質(zhì)子衍射的束縛態(tài)理論研究

劉以良，滑亞文，孫翼飛

(西南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，四川 成都 610041)

當(dāng)今，建立在實(shí)物粒子波動(dòng)性基礎(chǔ)上的理論研究得到長(zhǎng)足的發(fā)展，電子衍射技術(shù)繼而成為研究材料內(nèi)部微觀結(jié)構(gòu)的重要手段[1－2].尤其是近年來(lái)，作為一種有效的分子結(jié)構(gòu)診斷和跟蹤手段，分子的超快電子衍射實(shí)驗(yàn)受到了廣泛的關(guān)注.例如，He 等通過(guò)在氦滴中增加分子濃度的方法加強(qiáng)衍射的效果，得到了CBr4分子的電子衍射圖樣[3].Stefanou(史蒂芬)等人的量子分子動(dòng)力學(xué)研究也發(fā)現(xiàn)X 射線和超快電子被光激發(fā)的乙烯衍射后具有相似的衍射信號(hào)[4].

然而，一方面，分子衍射圖樣分辨率較低，并且氣相分子的取向排列具有隨機(jī)性，衍射圖樣只能得到一維信息，并且距離相差不大的原子在電子衍射圖樣下難以分辨.盡管Hensley(漢斯萊)以及Yang 等甚至通過(guò)記錄排列的氣相分子的電子衍射圖樣構(gòu)建出CF3I 和N2等氣相分子的三維圖像[5－6]，但是鑒于單分子在強(qiáng)電子束輻射下極易遭到破壞，真正意義上的單分子電子衍射實(shí)驗(yàn)?zāi)壳斑€難以實(shí)現(xiàn).另一方面，研究人員通常以物質(zhì)波理論為基礎(chǔ)[7]，多關(guān)注衍射圖樣與分子結(jié)構(gòu)的關(guān)系，對(duì)于衍射條紋上明暗相間的特性的本質(zhì)卻少有關(guān)注.

毋庸置疑，當(dāng)今的量子力學(xué)理論基本都得到了實(shí)驗(yàn)的證實(shí)，人們對(duì)其應(yīng)用也沒(méi)有什么懷疑.然而，對(duì)于量子力學(xué)的正統(tǒng)理論仍然有人提出不同的意見(jiàn)，稱其為“來(lái)自北方的迷霧”[8].例如，關(guān)于量子糾纏、薛定諤貓態(tài)以及微觀粒子波動(dòng)性等還有很多令科學(xué)家困惑的問(wèn)題[9–11]，費(fèi)曼提出電子的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)是量子力學(xué)的核心問(wèn)題，近年來(lái)，科學(xué)家試圖測(cè)量電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中衍射電子的運(yùn)動(dòng)路徑.然而一旦產(chǎn)生測(cè)量行為，干涉條紋即消失.Copenhagen(哥本哈根)認(rèn)為是測(cè)量?jī)x器的干擾導(dǎo)致干涉條紋的消失. Rempe(倫珀)等利用一束冷原子對(duì)光駐波的衍射做了測(cè)量路徑的實(shí)驗(yàn)，他們用原子的內(nèi)部態(tài)標(biāo)記原子束的路徑，衍射條紋同樣消失[12].Rempe(倫珀)和Knight(克耐特)認(rèn)為應(yīng)該用粒子間的量子糾纏來(lái)解釋干涉條紋的消失[12－13].

本研究中，我們提出質(zhì)子通過(guò)極窄的狹縫時(shí)處于束縛態(tài)，在縱向分布必然是量子化的，我們稱之為瞄準(zhǔn)距離的量子化.因此，相應(yīng)的散射方向也應(yīng)該是量子化的，即:屏幕上勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)明暗相間的條紋.鑒于以上假設(shè)，我們以單個(gè)質(zhì)子通過(guò)兩個(gè)原子核間的模型為研究對(duì)象，通過(guò)量子力學(xué)方法計(jì)算量子化的瞄準(zhǔn)距離，結(jié)合經(jīng)典力學(xué)方法研究質(zhì)子衍射運(yùn)動(dòng)軌跡，并與夫瑯禾費(fèi)單縫衍射公式bsin(θ) ＝kλ 進(jìn)行比較.

