《微積分》如何計(jì)算圓周率π的近似值

錄嶺法 張利齊

摘要：圓周率π可以說(shuō)是在數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的一個(gè)無(wú)理數(shù)，在計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積、球體積以及很多相關(guān)圖形（比如扇形、橢圓和橢球等）計(jì)算中起到了關(guān)鍵作用。它最早被定義為圓周長(zhǎng)與直徑的比值。而如何計(jì)算圓周率π也引起了古今中外眾多數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。利用“割圓術(shù)”，我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家祖沖之得到了兩個(gè)圓周率的近似值，分別為約率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比歐洲早了1000年。然而，由于“割圓術(shù)”方法的局限性，改進(jìn)已有結(jié)果的難度變得越來(lái)越大。在本文中，我們主要介紹在微積分中利用無(wú)窮級(jí)數(shù)計(jì)算圓周率π的一些公式。利用計(jì)算機(jī)編程，人們甚至可以將圓周率計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬(wàn)億位。

關(guān)鍵詞：圓周率;割圓術(shù);微積分;無(wú)窮級(jí)數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.4 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號(hào)：1674-9324（2019）20-0211-02

一、簡(jiǎn)介

在常見(jiàn)的一些圖形中，全部由直線(xiàn)構(gòu)成的一些圖形（比如三角形、矩形、梯形、長(zhǎng)方體等等）的長(zhǎng)度、面積和體積都是比較容易計(jì)算的，直接就可以通過(guò)“切割”成一些規(guī)則圖形來(lái)計(jì)算。例如，一個(gè)長(zhǎng)方形可以通過(guò)切割獲得兩個(gè)直角三角形從而有了直角三角形的面積公式，進(jìn)一步一個(gè)三角形也可以被切割成兩個(gè)直角三角形，從而三角形的面積公式也很容易被得到。用類(lèi)似的方法還可以獲得梯形和平行四邊形等圖形的面積公式。然而，一些由曲線(xiàn)圍成的圖形（比如圓形、扇形、橢圓、圓球、橢球等等）的長(zhǎng)度、面積和體積都是無(wú)法通過(guò)傳統(tǒng)的“切割”方法來(lái)計(jì)算它們的精確值的。然而，一些數(shù)學(xué)家通過(guò)觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，圓的周長(zhǎng)和它的直徑的比值是固定的。因此，它們把這個(gè)數(shù)字稱(chēng)為圓周率，通常記為π。雖然我們無(wú)法通過(guò)“切割”方法來(lái)計(jì)算π的精確值，然而卻可以通過(guò)這種方法獲得π的一些近似值。例如，我們南北朝時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家祖沖之，就通過(guò)“割圓法”把圓切割成正多邊形，從而得出圓周率π介于3.1415926到3.1415927之間。除此之外，他還得到了兩個(gè)圓周率的近似值，分別為約率22/7和密率335/113。其中密率335/113足足比歐洲早了1000年。但是，由于“割圓法”的一些局限性，改進(jìn)已有結(jié)果的難度變得越來(lái)越大。如何使用其他的方法來(lái)計(jì)算圓周率π在過(guò)去吸引了很多數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。大量的方法和計(jì)算公式層出不窮。這也促進(jìn)了“微積分”這門(mén)學(xué)科的發(fā)展。因此，在這篇論文中，我們主要介紹一下如何使用微積分中的知識(shí)來(lái)計(jì)算圓周率π。

二、利用瓦里斯公式計(jì)算圓周率π

四、總結(jié)

通過(guò)上述（*1）到（*5）中的每一個(gè)公式，然后再利用計(jì)算機(jī)編程，我們都可以計(jì)算出圓周率π的近似值。相比較而言，（*2），（*4）和（*5）是最方便記憶的，其中（*2）應(yīng)該是最為好用的。目前，人們利用計(jì)算機(jī)編程，已經(jīng)能計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后10萬(wàn)億位。然而，實(shí)際中我們并不需要這么精確。不過(guò)，這也充分證明計(jì)算圓周率π已經(jīng)吸引了眾多數(shù)學(xué)家們的關(guān)注。

參考文獻(xiàn)：

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[2]韓雪濤.古今中外計(jì)算圓周率π的方法[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)：高中版上旬，2017，（03）.