種、第三種。與成人思維不同,小學(xué)生對(duì)于字母表示數(shù)難以理解,主要原因在于:(1)字母表示數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象,這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程是學(xué)生從具體數(shù)字到抽象字母的轉(zhuǎn)變過(guò)程,是從算術(shù)思維向代數(shù)思維的轉(zhuǎn)變過(guò)程,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí);(2)在教學(xué)中,大部分教師會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)“字母可以表示任意數(shù)”,這是導(dǎo)致學(xué)生出現(xiàn)第二種或第三種答案的主要原因,學(xué)生只關(guān)注到字母可以表示任意數(shù),沒(méi)有明確數(shù)量之間的關(guān)系。

    字母表示數(shù)的本質(zhì)在于描述數(shù)量之間的關(guān)系,這種關(guān)系體現(xiàn)了一般性,當(dāng)我們用a、b、c、d表示任意數(shù)的時(shí)候,更應(yīng)該說(shuō)明它們之間的關(guān)系,符號(hào)化有助于數(shù)量關(guān)系理解,學(xué)生利用符號(hào)或者圖形來(lái)表示量與量之間的關(guān)系,讓符號(hào)在表達(dá)時(shí)產(chǎn)生數(shù)學(xué)意義,這種符號(hào)化表達(dá)使數(shù)量關(guān)系具有一般性,在這個(gè)過(guò)程中,實(shí)現(xiàn)了由常量到變量的過(guò)渡。學(xué)生要學(xué)會(huì)用符號(hào)或者符號(hào)組成的比例關(guān)系、方程等模型去描述、分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。還可以運(yùn)用字母表示以前學(xué)過(guò)的法則和公式(如加法運(yùn)算律、乘法運(yùn)算律、長(zhǎng)方形面積公式、圓柱體積公式、路程速度時(shí)間的關(guān)系),在表示公式和法則的活動(dòng)中,學(xué)生將進(jìn)一步體會(huì)字母的“概括”作用,從而運(yùn)用字母及其運(yùn)算可以表示一般的規(guī)律。

    3.2 分?jǐn)?shù)乘法中的幾何直觀

    生:一個(gè)是乘以整數(shù),一個(gè)是乘以分?jǐn)?shù)

    師:今天重點(diǎn)研究分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)(板書),這對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是一個(gè)新的挑戰(zhàn)。對(duì)于這樣一個(gè)新的問(wèn)題,我們用什么方法來(lái)研究?

    生:可以用畫圖的方法?

    師:怎么想到的?

    生:以前用畫圖方法研究分?jǐn)?shù)的:

    圖5 分?jǐn)?shù)乘法圖形表示

    4 結(jié)語(yǔ)

    數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群是小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體,在數(shù)學(xué)課程中起到主線的作用,貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)。經(jīng)過(guò)由古至今的漫長(zhǎng)發(fā)展,現(xiàn)代數(shù)學(xué)已經(jīng)是一個(gè)分支眾多的知識(shí)系統(tǒng),孤立的數(shù)學(xué)內(nèi)容是不存在,小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容作為整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)的縮影,是眾多數(shù)學(xué)內(nèi)容按照一定的學(xué)科邏輯順序和學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)順序而進(jìn)行的有效組織,小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群或者以本源內(nèi)容的形式,或者以小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容主線的形式體現(xiàn)。聚焦小學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容群進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的有效教學(xué)。

    [1] 中國(guó)社會(huì)科學(xué)院語(yǔ)言研究所詞典編輯室.現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典[Z].北京:商務(wù)印書館,2010:554.

    [2] 陳祥彬.在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法[J].課程·教材·教法,2010,(7):37-41.

    [3] 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2011:5.

    [4] 卡爾·B.博耶.秦傳安,譯.數(shù)學(xué)史[M].北京:中央編譯出版社,1991:3-4.

    [5] 李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].北京:高等教育出版社,2000: 11.

    [6] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2008:5-8.

