一種基于統(tǒng)計矩的產(chǎn)品裝配公差分析方法

潘鶴斌, 周石恩, 劉寬耀, 丁 偉, 陸 玥

(1.海軍裝備部駐上海地區(qū)第六軍代室,上海201109;2.上海無線電設(shè)備研究所,上海201109)

0 引言

隨著技術(shù)的進(jìn)步和市場競爭的日益激烈,對產(chǎn)品質(zhì)量的要求越來越高,而機(jī)械產(chǎn)品質(zhì)量在很大程度上由其裝配精度決定[1]。目前結(jié)構(gòu)工程師在進(jìn)行產(chǎn)品設(shè)計時往往是憑經(jīng)驗或采用類比法確定零件公差,缺乏相應(yīng)的理論指導(dǎo),這種設(shè)計方法不僅對新手和經(jīng)驗不足的設(shè)計人員極不友好,而且容易出現(xiàn)裝配質(zhì)量不合格和多次返工的情況。近年來機(jī)械產(chǎn)品由于功能的不斷增多,使得其結(jié)構(gòu)日益復(fù)雜,為保證產(chǎn)品質(zhì)量滿足要求,尺寸鏈計算以及公差分析是設(shè)計和制造過程中必不可少的環(huán)節(jié)。通過公差分析方法理解零件公差變化對產(chǎn)品性能的影響、掌握影響裝配公差的零件貢獻(xiàn)度、預(yù)測裝配失效率,對于幫助降低廢品率、管理供應(yīng)商、縮短生產(chǎn)時間、降低產(chǎn)品成本具有較大作用[2]。

在產(chǎn)品工程應(yīng)用中,極值法以其簡單、易操作的特點(diǎn)被設(shè)計師廣泛接受,成為一種典型的公差分析方法[3]。張憲明[4]通過極值法對圓柱面工藝尺寸鏈進(jìn)行建模,指出尺寸鏈中尺寸環(huán)大小、基準(zhǔn)設(shè)置方法和同軸度誤差對目標(biāo)裝配誤差的影響,為同類工藝尺寸鏈建立和加工過程提供理論指導(dǎo)和時間參考。Yuan[5]提出基于無序遺傳算法來構(gòu)造最差情況公差分析模型,生成無序的初始種群、引入無序擾動來進(jìn)行遺傳變異,提高了傳統(tǒng)遺傳算法的全局搜索能力,并采用天線陣面的公差分析案例證實了該方法相比于傳統(tǒng)遺傳算法的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。楊根軍[6]通過合理優(yōu)化毛坯件公差和極限偏差,使其同時滿足數(shù)控加工要求和公差技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)要求,達(dá)到降低機(jī)械加工難度、減少機(jī)械加工工序、優(yōu)化工藝流程和簡化質(zhì)量控制程序的目的。然而,極值法對零件制造公差要求十分苛刻,而零件設(shè)計與制造過程中公差與制造成本是一對矛盾,公差指標(biāo)提得越高,即公差范圍越小,加工的難度就越大,所涉及的工序和設(shè)備越多,占用的工時越多,制造成本越高[7]。

與極值公差法相比,統(tǒng)計公差分析方法可以得到更接近于實際的裝配公差估計,并允許零件具有較寬公差帶,其中以蒙特卡洛方法應(yīng)用尤為廣泛。Lee[8]將蒙特卡洛(Monte Carlo,MC)方法應(yīng)用于公差尺寸鏈求解,分析每個子陣單元誤差對天線波束方向圖的影響。陳振中[9]以位標(biāo)器的裝配過程為研究對象,討論了MC方法在位標(biāo)器不同公差特性條件下的適應(yīng)程度,保證了其在公差分析中的精度。王晶[10]以某型航空發(fā)動機(jī)高壓渦輪的一個徑向尺寸鏈為例,利用蒙特卡洛模擬法進(jìn)行公差分析,結(jié)果表明模擬次數(shù)在20萬以上時精度能夠滿足要求。MC方法能夠根據(jù)已有的大量裝配結(jié)果進(jìn)行公差分析,獲得零件不同設(shè)計公差與裝配誤差值間的關(guān)聯(lián)關(guān)系,從而較為準(zhǔn)確地預(yù)測產(chǎn)品裝配精度。但該方法計算精度與樣本量大小關(guān)系密切,當(dāng)樣本數(shù)據(jù)不足時容易受個例影響,導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)問題。

