有限域上一類特殊方程的解數(shù)估計(jì)

高 巍，張起帆

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 610064)

1 引言

對(duì)有限集合D 和正整數(shù)n ，用Dn表示D 的n 重笛卡爾積.對(duì)Dn的子集X ，用表示集合

2018 年李吉有在第五屆川渝數(shù)論研討會(huì)上指出下列看似簡(jiǎn)單的方程的計(jì)數(shù)問題也很困難.

為方便說明，我們引入記號(hào)，設(shè)D ＝{a1，a2，…，an} 是環(huán)R 上的有限子集，方程a1x1＋a2x2＋… ＋anxn＝0滿足xk∈D 且當(dāng)j ≠k 時(shí)，xj≠xk的解的個(gè)數(shù)記為N(R，D) .

其中方程(4)與計(jì)算有限域上q －2 次置換多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)本質(zhì)上是一樣的問題(見文獻(xiàn)[4]).實(shí)際上方程(4)已經(jīng)有很好的結(jié)果:Sergei Konyagin 和Francesco Pappalardi 在2002 年(見文獻(xiàn)[5 －6])利用容斥原理以及指數(shù)和的計(jì)算，給出了方程(4)解數(shù)的一個(gè)很好的估計(jì)特別是在q ＝p 的情形，同年，Pinaki Das(見文獻(xiàn)[7])利用矩陣的permanent 以及一個(gè)比較漂亮的代數(shù)方法構(gòu)造了生成函數(shù)的方法也得到類似的估計(jì)本文我們將利用該方法解決關(guān)于的子群的問題:

在有限域Fp上，令正整數(shù)d ｜p －1 ，F(xiàn)?p的d 階子群μd＝{a1，a2，…ad} ，考慮方程＝0 要求xk∈D 且當(dāng)j ≠k 時(shí)，xj≠xk的解數(shù)問題.

對(duì)于一般性問題還是困難的，本文的主要研究結(jié)果是如下的:

定理1:在有限域Fp上，當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí)，我們有

2 準(zhǔn)備工作

為證明定理1，我們首先介紹一些定義:

定義2.1(見[8]):設(shè)A ＝(ajk)j，k＝1，2，…，n是一個(gè)n 階方陣，則定義A 的permanent 為

其中Sn是n 元對(duì)稱群，σ 取遍Sn中的n!個(gè)n 元置換.

定義2.2:設(shè)A 是一個(gè)n 階復(fù)方陣并且記AH是矩陣A 的共軛轉(zhuǎn)置，矩陣AAH的特征值的平方根稱為矩陣A的奇異值.

引理2.1:令A(yù) 是一個(gè)n 階復(fù)矩陣，令α1，α2，…αn是矩陣A 的奇異值.則有

證明:參見文獻(xiàn)[9 －12].

證明:由矩陣的permanent 定義，我們有

所以per(A) 中xm的系數(shù)cm是方程a1x1＋a2x2＋… ＋anxn＝m 并且要求xk∈D 以及當(dāng)j ≠k 時(shí)，的解的個(gè)數(shù).當(dāng)要求m ≡0(modp) 時(shí)，方程解數(shù)為

.則我們有

現(xiàn)在考慮1 ≤h≤p －1 的情況.

所以我們有:

3 定理的證明

上一節(jié)我們已經(jīng)得到了方程解數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí)，我們有－ 1 是模p 的非二次剩余(文獻(xiàn)[13])，易知此時(shí)，所以本質(zhì)上只需要計(jì)算per(V) 即可.下面我們根據(jù)引理2.1，利用矩陣V 的奇異值對(duì)per(V) 進(jìn)行估計(jì)，即要計(jì)算VVH的特征值.

顯然矩陣VVH是Hermite 矩陣，所以其特征值都是實(shí)數(shù)(見文獻(xiàn)[14])，接下來我們將要分為三步估計(jì)VVH的特征值:

當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí)，我們已經(jīng)知道Gauss 和(文獻(xiàn)[15])其中是Legendre 符號(hào).并且.所以有

當(dāng)p ≡3(mod4) 時(shí)，我們得到，當(dāng)1≤m≤p －1 時(shí)其中是Legendre 符號(hào).我們現(xiàn)在計(jì)算矩陣VVH第列的元素和:

所以矩陣VVH每列的元素之和均為從而是矩陣VVH的一個(gè)特征值.

第二步:證明矩陣VVH是半正定的:

所以矩陣VVH是半正定陣.

根據(jù)前兩步我們已經(jīng)知道矩陣VVH的特征值均為非負(fù)數(shù)，設(shè)矩陣VVH的特征值為

因在矩陣λE － VVH中每列的元素和均為，故有

當(dāng)j ≠k 時(shí)，

當(dāng)j ＝k 時(shí)，

綜上并結(jié)合引理2.1 可以得到per(V) 的一個(gè)估計(jì):

由于當(dāng)a，b ≥0 時(shí)，恒有an＋bn≤(a ＋b)n，所以由引理2.1 我們有:

綜上并結(jié)合引理2.3，我們得到定理1.