    [7] 徐品方,張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史[M].北京:科學(xué)出版社,2007: 22.

    [8] 徐文彬,楊玉東.“本源性問(wèn)題”及其在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2005,(3):14-16.

    [9] 史寧中,孔凡哲.方程思想及其課程教學(xué)設(shè)計(jì)——數(shù)學(xué)教育熱點(diǎn)問(wèn)題系列訪談錄之一[J].課程·教材·教法, 2004,(9):27-31.

    [10] 史炳星.從算術(shù)到代數(shù)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,(2):79- 81.

    [11] 韓龍淑,呂傳漢.空間觀念的含義和特征及其教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2010,(6):20-22.

    [12] 史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——圖形與圖形關(guān)系的抽象[M].長(zhǎng)春:東北師范大學(xué)出版社,2009:2.

    [13] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京:高等教育出版,2013:57.

    [14] 史寧中,等.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012:57.

    [15] 曹學(xué)良,鄭潔.關(guān)于概念圖在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中應(yīng)用的一些思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2007,16(1):37-39.

    [16] 童莉,張?zhí)?張寧.義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的評(píng)價(jià)框架建構(gòu)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2014,23(2):45- 48.

    [17] 朱家生,姚林.數(shù)學(xué),它的起源與方法[M].南京:東南大學(xué)出版社,1999:162-163.

    [18] 章飛.義務(wù)教育階段概率有關(guān)知識(shí)的內(nèi)容定位與教材實(shí)施[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào),2004,(1):48-51.

    [19] 馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與教材研究[M].北京:高等教育出版社,2016.

    The Core Content Cluster of Elementary School Mathematics: Essence Analysis and Teaching Design

    WU Li-sha

    (Department of Mathematics and Information Sciences, Tangshan Normal University, Tangshan 063000, China)

    The core content cluster of elementary school mathematics can connect different learning section of primary school mathematics in three areas of study including number and algebra, graphics and geometry, statistics and probability. And it provides persistent and fundamental mathematical knowledge structure and mathematical thinking method. The feature of core content cluster is associativity, persistence, foundation and ideology. From the perspective of the development and the essence of mathematics, the core content cluster is beneficial to the design of teaching strategy and the development of teaching resources in elementary school mathematics.

    core cluster of elementary school mathematics; essential analysis; teaching design

    G622.3

    A

    1009-9115(2019)03-0130-07

    10.3969/j.issn.1009-9115.2019.03.032

    河北省高等學(xué)校人文社會(huì)科學(xué)研究項(xiàng)目(SZ18058),河北省教育廳人文社會(huì)科學(xué)重點(diǎn)項(xiàng)目(SD182012)

    2019-01-20

    2019-02-22

    武麗莎(1986-),女,河北唐山人,碩士,助教,研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

    (責(zé)任編輯、校對(duì):高俊霞)