為確保產(chǎn)品機(jī)械性能滿足要求的同時降低研制成本,本文基于統(tǒng)計矩方法構(gòu)建公差傳遞尺寸鏈模型,預(yù)測裝配累積誤差分布區(qū)間,根據(jù)預(yù)測結(jié)果及零件誤差影響程度實現(xiàn)公差分配,為工程師設(shè)計產(chǎn)品零部件提供理論依據(jù)。

1 統(tǒng)計矩公差分析方法

1.1 制造誤差統(tǒng)計表達(dá)

在產(chǎn)品設(shè)計階段,結(jié)構(gòu)工程師一般以Dab的標(biāo)注方式來表示零件公差,其中D是零件的公稱尺寸,即理想設(shè)計值。零件設(shè)計公差T=a-b,它表征零件由于加工因素而允許出現(xiàn)的特征誤差變動量,a和b分別為特征上偏差和下偏差。對于批量生產(chǎn)的零部件來說,在相同工藝下同一特征的制造誤差變量記為x,該特征在n件零件上的實際誤差值{x1,x2,…,xn}均落在公差區(qū)間內(nèi),即b≤x1,x2,…,xn≤a。一般來說,工程上視該集合內(nèi)元素滿足正態(tài)分布規(guī)律,即零件制造誤差x在實數(shù)域內(nèi)的概率分布表達(dá)式為

其中

式中：μ和σ分別為該零件制造誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,在統(tǒng)計矩方法中稱為一階中心矩和二階比例矩。

對于零件制造誤差表現(xiàn)為非正態(tài)分布的情況,需要更高階的比例矩來描述樣本形狀。式(3)為制造誤差x的三階和四階比例矩,其中,α為偏度,用于衡量樣本均值的對稱性,偏度為正時,數(shù)據(jù)均值右側(cè)離散性較左側(cè)強(qiáng),而對于正態(tài)分布等嚴(yán)格對稱分布形式其偏度為零;β為峰度,用于度量樣本數(shù)據(jù)偏離某分布的情況,正態(tài)分布的峰度為3,當(dāng)某分布峰度大于3時其峰度較正態(tài)分布高。

1.2 可制造分析

可制造分析用于決定零件制造工藝如何確定,從而使得特征滿足一定的公差設(shè)計要求。最普遍的方式是通過過程能力指數(shù)Cpk進(jìn)行描述,表達(dá)式為

式中：U和L分別為特征尺寸上限和下限;μd和σd分別為特征尺寸均值和方差,其與制造誤差均值μ和方差σ存在關(guān)系μd=μ+D和σd=σ。

Cpk對設(shè)備和操作人員提出一定要求,反映了過程能力滿足技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)的程度。一般要求過程能力指數(shù)Cpk不小于1,當(dāng)零件制造誤差滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布時,其尺寸均值μd與公稱尺寸D相等,即制造誤差均值μ為0,此時制造誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ與設(shè)計公差值T之間存在線性關(guān)系σ=T/6。結(jié)合概率密度函數(shù),可知零件制造誤差有99.73%的概率落在區(qū)間 [μ-3σ,μ+3σ]范圍內(nèi),因此在過程能力指數(shù)Cpk=1時,可以近似用設(shè)計公差來表征正態(tài)分布類型制造誤差的統(tǒng)計情況。

