采用廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌的徑向球塞馬達(dá)的輸出特性

(南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院， 江西南昌 330031)

引言

液壓驅(qū)動(dòng)是近些年機(jī)械驅(qū)動(dòng)的主要方式之一，對(duì)液壓馬達(dá)的扭矩、排量、噪聲值等要求也越來(lái)越高[1-2]。精確獲取徑向液壓馬達(dá)定子導(dǎo)軌曲線是徑向液壓馬達(dá)的核心技術(shù)之一，不同廠家生產(chǎn)的徑向液壓馬達(dá)導(dǎo)軌曲線不同，液壓馬達(dá)生產(chǎn)廠家往往將軌曲線作為核心技術(shù)并對(duì)外保密[3-4]。目前市場(chǎng)上成熟且公開(kāi)的等加速等減速曲線，轉(zhuǎn)子運(yùn)行過(guò)程中，始終存在著較大的柔性沖擊問(wèn)題，作為研究熱點(diǎn)的等接觸應(yīng)力曲線某些性能優(yōu)異， 但是曲線繪制通常采用曲線擬合的辦法，形式復(fù)雜，在實(shí)際加工中達(dá)不到要求精度而未得到廣泛應(yīng)用[5-6]。

新型的徑向馬達(dá)定子導(dǎo)軌曲線的發(fā)現(xiàn)與研究是推動(dòng)液壓馬達(dá)技術(shù)進(jìn)步的核心動(dòng)力之一[7]，通過(guò)對(duì)橢圓曲線的觀察，改變曲線的作用次數(shù)，可以得到一系列新型的徑向球塞液壓馬達(dá)定子導(dǎo)軌曲線，通過(guò)理論推導(dǎo)與仿真來(lái)探究該類型曲線對(duì)徑向球塞馬達(dá)的性能影響。

1 方程曲線的來(lái)源與該曲線導(dǎo)軌的建模

1.1 廣義橢圓方程曲線的來(lái)源

觀察橢圓曲線，其曲線由2個(gè)對(duì)稱的波形線構(gòu)成[8]，改變橢圓曲線的作用次數(shù)，可以得到3， 4， 5， 6個(gè)等數(shù)值的對(duì)稱波形線，徑向球塞液壓馬達(dá)通常需要5， 6， 8， 9個(gè)或者10個(gè)對(duì)稱的波形線[9]。

獲取徑向球塞馬達(dá)廣義橢圓方程曲線(鋼球運(yùn)行的軌跡曲線)過(guò)程如下：

在橢圓極坐標(biāo)方程中，一動(dòng)點(diǎn)在橢圓軌跡上運(yùn)動(dòng)，有極徑：

(1)

式中，a為橢圓短半軸；b為橢圓長(zhǎng)半軸；θ為橢圓轉(zhuǎn)角，則橢圓上任意點(diǎn)(x,y)有：

(2)

改變橢圓方程曲線的作用次數(shù)，得到的新型曲線可以用廣義橢圓極坐標(biāo)方程生成。

在廣義橢圓極坐標(biāo)方程中，一動(dòng)點(diǎn)在廣義橢圓軌跡上運(yùn)動(dòng)，有極徑：

(3)

式中，a1為廣義橢圓短半軸；b1為廣義橢圓長(zhǎng)半軸；θ1為廣義橢圓轉(zhuǎn)角；n為廣義橢圓作用次數(shù)，即曲線波形線個(gè)數(shù)，當(dāng)n=2時(shí)，廣義橢圓極坐標(biāo)方程對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)橢圓極坐標(biāo)方程。

則廣義橢圓極坐標(biāo)方程上任意點(diǎn)(x1,y1)有:

(4)

分析式(3)，該方程生成的曲線是一條形式簡(jiǎn)單、連續(xù)、封閉、高次可導(dǎo)的周期性曲線，可解決內(nèi)曲線馬達(dá)內(nèi)部柔性沖擊問(wèn)題。

1.2 該曲線導(dǎo)軌的建模

用MATLAB獲取上述廣義橢圓方程曲線數(shù)據(jù)后，將數(shù)據(jù)導(dǎo)入到SolidWorks繪圖軟件中，用半徑為r的圓在其軌跡上掃描，掃描線構(gòu)成的包絡(luò)線進(jìn)行縱向拉伸即為本研究的廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌。

當(dāng)取短半軸a1為100 mm，長(zhǎng)半軸b1為108 mm，r為10 mm時(shí)，n為5, 6, 8, 9時(shí)，徑向球塞馬達(dá)廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌如圖1所示。