    猜你喜歡
    核心內(nèi)容學(xué)段運(yùn)算
    夯實(shí)基礎(chǔ),明確思路,靈活應(yīng)用,提升為主
    工程總承包項(xiàng)目《發(fā)包人要求》核心內(nèi)容及編寫難點(diǎn)
    重視運(yùn)算與推理,解決數(shù)列求和題
    有趣的運(yùn)算
    放緩坡度 因勢(shì)利導(dǎo) 激發(fā)潛能——第二學(xué)段自主習(xí)作教學(xué)的有效嘗試
    準(zhǔn)確把握“科技興糧”和“人才興糧”實(shí)施意見(jiàn)的核心內(nèi)容
    “整式的乘法與因式分解”知識(shí)歸納
    撥云去“誤”學(xué)乘除運(yùn)算
    第二學(xué)段數(shù)學(xué)新授課“學(xué)導(dǎo)課堂”的教學(xué)范式
    新課程研究(2016年4期)2016-12-01 05:55:05
    如何設(shè)計(jì)小學(xué)語(yǔ)文第一學(xué)段的家庭作業(yè)
    欧美三级亚洲精品| 国产一区二区在线观看日韩| 听说在线观看完整版免费高清| 免费观看的影片在线观看| 91精品国产九色| 天堂网av新在线| 老司机影院毛片| 欧美日韩在线观看h| 亚洲av成人av| 午夜精品在线福利| 免费黄频网站在线观看国产| 日本免费在线观看一区| 免费av毛片视频| 一级毛片久久久久久久久女| 亚洲一区高清亚洲精品| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 亚洲真实伦在线观看| 一边亲一边摸免费视频| 性插视频无遮挡在线免费观看| 麻豆av噜噜一区二区三区| 午夜视频国产福利| 国产乱人视频| 淫秽高清视频在线观看| 最近2019中文字幕mv第一页| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 91aial.com中文字幕在线观看| 男女国产视频网站| 日韩 亚洲 欧美在线| 精品一区二区三卡| 欧美xxⅹ黑人| av免费在线看不卡| 人妻系列 视频| 欧美潮喷喷水| 国产永久视频网站| 精品一区在线观看国产| 久久精品国产亚洲网站| 午夜视频国产福利| 亚洲欧美精品专区久久| 男女边吃奶边做爰视频| 免费黄色在线免费观看| 99久久精品一区二区三区| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 国产成人91sexporn| 久久韩国三级中文字幕| 丝瓜视频免费看黄片| 成人欧美大片| 成人毛片a级毛片在线播放| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 少妇猛男粗大的猛烈进出视频 | 不卡视频在线观看欧美| 国产不卡一卡二| 亚洲精品久久午夜乱码| 亚洲av不卡在线观看| www.av在线官网国产| 五月伊人婷婷丁香| 成人午夜高清在线视频| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 精品酒店卫生间| 又大又黄又爽视频免费| 男插女下体视频免费在线播放| 伊人久久国产一区二区| 亚洲第一区二区三区不卡| 一级毛片 在线播放| 嫩草影院入口| 日本一本二区三区精品| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 久久国内精品自在自线图片| 国产色婷婷99| 国产免费一级a男人的天堂| 国产一区亚洲一区在线观看| 欧美xxxx性猛交bbbb| 日韩一区二区视频免费看| 日韩欧美 国产精品| 少妇的逼好多水| 国产片特级美女逼逼视频| 成人综合一区亚洲| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 久久久久久国产a免费观看| 97精品久久久久久久久久精品| 亚洲av中文字字幕乱码综合| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 国产69精品久久久久777片| 搞女人的毛片| 精品久久久久久电影网| 精品欧美国产一区二区三| 黄色欧美视频在线观看| 国产免费一级a男人的天堂| 