幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的五個“著眼點”

許錦艷

摘 要：數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程的個人感受、體會和領(lǐng)悟的綜合，它不能通過同伴傳遞或集體訓(xùn)練獲得。教師要立足于學(xué)生終身發(fā)展的需要，在教學(xué)中通過觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，從而完成由簡單的傳授知識和訓(xùn)練技能到幫助學(xué)生形成自身智慧的轉(zhuǎn)變。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗 積累 策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011版）》的課程目標中明確提出“四基”要求，即使學(xué)生“獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗”。[1]數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗與數(shù)學(xué)思想方法因此走入了更多的數(shù)學(xué)教育者的視線，它與之前的“兩基”——基本知識和基本技能并重，成為了數(shù)學(xué)教育教學(xué)追求的目標之一。然而，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗又不同于基本知識技能，知識可以被傳遞，技能可以被練習，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗不能被傳遞，不能被練習，它是學(xué)習者個人的親身經(jīng)歷和感悟的累積；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗也不同于數(shù)學(xué)能力，能力可以被訓(xùn)練、被細化，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗則更為綜合，沒有直接載體可以檢測經(jīng)驗強弱或有無。可見，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是不能通過傳遞或訓(xùn)練而獲得的，它是學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程的個人感受、體會和領(lǐng)悟的綜合。學(xué)生只有經(jīng)歷觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數(shù)學(xué)活動過程，才能有效地積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。本文結(jié)合實際教學(xué)中的案例，就如何有效幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗談?wù)剮c思考和做法。

一、在觀察中，積累學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

歐拉（L.Euler）指出：“今天人們所知道的數(shù)的性質(zhì)，幾乎都是由觀察所發(fā)現(xiàn)的……只有觀察才使我們知道這些性質(zhì)。”波利亞（G.Polya）也提到：“一個名副其實的科學(xué)家應(yīng)致力于從已知的經(jīng)驗中引出最正確的信念來，并為了建立關(guān)于某個問題的正確信念而積累最正確的經(jīng)驗。科學(xué)家處理經(jīng)驗的方法，通常稱作歸納法……歸納法常常從觀察開始，一個生物學(xué)家會觀察鳥類的生活，一個晶體學(xué)家會觀察晶體的形狀，一個對數(shù)論感興趣的數(shù)學(xué)家會觀察整數(shù)1 2 3 4 5……的性質(zhì)?！盵2]觀察是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗獲得的初始階段。人的認知過程是經(jīng)歷從感性上升到理性、從具體到抽象的過程，觀察是認知的第一步。

日本數(shù)學(xué)家小平邦彥說，理解數(shù)學(xué)就要觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象。數(shù)學(xué)中的觀察不僅僅限于直接觀察，還應(yīng)包括對頭腦中已有的認知進行重組、再加工的過程。因此，數(shù)學(xué)的觀察有兩個維度：一是“異中求同”，即觀察到事物的共性、特性，觀察共性是為了發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，進行歸類，觀察特性是為了區(qū)分事物，進行分類；二是“同中求異”，即觀察到事物間的關(guān)系。在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)觀察的經(jīng)驗，除了要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察事物的共性與特性，還要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會觀察事物間的關(guān)系，比如數(shù)與數(shù)間的關(guān)系、圖形與圖形間的關(guān)系。這是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的第一步，這種經(jīng)驗的獲得是實現(xiàn)數(shù)學(xué)思考的前提。

以人教版三上《平行四邊形和梯形》為例，教材意圖學(xué)生在學(xué)習平行與垂直的基礎(chǔ)上，通過觀察、比較，抽象概括出圖形各自定義的目的?；谶@樣的認識，這節(jié)課設(shè)計了4次觀察活動：第一次觀察，“平行四邊形和梯形最大的區(qū)別是什么？”學(xué)生在最直觀的觀察活動中揭示了平行四邊形和梯形特征的關(guān)鍵；第二次觀察，“哪些四邊形是軸對稱圖形，怎樣的平行四邊形和梯形是軸對稱圖形？”這里的觀察對學(xué)生進一步認識平行四邊形和梯形的特征起到螺旋助推的作用；第三次觀察，“分別用4根4厘米的小棒和2根6厘米2根4厘米的小棒，圍成的四邊形的形狀為什么是千姿百態(tài)的？”學(xué)生多角度的觀察實現(xiàn)了對知識的多角度的把握，深化了對圖形特征的掌握。第四次觀察，“任意的四邊形改變什么條件就能變成梯形？梯形改變什么條件就能成為平行四邊形？平行四邊形又如何轉(zhuǎn)變?yōu)殚L方形、正方形？”把圖形放在大背景下讓學(xué)生觀察，條件的改變使學(xué)生看清了圖形與圖形之間的關(guān)聯(lián)。更有利于學(xué)生從整體上把握知識的脈絡(luò)，形成知識網(wǎng)絡(luò)。在經(jīng)歷了以上4次由淺入深的觀察過程，學(xué)生不僅獲得了有形的和無形的知識，還體驗到了多層次、多角度的觀察經(jīng)驗和方法，從而享受到了物質(zhì)和精神上雙豐收的愉悅。

