基于空間差分平滑的非相關與相干信源數估計*

陳明建，龍國慶，黃中瑞

（國防科技大學電子對抗學院，合肥 230037）

0 引言

在陣列信號處理中窄帶信號的波達方向DOA估計已在雷達、聲納、無線通信、無源定位等領域有著重要應用［1-2］。傳統(tǒng)基于波束形成、相位干涉儀等算法測角分辨率受瑞利限的限制，這使得傳統(tǒng)的波達方向估計方法難以獲得高分辨測向。為了獲得超高分辨率測向，空間譜估計實現應運而生，特別是基于子空間的多信號分類法（MUSIC）［3-4］、旋轉子空間不變法（ESPRIT）［5］以及子空間擬合法［6］。然而這些超高分辨的DOA估計算法應用的前提是信源數準確已知，若假定信源數目和真實的信源數不等，此時子空間類DOA估計將出現較大誤差，算法性能將會降低甚至完全失效。因此，信源數目準確估計是基于子空間類譜估計算法需要解決的關鍵問題。

典型的信源數估計方法包括基于AIC準則［7］和MDL準則［8-9］的信息論方法、基于特征值一步預測法［10］、貝葉斯預測密度法［11］以及 Bootstrap 法［12］等。這些方法均假定信源是不相關或者獨立的，若空間信源存在一定的相關性或者完全相干時，此時數據協方差矩陣將會出現缺秩，造成信號子空間的向量泄露到噪聲子空間，導致算法性能下降甚至失效。為了解決相干信源數估計問題，學者們提出了很多算法，一般可分為兩大類：一類是空間平滑類算法，主要包括前向空間平滑算法［13］、前后向空間平滑算法［14-16］以及空間差分平滑算法［17-20］?？臻g平滑類算法主要思想是將等距線陣分成若干個相互重疊的子陣，通過對子陣的數據協方差矩陣平滑實現去相干的目的。其中前向空間平滑、前后向空間平滑算法可以分別實現個相干信源估計（M為均勻線陣的陣元數，符號表示向下取整）?？臻g平滑算法是以犧牲有效的陣元來恢復相干信號協方差矩陣的秩，而且無法區(qū)分相干和非相干源數目，因此，估計最大信源數不超過陣元數目?？臻g差分平滑算法將陣列協方差矩陣分為Toeplize部分和非Toeplize部分，利用差分運算得只含相干信源的協方差矩陣，提高了算法對信源的過載能力，但文中沒有討論非相關信源數估計問題。另一類是矩陣重構法，包括Toeplize矩陣重構算法［21-22］、ESPRIT-Like算法等［23-24］，均是利用矩陣重構方式解相干。但該類方法需要犧牲一半的陣元恢復數據協方差矩陣的秩，估計信源數有限。

針對非相關信源與相干信源共存時信源數估計問題，提出了一種新的基于空間差分平滑的信源數估計算法。該方法首先利用SORTE法估計相互獨立信源個數，并結合非相關信源導向矢量、相干信源陣列導向矢量矩陣分布與噪聲子空間正交特性的差異，根據DOA估計結果得到非相關信源數估計，然后通過空間差分平滑剔除非相關信源信息，得到只含有相干信源信息的空間平滑差分矩陣，最后利用SORTE法實現相干信源數估計。

1 信號模型

假設K個遠場窄帶目標信號入射到M元均勻線陣上，陣元間距為半波長。不失一般性，假定前Ku個信源是非相關的，以角度θk入射，信號波形為sk（t），功率為，其他的信源為D組Kc個相干信源，且相干信源組彼此相互統(tǒng)計獨立，信號波形為，功率為。第d組相干信源包含了Kd個多徑信號，即滿足。假定獨立信號組彼此相互統(tǒng)計獨立，則陣列接收信號可表示為