精品久久国产蜜桃| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 亚洲人成网站在线观看播放| 精品人妻视频免费看| 欧美日韩视频高清一区二区三区二| 又爽又黄无遮挡网站| 免费看光身美女| eeuss影院久久| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 春色校园在线视频观看| 赤兔流量卡办理| 午夜福利在线在线| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 欧美成人午夜免费资源| 人妻夜夜爽99麻豆av| 日本猛色少妇xxxxx猛交久久| 午夜激情欧美在线| 免费大片黄手机在线观看| 男女下面进入的视频免费午夜| 亚洲高清免费不卡视频| 国产探花在线观看一区二区| 亚洲熟女精品中文字幕| 一区二区三区乱码不卡18| 免费黄频网站在线观看国产| 汤姆久久久久久久影院中文字幕 | 久久久久精品性色| 免费看光身美女| 三级国产精品欧美在线观看| 一边亲一边摸免费视频| 蜜桃亚洲精品一区二区三区| 三级经典国产精品| 日韩大片免费观看网站| 99热全是精品| 精品不卡国产一区二区三区| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 国产精品久久久久久久久免| 肉色欧美久久久久久久蜜桃 | 能在线免费观看的黄片| 不卡视频在线观看欧美| 久久这里只有精品中国| 午夜激情欧美在线| 国产男女超爽视频在线观看| 国产精品日韩av在线免费观看| 最近的中文字幕免费完整| av在线亚洲专区| av国产免费在线观看| 男女视频在线观看网站免费| 成年女人在线观看亚洲视频 | 青春草亚洲视频在线观看| 亚洲成人一二三区av| 国产毛片a区久久久久| 亚洲av男天堂| 最近2019中文字幕mv第一页| 网址你懂的国产日韩在线| 国产 亚洲一区二区三区 | 春色校园在线视频观看| 日韩一区二区视频免费看| 国产精品福利在线免费观看| 国产亚洲精品久久久com| 看黄色毛片网站| 精品人妻视频免费看| videossex国产| 一级毛片aaaaaa免费看小| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 69av精品久久久久久| av在线老鸭窝| 黄片无遮挡物在线观看| 禁无遮挡网站| 内射极品少妇av片p| 婷婷六月久久综合丁香| 赤兔流量卡办理| 亚洲精品,欧美精品| 日日摸夜夜添夜夜爱| 国产亚洲av片在线观看秒播厂 | 一区二区三区乱码不卡18| 国产伦精品一区二区三区四那| 久久99精品国语久久久| 午夜精品在线福利| 黄色一级大片看看| 男女国产视频网站| 真实男女啪啪啪动态图| 国产真实伦视频高清在线观看| av卡一久久| 国产免费又黄又爽又色| 欧美日韩精品成人综合77777| 国产亚洲av嫩草精品影院| 亚洲精品一二三| 五月伊人婷婷丁香| 狂野欧美白嫩少妇大欣赏| 天天一区二区日本电影三级| 床上黄色一级片| 干丝袜人妻中文字幕| 精品酒店卫生间| 欧美精品国产亚洲| 色视频www国产| 免费无遮挡裸体视频| 亚洲av成人av| 成人亚洲精品av一区二区| 亚洲第一区二区三区不卡| 一级二级三级毛片免费看| 亚洲不卡免费看| 久久热精品热| 97热精品久久久久久| 久久久久久久久中文| 国产不卡一卡二| 男人爽女人下面视频在线观看| 国产在线男女| 亚洲av成人精品一二三区| 国产精品久久久久久精品电影小说 | 免费看美女性在线毛片视频| 国产大屁股一区二区在线视频| 精品人妻偷拍中文字幕| av国产久精品久网站免费入址| 可以在线观看毛片的网站| 美女大奶头视频| 男插女下体视频免费在线播放| 国产伦理片在线播放av一区| 亚洲自偷自拍三级| 99久久人妻综合| 精品人妻偷拍中文字幕| 禁无遮挡网站| 国产精品1区2区在线观看.