圖1 n取不同值取得的廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌

2 結(jié)構(gòu)及工作原理

采用廣義橢圓曲線導(dǎo)軌的液壓馬達(dá)結(jié)構(gòu)如圖2所示，采用了圖1中n為6時(shí)的徑向球塞馬達(dá)廣義橢圓定子曲線導(dǎo)軌。由圖1定子曲線導(dǎo)軌可知，n的數(shù)值即為廣義橢圓定子導(dǎo)軌曲線球塞馬達(dá)的長(zhǎng)、短半軸個(gè)數(shù)，即作用次數(shù)(對(duì)稱的波形線個(gè)數(shù))。在液壓力的作用下，1個(gè)鋼球緊貼定子內(nèi)壁運(yùn)行一圈的過(guò)程中，鋼球每經(jīng)歷一次由短半軸到長(zhǎng)半軸再到短半軸的變化，可以完成一次壓、排油過(guò)程。其中壓油過(guò)程(鋼球從短半軸運(yùn)行到長(zhǎng)半軸)，高壓油通過(guò)壓油腔給鋼球底部提供推力，使鋼球頂部擠壓定子導(dǎo)軌內(nèi)壁，定子導(dǎo)軌內(nèi)壁對(duì)鋼球的反作用力N可以分解為與球塞底部液壓力相平衡的徑向力F和切向力G， 切向力G乘以ρ1即為1個(gè)鋼球所提供的扭矩， 所有處于壓油過(guò)程的鋼球產(chǎn)生的扭矩累加即為瞬時(shí)扭矩， 共同推動(dòng)轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)；

1.定子 2.鋼球 3.球塞 4.轉(zhuǎn)子 5.配流軸圖2 采用廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌的球塞液壓馬達(dá)結(jié)構(gòu)

排油過(guò)程(鋼球從長(zhǎng)半軸運(yùn)行到短半軸)，鋼球底部的低壓油從排油腔排出，鋼球通過(guò)慣性作用繼續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)[10]。

3 方程參數(shù)對(duì)該類型馬達(dá)輸出扭矩的影響

由圖2液壓馬達(dá)結(jié)構(gòu)及工作過(guò)程可知，n值的增大可以增加馬達(dá)的作用次數(shù)，在不計(jì)摩擦及泄漏的情況下，廣義馬達(dá)工作過(guò)程中輸出的平均扭矩T為:

(5)

為反映長(zhǎng)、短半軸的比值關(guān)系，引入長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)K:

(6)

式中，T為平均扭矩，N·m； Δp為壓油腔與排油腔的油壓差，MPa；V為廣義橢圓定子導(dǎo)軌曲線徑向球塞馬達(dá)排量，mL·r-1；n為廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌作用次數(shù)；z為鋼球個(gè)數(shù)；s為廣義橢圓定子曲線導(dǎo)軌球塞馬達(dá)鋼球的行程，mm，且有s=b1-a1；r為鋼球半徑，mm。

分析式(5)，該類型馬達(dá)輸出的平均扭矩T與油壓差Δp、作用次數(shù)n，鋼球個(gè)數(shù)z、鋼球行程s和鋼球半徑r的二次方成正比關(guān)系。

在有限的容積中追求液壓馬達(dá)大扭矩的情況下，可以增大作用次數(shù)n以及長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)K，但是隨著數(shù)值n的增加，廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌加工難度增加，在尖角(長(zhǎng)軸)處產(chǎn)生過(guò)切現(xiàn)象的幾率增加，n和K增加到一定數(shù)值時(shí)，會(huì)使液壓馬達(dá)因鋼球“卡死”而停止工作，因此n通常取5～12的整數(shù)值，106%≤K≤114%。

4 方程參數(shù)對(duì)該類型馬達(dá)壓力角的影響

壓力角是反映徑向馬達(dá)輸出扭矩能力的一項(xiàng)參數(shù)，馬達(dá)內(nèi)部鋼球中心的徑向線與法向線的夾角即為壓力角[11]，如圖3所示。

其中，θ1為鋼球中心徑向線與x軸的夾角，也是廣義橢圓轉(zhuǎn)角。

(7)

k1=tanθ1

(8)

(9)

(10)

β=arctan(k)

(11)

式中，ρ1為廣義橢圓極坐標(biāo)方程中的極徑，即鋼球中心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，mm；v為鋼球相對(duì)于球塞孔運(yùn)動(dòng)的速度，mm·rad-1；k1為鋼球中心徑向線斜率；k2為鋼球中心法向線斜率；k為壓力角斜率；β為壓力角。

圖3 壓力角分析圖

取短軸a1為100 mm，長(zhǎng)軸b1為108 mm，n為5時(shí)，在MATLAB中運(yùn)行式(7)～式(11)，得到轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)一圈過(guò)程中壓力角變化圖如圖4所示。