1.3 公差傳遞計算

根據(jù)1.2節(jié)特征尺寸與其制造誤差的均值和方差間關(guān)系,在確定產(chǎn)品封閉環(huán)和組成環(huán)后,以制造誤差為對象構(gòu)造裝配尺寸鏈模型。裝配誤差量記為y,m個組成環(huán)制造誤差變量分別為c1,c2,…,cm,它們之間存在函數(shù)關(guān)系y=g(c1,c2,…,cm)。假設(shè)該函數(shù)為線性函數(shù),則可以采用多項式獲取封閉環(huán)與組成環(huán)關(guān)系,可表示為y=A1c1+A2c2+…+Amcm,其中A1,A2,…,Am為各組成環(huán)系數(shù)。對于任一組成環(huán)而言,其制造誤差ci(i=1,2,…,m)的均值和方差以μi和σi表示。根據(jù)統(tǒng)計矩方法對尺寸鏈模型進(jìn)行求解,得到裝配誤差的均值μy和方差σy,表達(dá)式為

對于非線性裝配函數(shù)來說,其函數(shù)值的分布可能是非正態(tài)的,因此不能用各變量公差的線性組合形式進(jìn)行表達(dá)。一般通過將裝配函數(shù)展開成Taylor級數(shù),對裝配函數(shù)進(jìn)行線性化。在各組成環(huán)制造誤差均值點(diǎn) (μ1,μ2,…,μm)處對裝配函數(shù)y=g(c1,c2,…,cm)進(jìn)行一階泰勒展開,得到裝配函數(shù)表達(dá)式為

非線性函數(shù)的裝配誤差均值可以采用g(μ1,μ2,…,μm)表示,其標(biāo)準(zhǔn)差與裝配誤差對零件制造誤差的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān),表達(dá)式為

合格率被用來評價產(chǎn)品裝配質(zhì)量。在零件制造誤差均滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,且它們的過程能力指數(shù)Cpk均為1時,產(chǎn)品裝配合格率Pd可以通過式(8)來描述。其中,Uy和Ly分別為產(chǎn)品裝配特征允許的誤差量上下限;Φ(·)表示正態(tài)分布概率值,可以通過查表得到。

2 伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)裝配公差分析

2.1 伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

光學(xué)導(dǎo)引頭伺服機(jī)構(gòu)框架結(jié)構(gòu)由俯仰和偏航兩個通道構(gòu)成,它們是搭載光學(xué)攝像頭的重要機(jī)械結(jié)構(gòu)。以俯仰通道結(jié)構(gòu)組件為例,它由基座、外框架、俯仰齒輪、軸承、齒輪蓋等零部件組成,如圖1所示。為確保導(dǎo)引頭能夠完成預(yù)期目標(biāo),需保證安置在外框架上的光學(xué)攝像頭處于基座中心位置。

圖1 光學(xué)導(dǎo)引頭伺服機(jī)構(gòu)俯仰通道結(jié)構(gòu)

2.2 伺服機(jī)構(gòu)裝配模型構(gòu)建

構(gòu)建伺服機(jī)構(gòu)裝配模型主要分為兩個步驟：一是以運(yùn)動副描述相關(guān)零部件間的裝配關(guān)系;二是確定各個零件的設(shè)計尺寸和誤差。

伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)通過軸孔裝配方式進(jìn)行定位,利用圓柱副來固定零件自由度。圓柱副由中心軸對齊和點(diǎn)接觸兩種約束方式組成,依據(jù)裝配關(guān)系在齒輪蓋與基座、軸承與齒輪蓋、俯仰齒輪與軸承,以及外框架與俯仰齒輪之間添加約束,從而生成俯仰通道的裝配邏輯圖。

零件加工過程中一般選擇某個特征面作為基準(zhǔn),其他特征相對于基準(zhǔn)特征存在一定誤差許可量,提取涉及到尺寸鏈生成的特征,構(gòu)建伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)裝配模型。以外框架為例進(jìn)行說明,如圖2所示。將俯仰通道外框架左外側(cè)面作為基準(zhǔn),前后外側(cè)面與基準(zhǔn)垂直,可能存在一定角度誤差(與尺寸鏈方向不一致,不影響尺寸鏈模型);右外側(cè)面與基準(zhǔn)平行,存在尺寸誤差或角度誤差;內(nèi)側(cè)面位置與通道壁厚相關(guān),影響偏航通道的安裝,不影響俯仰通道方向誤差傳遞;圓柱面徑向誤差對尺寸鏈無影響。伺服機(jī)構(gòu)俯仰通道相關(guān)零件制造公差見表1。