| 精品久久久久久久久av| 国产乱人偷精品视频| 日产精品乱码卡一卡2卡三| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 国产成人精品一,二区| 亚洲欧美精品专区久久| 亚洲欧美一区二区三区国产| 亚洲第一区二区三区不卡| 综合色丁香网| 免费少妇av软件| 亚洲精品日韩av片在线观看| 51国产日韩欧美| 久久久久久久久久久免费av| 观看美女的网站| 中文在线观看免费www的网站| 男人舔奶头视频| 一区二区三区乱码不卡18| 国产伦在线观看视频一区| 爱豆传媒免费全集在线观看| 别揉我奶头 嗯啊视频| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 在线 av 中文字幕| 国产av码专区亚洲av| 一级二级三级毛片免费看| 乱码一卡2卡4卡精品| 久久热精品热| 日韩亚洲欧美综合| 国产精品一区二区在线观看99 | 成人美女网站在线观看视频| 色综合亚洲欧美另类图片| 麻豆乱淫一区二区| 午夜福利网站1000一区二区三区| av国产久精品久网站免费入址| av在线亚洲专区| xxx大片免费视频| 欧美极品一区二区三区四区| 久久99精品国语久久久| 国产麻豆成人av免费视频| 亚洲av二区三区四区| 激情 狠狠 欧美| 老师上课跳d突然被开到最大视频| 免费看a级黄色片| 春色校园在线视频观看| www.av在线官网国产| 欧美另类一区| 精品一区二区三卡| 久久久久久久久久黄片| 亚洲久久久久久中文字幕| 汤姆久久久久久久影院中文字幕 | 国产白丝娇喘喷水9色精品| 久久久精品94久久精品| 午夜精品一区二区三区免费看| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 久久人人爽人人片av| 你懂的网址亚洲精品在线观看| 综合色丁香网| 中文资源天堂在线| 欧美另类一区| av专区在线播放| 99久久中文字幕三级久久日本| 欧美丝袜亚洲另类| 精品一区二区三区人妻视频| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 99re6热这里在线精品视频| 少妇的逼好多水| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| 91aial.com中文字幕在线观看| 成人性生交大片免费视频hd| 人妻夜夜爽99麻豆av| videossex国产| 成人高潮视频无遮挡免费网站| 久久久久久久午夜电影| 日韩一区二区视频免费看| 色吧在线观看| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 久久精品夜夜夜夜夜久久蜜豆| 欧美丝袜亚洲另类| 国产精品国产三级专区第一集| 亚洲四区av| .国产精品久久| 国产黄片视频在线免费观看| 亚洲精华国产精华液的使用体验| 久久久久久久午夜电影| 国产伦精品一区二区三区四那| 97超视频在线观看视频| 中文字幕亚洲精品专区| 欧美日韩在线观看h| 最近的中文字幕免费完整| 国产免费福利视频在线观看| 亚洲最大成人手机在线| 成年女人看的毛片在线观看| 高清欧美精品videossex| 精品酒店卫生间| 在线观看美女被高潮喷水网站| 日韩欧美一区视频在线观看 | 亚洲精华国产精华液的使用体验| 久久久精品94久久精品| 小蜜桃在线观看免费完整版高清| 国产精品日韩av在线免费观看| 亚洲在线观看片| 久久久成人免费电影| 男人狂女人下面高潮的视频| 黄片无遮挡物在线观看| 免费看av在线观看网站| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 成人av在线播放网站| 国产av码专区亚洲av| 91精品伊人久久大香线蕉| 国产成人freesex在线| 日韩强制内射视频| 亚洲人成网站在线观看播放| 国产精品爽爽va在线观看网站| 亚洲丝袜综合中文字幕| 99久久中文字幕三级久久日本| 男人狂女人下面高潮的视频| 深夜a级毛片| 亚洲精品成人av观看孕妇| 中文天堂在线官网| 精品一区二区三区视频在线| 中文天堂在线官网| 一本一本综合久久| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 能在线免费看毛片的网站| 亚洲色图av天堂| 免费观看性生交大片5| a级一级毛片免费在线观看| 国产成人免费观看mmmm| 别揉我奶头 嗯啊视频| 男女边摸边吃奶| 亚洲综合精品二区| 国产精品一区二区在线观看99 | 国产伦一二天堂av在线观看| 亚洲精品国产成人久久av| 欧美潮喷喷水| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 