1 計(jì)算方法

我們以質(zhì)子被兩個(gè)相距b ＝2.88 ×10－8cm ，原子序數(shù)Z ＝79 的Au 原子核衍射為模型，以兩個(gè)原子核的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以兩個(gè)原子核的連線為y 軸.為了得到衍射過(guò)程中單個(gè)質(zhì)子經(jīng)過(guò)兩個(gè)原子核之間時(shí)量子化的瞄準(zhǔn)距離，我們假設(shè)質(zhì)子束縛于兩個(gè)原子核之間的連線上，根據(jù)定態(tài)薛定諤方程可以求解概率密度的極大值.

勢(shì)能方面，考慮單個(gè)質(zhì)子與兩個(gè)原子核的相互作用勢(shì)能函數(shù)，則質(zhì)子受到的庫(kù)侖勢(shì)能為:

其對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)如圖1 所示:

圖1 質(zhì)子在兩個(gè)原子核間的連線上運(yùn)動(dòng)時(shí)的勢(shì)能Fig. 1 Potential energy of the proton between the nuclei.

定態(tài)薛定諤方程為:

這是一個(gè)變系數(shù)二階常微分方程，為了得到這個(gè)方程的近似解，我們求解原點(diǎn)附近方程的解，即:

則(2)式變?yōu)?

則:

則:

上式是一維線性諧振子的本征值方程，其歸一化的本征函數(shù)為:

其對(duì)應(yīng)的基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)以及第二激發(fā)態(tài)波函數(shù)分別為:

對(duì)應(yīng)的概率密度為:

基態(tài)以及第一和第二激發(fā)態(tài)的概率密度如圖2 所示:

圖2 基態(tài)以及第一和第二激發(fā)的概率密度Fig. 2 Probability densities of the ground state，first excited state and second excited state

根據(jù)下式:

基態(tài)、第一和第二激發(fā)態(tài)的概率密度對(duì)應(yīng)的極大值的位置:

此外，質(zhì)子在xoy 平面內(nèi)在不同位置的庫(kù)侖勢(shì)為:

則衍射過(guò)程中質(zhì)子在x 方向和y 方向的受力分別為:

2 結(jié)果與討論

分別選取y1＝±4.06 ×10－10cm 和y2＝±6.42 ×10－10cm 作為量子化的瞄準(zhǔn)距離，以經(jīng)典力學(xué)方法為基礎(chǔ)，參考分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法，計(jì)算單個(gè)質(zhì)子沿x 軸方向入射后在力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡.其中，動(dòng)能方面，考慮分別用50eV，100eV，200eV，300eV，400eV，500eV 的電壓加速質(zhì)子，動(dòng)力學(xué)模擬的時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為t ＝1.0 ×10－24s.

表1 質(zhì)子單縫衍射一級(jí)明紋衍射角的正弦值Table 1 Sine of angle for the first diffraction maximum in the single－slit diffraction of protons

表2 質(zhì)子單縫衍射二級(jí)明紋衍射角的正弦值Table 2 Sine of angle for the second diffraction maximum in the single－slit diffraction of protons

3 結(jié)論

電子的雙縫衍射實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為是量子力學(xué)的核心問(wèn)題，德布羅意假設(shè)認(rèn)為微觀粒子具有波粒二象性，結(jié)合惠更斯－菲涅爾原理，物質(zhì)波理論可以解釋微觀粒子的衍射現(xiàn)象.本文中我們提出可以利用量子力學(xué)束縛態(tài)理論解釋微觀粒子的衍射現(xiàn)象.根據(jù)束縛態(tài)理論，質(zhì)子經(jīng)過(guò)雙原子核之間時(shí)，其波函數(shù)的空間分布必然是量子化的，我們稱之為瞄準(zhǔn)距離的量子化.結(jié)合經(jīng)典力學(xué)理論，質(zhì)子衍射圖樣勢(shì)必會(huì)出現(xiàn)明暗相間的條紋.

研究發(fā)現(xiàn)通過(guò)量子力學(xué)束縛態(tài)理論，粒子性同樣可以解釋微觀粒子的衍射現(xiàn)象，并且與微觀粒子的波動(dòng)性解釋吻合的較好.盡管波動(dòng)性和粒子性仍然存在20%左右的相對(duì)誤差，我們認(rèn)為這是由于，一方面，在計(jì)算過(guò)程中我們對(duì)勢(shì)函數(shù)進(jìn)行了原點(diǎn)附近的近似求解.另一方面，質(zhì)子從兩Au 原子之間穿過(guò)時(shí)，只考慮了質(zhì)子與帶正電的原子核之間的作用，沒(méi)有考慮質(zhì)子與原子核外圍電子之間的相互作用.

本研究為波動(dòng)性和粒子性提供了一個(gè)樞紐，為以后更深層次地研究波粒二向性提供了一種思路.