2.3 伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)裝配尺寸鏈求解

根據(jù)伺服機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)俯仰通道的裝配關(guān)系建立其垂直外框架左外側(cè)面方向的尺寸鏈模型,如圖3所示。為保證光學(xué)攝像頭在服役過程中處于中心對稱位置,該方向上外框架需保證一定裝配精度。以基座兩側(cè)內(nèi)壁與外框架對應(yīng)外壁的間距之差表示偏移程度,記偏移量大小為e,兩邊間距分別為e1和e2,要求兩間距之差e=e2-e1的誤差分布絕大部分落在允許誤差范圍內(nèi)。

圖2 伺服機(jī)構(gòu)俯仰通道外框架特征公差

表1 俯仰通道零件制造公差表

圖3 伺服機(jī)構(gòu)俯仰通道尺寸鏈

左右間距e1和e2分別屬于兩個尺寸鏈,二者可以表示為

式中：di(i=1,2,…,6)分別為各零件裝配特征的實際尺寸。

兩間距之差e=e2-e1的理想值為零,偏移量e的分布情況可以通過各裝配零件的制造誤差獲得。將表1中零件制造公差數(shù)據(jù)帶入式(5)中,得到偏差量e的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0和0.14 mm,其概率密度函數(shù)與允許誤差范圍關(guān)系如圖4所示。圖中[-0.2,+0.2]區(qū)間為外框架偏移量e的允許誤差量區(qū)間,根據(jù)式(8)可以計算出偏移量e在允許誤差[-0.2,+0.2]范圍內(nèi)的概率,得到裝配誤差滿足要求概率為84.44%。

圖4 伺服機(jī)構(gòu)俯仰通道偏移量誤差區(qū)間

2.4 伺服機(jī)構(gòu)零件特征公差分配

為保證光學(xué)攝像頭在垂直外框架左外側(cè)面方向上裝配誤差滿足要求的概率在95%以上,同時盡可能降低制造加工成本,需對各相關(guān)零件公差進(jìn)行重新分配。采用中心差分導(dǎo)數(shù)計算偏移量對各零件制造誤差的一階偏導(dǎo)數(shù),表征裝配誤差對零件制造誤差的敏感程度,記為s,如式(10)所示。封閉環(huán)尺寸對組成環(huán)尺寸的二階敏感度比一階敏感度準(zhǔn)確,更接近裝配函數(shù),但計算比一階復(fù)雜。

敏感度s由尺寸鏈表達(dá)式?jīng)Q定,與零件當(dāng)前設(shè)計公差值無關(guān)。另以貢獻(xiàn)度r表示公差值大小對偏移量e的影響,第i個組成環(huán)誤差對e的影響ri(i=1,2,…,m)表達(dá)式為

通過綜合考慮敏感度和貢獻(xiàn)度,得到各個零件新的公差設(shè)計方案如表2所示。優(yōu)化后偏差量e的標(biāo)準(zhǔn)差由0.14 mm降低為0.098 mm,裝配成功率從84.44%上升為95.96%。

3 結(jié)論

應(yīng)用統(tǒng)計矩分析產(chǎn)品裝配公差,通過均值和方差描述零件或裝配體誤差的分布規(guī)律。針對光學(xué)導(dǎo)引頭伺服機(jī)構(gòu)的俯仰通道,構(gòu)建單方向的尺寸鏈模型。預(yù)測裝配后外框架在該方向上偏移量的波動情況。結(jié)合敏感度和貢獻(xiàn)度分析,對零件設(shè)計公差進(jìn)行優(yōu)化分配,使得偏移量的誤差分布概率滿足設(shè)計要求。

表2 優(yōu)化設(shè)計后俯仰通道零件特征量公差表單位為毫米