99热这里只有是精品50| 在线免费观看的www视频| 别揉我奶头 嗯啊视频| 日韩精品有码人妻一区| 极品教师在线视频| 日本色播在线视频| a级毛色黄片| 亚洲精品久久久久久婷婷小说| 51国产日韩欧美| 午夜福利高清视频| 在线免费十八禁| 国产一级毛片七仙女欲春2| 午夜福利视频1000在线观看| 成人亚洲欧美一区二区av| 大片免费播放器 马上看| 岛国毛片在线播放| 国产高清有码在线观看视频| 搞女人的毛片| 亚洲av一区综合| 国产伦理片在线播放av一区| 青春草亚洲视频在线观看| 国产精品不卡视频一区二区| 激情 狠狠 欧美| 亚洲国产日韩欧美精品在线观看| 久久久久久国产a免费观看| a级一级毛片免费在线观看| 一级a做视频免费观看| 联通29元200g的流量卡| 欧美精品国产亚洲| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久 | kizo精华| 最近视频中文字幕2019在线8| 欧美日本视频| 一级毛片久久久久久久久女| 欧美激情国产日韩精品一区| 最近视频中文字幕2019在线8| 日韩视频在线欧美| 亚洲av成人av| 欧美潮喷喷水| 久久久精品94久久精品| 久久久欧美国产精品| 亚洲精品乱久久久久久| 国产成人精品一,二区| 亚洲av福利一区| 啦啦啦韩国在线观看视频| 日韩av免费高清视频| 啦啦啦韩国在线观看视频| 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 免费看a级黄色片| 色视频www国产| 亚洲熟女精品中文字幕| 久久久久久久大尺度免费视频| 在线观看一区二区三区| 内地一区二区视频在线| 国产伦精品一区二区三区视频9| 亚洲美女搞黄在线观看| 九九久久精品国产亚洲av麻豆| 国产久久久一区二区三区| 热99在线观看视频| av黄色大香蕉| 国产 亚洲一区二区三区 | 亚洲天堂国产精品一区在线| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 秋霞伦理黄片| 淫秽高清视频在线观看| 91狼人影院| 久久精品久久精品一区二区三区| 人妻制服诱惑在线中文字幕| 国产精品久久久久久av不卡| 九九在线视频观看精品| 高清欧美精品videossex| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产美女午夜福利| 国产黄色免费在线视频| 韩国高清视频一区二区三区| 美女主播在线视频| 99久久人妻综合| 亚州av有码| 美女被艹到高潮喷水动态| 久久久精品欧美日韩精品| 亚洲在久久综合| 男女视频在线观看网站免费| 一级毛片黄色毛片免费观看视频| 日本欧美国产在线视频| 国产乱人视频| 色尼玛亚洲综合影院| 99热网站在线观看| 可以在线观看毛片的网站| 舔av片在线| 99re6热这里在线精品视频| 日韩av在线大香蕉| 天堂中文最新版在线下载 | 色视频www国产| 少妇被粗大猛烈的视频| 国产亚洲av片在线观看秒播厂 | 在线观看人妻少妇| 国产成人福利小说| 熟妇人妻久久中文字幕3abv| 性插视频无遮挡在线免费观看| 日本免费在线观看一区| 午夜激情福利司机影院| 少妇被粗大猛烈的视频| 乱码一卡2卡4卡精品| 床上黄色一级片| 中国美白少妇内射xxxbb| 91在线精品国自产拍蜜月| 三级经典国产精品| 亚洲精品日本国产第一区| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 干丝袜人妻中文字幕| 亚洲欧美成人综合另类久久久| 丝袜喷水一区| 久久精品综合一区二区三区| 一个人看视频在线观看www免费| 一夜夜www| 久久亚洲国产成人精品v| 狂野欧美激情性xxxx在线观看| 亚洲,欧美,日韩| av在线天堂中文字幕| 久久久久久久久中文| 日韩强制内射视频| 久久久久久久久久久免费av| 好男人在线观看高清免费视频| 亚洲精品亚洲一区二区| 亚洲人成网站在线播| 最近最新中文字幕免费大全7| a级一级毛片免费在线观看| 日本av手机在线免费观看| 夫妻性生交免费视频一级片| 成年人午夜在线观看视频 | 能在线免费观看的黄片| 免费观看a级毛片全部| 国产 一区 欧美 日韩| 97在线视频观看| 