圖4 五作用廣義橢圓方程曲線徑向馬達(dá)的壓力角變化圖

分析圖4，壓力角的變化周期為T0=2π/5,壓力角最大值βmax=10.90°，壓力角最小值為βmin=-10.90°，壓力角變化連續(xù)。分別改變b1和n的值，控制其他數(shù)值不變，繼續(xù)運(yùn)行上述計(jì)算式，探究該類型馬達(dá)壓力角的變化情況，有表1和表2。

分析表1，隨著b1數(shù)值的增大，即長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)的增大，壓力角最大值βmax增大，壓力角最小值βmin減小，始終存在βmax=βmin，壓力角的變化周期為T0未發(fā)生變化，表明長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)K對(duì)壓力角的變化周期無(wú)影響。

表1 b1取不同值時(shí)值壓力角變化情況

表2 n取不同值時(shí)值壓力角變化情況

分析表2，隨著作用次數(shù)的增大，壓力角最大值βmax增大，壓力角最小值βmin減小，始終存在βmax=βmin，壓力角的變化周期為T0=2π/n,表明壓力角的變化周期T0與作用次數(shù)n成反比關(guān)系。

綜合分析表1和表2，當(dāng)需適當(dāng)增大該類型馬達(dá)的壓力角時(shí)，可以適當(dāng)增大長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)K和作用次數(shù)n。

5 方程參數(shù)和鋼球個(gè)數(shù)對(duì)該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)的影響

液壓馬達(dá)的流量脈動(dòng)率與扭矩脈動(dòng)率是反映液壓馬達(dá)噪聲情況的兩項(xiàng)重要參數(shù)，流量脈動(dòng)率與扭矩脈動(dòng)率越大，液壓馬達(dá)工作過(guò)程中產(chǎn)生的噪聲越大。液壓馬達(dá)的流量脈動(dòng)率σ1、扭矩脈動(dòng)率σ2計(jì)算為:

(12)

(13)

式中，qmax，qmin分別為最大瞬時(shí)流量和最小瞬時(shí)流量；q為平均流量，mL·s-1；Tmax，Tmin分別為最大瞬時(shí)扭矩和最小瞬時(shí)扭矩；T為平均扭矩，N·m； 在不計(jì)摩擦與泄漏的情況下，平均扭矩T可由式(5)計(jì)算，平均流量q的計(jì)算式為:

為計(jì)算qmax，qmin，Tmax和Tmin的數(shù)值，需計(jì)算在不同處轉(zhuǎn)角處的瞬時(shí)流量q瞬時(shí)和瞬時(shí)扭矩T瞬時(shí)，其計(jì)算式為：

(15)

(16)

式中，r為鋼球半徑，mm；n為廣義橢圓方程參數(shù)；z為鋼球個(gè)數(shù)；t為馬達(dá)轉(zhuǎn)數(shù)，r·s-1；vi為每個(gè)鋼球相對(duì)于球塞孔的速度，當(dāng)vi<0時(shí)，鋼球?qū)?yīng)的球塞底部排出低壓油，將vi=0代入式(15)中計(jì)算，Δp為液壓馬達(dá)壓油腔與排油腔的油壓差，MPa；V為馬達(dá)排量，mL·r-1；p為鋼球底部壓力；ρi為各個(gè)鋼球的極徑；βi為各個(gè)鋼球的壓力角，(°)。

取短軸a1為100 mm，長(zhǎng)軸b1為108 mm，n=5，鋼球半徑r=10 mm，鋼球個(gè)數(shù)z=10，t=4 r·s-1，壓油腔油壓p1為10 MPa，排油腔油壓p2為0.5 MPa時(shí)，Δp=p1-p2。當(dāng)tanβi>0時(shí)，鋼球底部處于壓油腔，p=p1=10 MPa,當(dāng)tanβi≤0時(shí)，鋼球底部處于排油腔，p=p2=0.5 MPa。

在MATLAB中運(yùn)行式(7)和式(15)，液壓馬達(dá)的瞬時(shí)流量q瞬時(shí)變化情況如圖5所示。

圖5 廣義橢圓方程曲線徑向馬達(dá)瞬時(shí)流量變化圖

分析圖5，瞬時(shí)流量變化周期T1為2π/5,最大瞬時(shí)流量qmax=81.3 mL·s-1,最小瞬時(shí)流量qmin=77.2 mL·s-1,運(yùn)行式(14)，有q=80 mL·s-1，再運(yùn)行式(12)得σ1=5.13%。

在MATLAB中運(yùn)行式(3)、式(7)～(11)和式(16)，液壓馬達(dá)的瞬T瞬時(shí)時(shí)扭矩變化情況如圖6所示。

圖6 廣義橢圓方程曲線徑向馬達(dá)瞬時(shí)扭矩變化圖

分析圖6，瞬時(shí)扭矩變化周期T2為2π/5,最大瞬時(shí)扭矩Tmax=193.2 N·m,最小瞬時(shí)扭矩Tmin=183.1 N·m,運(yùn)行式(5)，有T=190 N·m，再運(yùn)行式(13)得σ2=5.32%。