其中，a（θ）是均勻線陣陣列導向矢量，可表示為

2 信源數估計

2.1 非相關信源數估計

SORTE信源估計法主要思想是利用特征值二階統(tǒng)計量方差信息構造信源數估計判決函數。若定義，則

定義特征值的方差為δk

定義SORTE函數為［9］

由式（7）可知，SORTE函數滿足如下關系

則獨立信號（非相關信號與相干信號組之和）信源估計的判決函數為

由于Us的列向量張成信號子空間，即非相關信源與相干信源導數矢量矩陣列向量張成同一空間，由于信號子空間正交于Un的列向量張成噪聲子空間，因此

由式（11）可知，相干信源的導向矢量矩陣 Ac，iρi為范德蒙矩陣列向量的線性組合，因此，無法等價為某個方向對應的導向矢量a（θ），即利用DOA估計結果可實現非相關信源數估計。

2.2 相關信源數估計

2.2.1 傳統(tǒng)的空間平滑算法

1）前后向空間平滑算法。空間平滑算法利用均勻線陣的平移不變性，將陣列劃分為相互重疊的p個子陣，其中每個子陣包含有相同的陣元數M-p+1。前向空間平滑算法是分別計算p個子陣的協方差矩陣，再求算術平均，可得等效M-p+1階子陣列協方差矩陣為

前后向空間平滑算法是同時對陣列前后向進行平滑得到陣列協方差矩陣為

通過FSS、FBSS空間平滑后，陣列數據協方差恢復為滿秩，此時可以利用信息論的AIC、MDL等方法即可實現相干信源數估計。

2）空間差分平滑算法?？臻g差分矩陣定義為

考慮非相關信號協方差矩陣RN為Toeplitz矩陣，且滿足，則將式（3）代入到式（14）可得

由式（15）可知，空間差分矩陣中不含非相關信源信息，然后利用式（12）對式（15）進行前向平滑可得

由式（16）可知，空間差分平滑算法本質上是前后向平滑差分算法。

2.2.2 本文算法

假定將均勻線陣劃分為相互重疊的p個子陣，則第k個子陣的陣列數據協方差矩陣為

定義：對于M×M維矩陣R，空間差分平滑矩陣為

若非相關信源和相干信源同時入射ULA陣列，則Rsd不含有非相關信源信息。

利用Rsd特征值的絕對值的方差信息，通過SORTE法實現相干信源數估計。

綜上所述，本文算法基本步驟可以歸納如下：

2）利用式（11）非相關信源DOA估計關系式，從而得到非相關信源數和相干信源組數估計；

3）利用式（18）計算空間差分平滑矩陣Rsd；

4）對Rsd特征分解得到特征值的絕對值，利用SORTE算法估計相干信號信源數。

2.3 陣元需求分析

假定有K個窄帶信號以平面波入射ULA，其中非相關信源數為Ku，D組相干信源總數為Kc，其中相干信源組中最多含有信源數為Kmax。若要成功分辨所有入射信號，對于FSS、FBSS、SDS算法需要陣元數分別為、，本文算法需要陣元數為，由以上分析可知，FSS算法對陣元需求最高，陣列自由度損失最大，FBSS算法陣列需求小于FSS算法。本文算法所需陣元數最少，SDS算法性能次之。

3 仿真實驗

實驗1一組相干信源時成功檢測概率與SNR、快拍數關系。考慮均勻線陣陣元數M=11，陣元間距為半波長。其中3個非相關信號和1組4個相干窄帶信號同時入射到陣列上，非相關信號DOA分別為［-21°3°35°］，相干信號 DOA 分別為［-41°-19°5°38°］，假定入射信號均為等功率信號，其功率為，陣元噪聲為理想的高斯白噪聲。信噪比定義為。采樣快拍數為100，Monte Carlo實驗次數為100。定義成功檢測概率為正確估計信源次數與實驗次數之比。圖1是采樣快拍數為100時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖2是SNR為10 dB時成功檢測概率與快拍數關系曲線。

圖1 單組相干信源時成功檢測概率與SNR關系

圖2 單組相干信源時成功檢測概率與快拍數關系

由前文分析可知，當Ku=2，Kc=4時，此時FSS、FBSS、SDS以及本文方法所需最少陣元數分別為10、8、7、6。理論分析可知當 M=11時，4 種算法均能實現信源數估計，這與圖1、圖2實驗結果相吻合。其中FBSS算法性能略優(yōu)于FSS算法，SDS算法和本文算法均采用空間差分平滑技術消除了噪聲，相當于提高了SNR，因此，性能優(yōu)于傳統(tǒng)的空間平滑算法，且本文算法性能更好。