久久鲁丝午夜福利片| 亚洲精品国产av成人精品| ponron亚洲| 欧美3d第一页| 最近最新中文字幕免费大全7| 亚洲人成网站在线观看播放| 在线观看免费高清a一片| av在线蜜桃| 亚洲一区高清亚洲精品| 高清日韩中文字幕在线| 久久久久久久久中文| 91久久精品国产一区二区成人| 国内精品美女久久久久久| 国产亚洲一区二区精品| 国产成人免费观看mmmm| 免费看不卡的av| 免费观看无遮挡的男女| 成人毛片60女人毛片免费| 成人二区视频| 我的女老师完整版在线观看| 在线播放无遮挡| 好男人视频免费观看在线| 中文天堂在线官网| 午夜精品国产一区二区电影 | 少妇裸体淫交视频免费看高清| 成人亚洲欧美一区二区av| 51国产日韩欧美| 日韩精品有码人妻一区| 日韩一区二区视频免费看| 久久97久久精品| 国内精品美女久久久久久| 免费看av在线观看网站| 亚洲av免费在线观看| 日韩成人伦理影院| 男女视频在线观看网站免费| 中文字幕av成人在线电影| 99热这里只有精品一区| 一边亲一边摸免费视频| 免费大片黄手机在线观看| 成年人午夜在线观看视频 | 午夜精品在线福利| 亚洲欧美日韩无卡精品| 国产成人精品一,二区| 视频中文字幕在线观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 国产69精品久久久久777片| 日韩大片免费观看网站| 国产伦一二天堂av在线观看| 国产精品久久视频播放| 亚洲精品乱码久久久久久按摩| 九九爱精品视频在线观看| 男女边吃奶边做爰视频| 亚洲av二区三区四区| 欧美xxxx性猛交bbbb| 国产伦精品一区二区三区视频9| 午夜视频国产福利| 一区二区三区免费毛片| 日日啪夜夜撸| 国产综合懂色| 日本免费a在线| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 又爽又黄无遮挡网站| av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产伦一二天堂av在线观看| 国产精品熟女久久久久浪| 国产精品无大码| 亚洲在线观看片| 听说在线观看完整版免费高清| 九九在线视频观看精品| 免费看av在线观看网站| 国产精品一区二区三区四区久久| 国产探花极品一区二区| 老司机影院成人| 日本午夜av视频| 欧美潮喷喷水| 亚洲婷婷狠狠爱综合网| 男人舔奶头视频| videos熟女内射| 乱人视频在线观看| 天堂中文最新版在线下载 | 亚洲av成人精品一区久久| 搡老妇女老女人老熟妇| 成人毛片a级毛片在线播放| 欧美成人午夜免费资源| 激情 狠狠 欧美| 国产精品久久久久久久电影| 美女高潮的动态| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 99久久九九国产精品国产免费| 最近的中文字幕免费完整| 国产成人免费观看mmmm| 一个人看视频在线观看www免费| 男人爽女人下面视频在线观看| 成人国产麻豆网| 日韩在线高清观看一区二区三区| 禁无遮挡网站| 久久精品国产自在天天线| 少妇的逼水好多| 成人无遮挡网站| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 十八禁国产超污无遮挡网站| 一区二区三区四区激情视频| 男女边摸边吃奶| 老女人水多毛片| 午夜亚洲福利在线播放| 三级国产精品欧美在线观看| 内地一区二区视频在线| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 国内精品美女久久久久久| 内地一区二区视频在线| 成人漫画全彩无遮挡| 人妻夜夜爽99麻豆av| 国产久久久一区二区三区| 99九九线精品视频在线观看视频| 身体一侧抽搐| 色尼玛亚洲综合影院| 亚洲av一区综合| av网站免费在线观看视频 | av免费观看日本| 午夜视频国产福利| 美女cb高潮喷水在线观看| 久久精品国产自在天天线| kizo精华| 久久久久网色| 国产伦精品一区二区三区视频9| 国产午夜精品论理片| 成人av在线播放网站| 亚洲av.av天堂| 伊人久久精品亚洲午夜| 三级毛片av免费| 国产精品人妻久久久影院| h日本视频在线播放| 女人被狂操c到高潮| 国产精品日韩av在线免费观看|