分別改變長(zhǎng)軸b1、作用次數(shù)n和鋼球個(gè)數(shù)z，控制其他數(shù)值不變，繼續(xù)運(yùn)行上述計(jì)算式，探究該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)的變化情況，有表3～表5。

表3 b1取不同值時(shí)該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)的變化情況

表4 n取不同值時(shí)該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)的變化情況

表5 z取不同值時(shí)該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)的變化情況

分析表3，b1發(fā)生改變時(shí)，流量脈動(dòng)率σ1、瞬時(shí)流量變化周期T1、扭矩脈動(dòng)率σ2、瞬時(shí)扭矩變化周期T2數(shù)值均不變，表明長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)K對(duì)該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)和扭矩脈動(dòng)無(wú)影響。

分析表4，當(dāng)作用次數(shù)n為大于5的奇數(shù)時(shí)，隨著作用次數(shù)n的增加，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1變小，當(dāng)作用次數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，隨著作用次數(shù)n的增加，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1變大，作用次數(shù)n對(duì)該類型馬達(dá)扭矩脈動(dòng)率σ2影響甚微，瞬時(shí)流量變化周期T1、瞬時(shí)扭矩變化周期T2均為2π/n，表明瞬時(shí)流量變化周期T1、瞬時(shí)扭矩變化周期T2與作用次數(shù)n成反比關(guān)系。

分析表5，鋼球個(gè)數(shù)z為奇數(shù)時(shí)，隨著鋼球個(gè)數(shù)z的增加，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1和扭矩脈動(dòng)率σ2變小，作用次數(shù)為奇數(shù)的該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1比作用次數(shù)為該奇數(shù)相鄰的兩個(gè)偶數(shù)的該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1小，鋼球個(gè)數(shù)為8時(shí)，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1和扭矩脈動(dòng)率σ2均出現(xiàn)極大值，鋼球個(gè)數(shù)z發(fā)生改變時(shí)，瞬時(shí)流量變化周期T1、瞬時(shí)扭矩變化周期T2均不發(fā)生變化，表明瞬時(shí)流量變化周期T1、瞬時(shí)扭矩變化周期T2與鋼球個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。

綜合分析表3～表5，當(dāng)需取制作低噪聲的馬達(dá)，作用次數(shù)n和鋼球個(gè)數(shù)z均應(yīng)選擇數(shù)值較大的奇數(shù)。當(dāng)作用次數(shù)n=5，鋼球個(gè)數(shù)z=9時(shí)，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)σ1=0.89%，扭矩脈動(dòng)率σ2=1.57%，趨近于恒流、恒扭矩，液壓馬達(dá)的流量脈動(dòng)與扭矩脈動(dòng)是造成液壓噪聲根源，流量脈動(dòng)率和扭矩脈動(dòng)率越大，噪聲越大，流量脈動(dòng)率和扭矩脈動(dòng)率越小，噪聲越小，此外廣義橢圓方程曲線可解決內(nèi)曲線馬達(dá)內(nèi)部沖擊問(wèn)題，說(shuō)明廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌在制作低噪聲的徑向液壓馬達(dá)方面有著顯著的優(yōu)異性能。

6 結(jié)論

(1) 長(zhǎng)、短半軸比例系數(shù)對(duì)該類型的徑向球塞馬達(dá)流量脈動(dòng)和扭矩脈動(dòng)無(wú)影響；

(2) 當(dāng)作用次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，隨著作用次數(shù)的增加，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)變大，作用次數(shù)對(duì)該類型馬達(dá)扭矩脈動(dòng)率影響甚微；

(3) 鋼球個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，隨著鋼球個(gè)數(shù)的增加，該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)率和扭矩脈動(dòng)率變小，作用次數(shù)為奇數(shù)的該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)率比作用次數(shù)為該奇數(shù)相鄰的兩個(gè)偶數(shù)的該類型馬達(dá)流量脈動(dòng)?。?/p>

(4) 當(dāng)需制取大扭矩的徑向液壓馬達(dá)時(shí)，馬達(dá)的作用次數(shù)和長(zhǎng)、短軸比例系數(shù)宜選擇較大的數(shù)值；當(dāng)需制取低噪聲的徑向液壓球塞馬達(dá)時(shí)，馬達(dá)的作用次數(shù)與馬達(dá)內(nèi)部的鋼球個(gè)數(shù)宜選擇較大的奇數(shù)；

(5) 廣義橢圓方程曲線導(dǎo)軌在制作低噪聲的徑向液壓馬達(dá)方面有著顯著的優(yōu)異性能，為設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)新型的低噪聲徑向液壓馬達(dá)提供了理論依據(jù)。