實驗2信源角度相近時成功檢測概率與SNR、快拍數關系。若假定非相關信號DOA分別為［-12°-3°45°］，相干信號 DOA 分別為［-11°-2°30°44°］，其他仿真參數不變。圖1是采樣快拍數為100時成功檢測概率與SNR關系曲線。圖2是SNR為0 dB時成功檢測概率與快拍數關系曲線。

由下頁圖3、圖4可以看出，非相干信源均與相干信源角度間距很近，此時導向矢量矩陣列向量存在相關性，傳統(tǒng)FSS、FBSS算法通過空間平滑后數據協方差矩陣仍然可能是缺秩，因此，無法正確分辨角度相近的信源，而本文算法和SDS通過空間差分平滑，將非相關信源與相干信源分開分辨，因此，分辨性能不受角度間隔的影響。

圖3 信源角度相近時成功檢測概率與SNR關系

圖4 信源角度相近時成功檢測概率與快拍數關系

實驗3多組相干信源時成功檢測概率與SNR關系。假定M=8，共有6個遠場窄帶信號，其中2個非相關信號DOA分別為［-20°10°］，2組4個相干信號DOA分別為［-40°0°20°30°］。其他仿真參數同實驗1。圖5是快拍數為200時成功檢測概率與SNR關系曲線；圖6是SNR為5 dB時成功檢測概率與快拍數關系曲線。

圖5 兩組相干信源時成功檢測概率與SNR關系

圖6 兩組相干信源時成功檢測概率與快拍數關系

圖7 信源數超過陣元數時成功檢測概率與SNR關系

圖8 不同子陣數時成功檢測概率與SNR關系

由圖5、圖6可知，當SNR大于15 dB時4種算法均能實現信源數一致估計；在SNR小于5 dB時，由于SDS算法采用空間差分消除了高斯白噪聲，因此，SDS算法性能優(yōu)于FBSS算法，但SNR大于5 dB時，其SNR的優(yōu)勢不再明顯，此時FBSS性能優(yōu)于SDS。FSS算法由于有一半的陣列孔徑損失，因此，其性能最差，而本文算法性能最優(yōu)。

實驗4信源數超過陣元數時成功檢測概率與SNR關系。假定M=8，共有10個遠場窄帶信號，其中4個非相關信號DOA分別為［-40°-20°-10°0°］，3組 6個相干信號 DOA 分別為［-30°-10°0°20°40° 60°］。其他仿真參數同實驗3。圖7是信源數超過陣元數時成功檢測概率與SNR關系曲線。

當 M=8，K=10 時 FSS、FBSS、SDS 以及本文算法可檢測信號個數分別為 8、9、8、7、10。因此，理論上FSS、FBSS、SDS算法均失效，只有本文算法能夠有效檢測10個入射信號，圖7的仿真結果與理論分析相一致。

實驗5子陣數對成功檢測概率的影響。假定M=8，2組4個遠場窄帶相干信號DOA分別為［-30°-10°15°20°］。其他仿真參數同實驗 1。圖8是不同子陣數時成功檢測概率與SNR關系曲線。

由理論分析可知：當只有相干信號入射時，由于對數據協方差矩陣進行了空間差分平滑，對消了高斯白噪聲，因此，檢測性能基本不受噪聲的影響，這與圖8實驗結果相吻合；當子陣數p在滿足不等式時，空間差分平滑后的協方差矩陣恢復為滿秩矩陣，即可實現對相干信源數估計。不同的子陣數p對本文算法的檢測性能有一定影響，若p越大算法信源檢測性能越優(yōu)。

4 結論

針對非相關和相干信源共存時信源數估計問題，本文提出了一種新的空間差分平滑算法。首先利用SORTE法估計得到非相關信源和相干信源組數的聯合估計，然后通過空間差分平滑實現相干信源數估計。相比其他類算法，本文算法具有如下優(yōu)點：1）將非相關信源和相干信源分開檢測，提高了算法對信源檢測能力，當陣元數超過6時，可檢測信源數可以超過陣元數；2）可以分辨到達角相近的信源；3）空間差分平滑剔除了高斯白噪聲，且適用于更廣泛的Toeplitz類色噪聲，改善了算法在低信噪比時信源數檢測性能。