二、在操作中，豐盈學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

蘇霍姆林斯基曾經(jīng)說過，“在手和腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系起著兩個方面的作用，一個是手幫助腦得到發(fā)展，幫助它們更加的明智；另一個是腦幫助手得到發(fā)展，使它變成聰明的創(chuàng)造的工具，變成一個鏡子和思維工具?！边@種說法主要闡明：動手操作是思維的起點，是智慧的起源?！爸腔圩詣幼靼l(fā)端”， 數(shù)一數(shù)、摸一摸、畫一畫、量一量、剪一剪、拼一拼等操作活動，調(diào)動了學(xué)生的多種感官參與。學(xué)生在操作過程中可以對學(xué)習材料獲得最直接的感受和體驗，當這種感覺和體驗累積到一定的水平時，便形成了學(xué)生自身獨有的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。這種操作的活動經(jīng)驗，一般體現(xiàn)的是直接獲取的經(jīng)驗，它的價值不是問題的解決，而是對學(xué)習材料的感性認知，它是構(gòu)建個人理解不可或缺的重要一環(huán)。

以人教版四下《三角形的認識》為例，這節(jié)課的重點是認識三角形的高和掌握畫高的技能。課本對三角形的高的定義是發(fā)生式的定義，“從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高?！笨梢?，對高的定義的理解一定要通過操作。而學(xué)生已具備了平行四邊形的畫高的經(jīng)驗。基于以上兩點的認識，在教學(xué)方式上，把這節(jié)課定位為側(cè)重技能的操作，又不單純傳授畫高技能，在動態(tài)操作中感悟三角形變化，高也隨著變化。于是，創(chuàng)設(shè)了這樣的操作活動：①畫一個任意的三角形，畫出它一條邊上的高，學(xué)生交流互查，指定學(xué)生板演畫高。學(xué)生會在實際畫高中遇到對點、對邊的困難。教師在這里特地創(chuàng)設(shè)的操作活動及等待，使全班同學(xué)都在活動中領(lǐng)悟了畫高的要領(lǐng)。②將學(xué)生的作品進行旋轉(zhuǎn)操作。學(xué)生通過操作就認識到了三角形的高與位置無關(guān)，抽象出了三角形高的本質(zhì)，同時認識到三角形有三條高。③畫一組等底、等高的四個三角形的高。學(xué)生畫高中進行了動態(tài)想象。把直角三角形巧妙地設(shè)計在最后一個，學(xué)生在操作與想象中就自然地認識了直角三角形直角邊上的高。④三角形頂點的連續(xù)動態(tài)變化（上下左右），高又是怎樣變化的。使學(xué)生認識到三角形高與頂點、底的關(guān)系，認識到鈍角三角形的高。⑤通過一條高，想象出三角形、平行四邊形的活動，溝通畫三角形的高與平行四邊形的高以及畫點到直線的垂直線段之間的聯(lián)系。以上的這些操作活動，實實在在地把畫高的技能落到實處，還培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。

三、在探究中，內(nèi)化數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

蘇霍姆林斯基還說過：“在人的心靈最深處，通常都有一個根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、探索者和研究者?！盵3]一般地，在小學(xué)生的精神世界中，這種需要是尤其強烈的。學(xué)生在學(xué)習數(shù)學(xué)的過程中，最重要的是親身體驗整個探究過程，這是一個鍛煉思維、增長能力的過程，也是一個知識重現(xiàn)和再生的過程。其中，既有外顯的行為活動，也有內(nèi)在的思維活動。從學(xué)生的學(xué)習結(jié)果看是獲得了經(jīng)驗，從過程上看則是一個積極的經(jīng)驗內(nèi)化的過程。這就要求教師為學(xué)生提供足夠的時間和空間，讓他們充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究過程，體驗數(shù)學(xué)，感悟數(shù)學(xué)，以達到內(nèi)化數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的目的。

如人教版五年級下冊《軸對稱》的教學(xué)，設(shè)計了這樣的探究過程：探究（1），“畫龍點睛”的游戲，把獨眼龍的眼睛點上去，并想一想為什么這樣點，從而得出了龍的兩只眼睛應(yīng)該在水平線上，并且到對稱軸的距離相等這個特點。學(xué)生初步感知了軸對稱圖形等距性的特征；探究（2），畫出“松樹”圖案的對稱軸，有什么辦法檢驗所畫的是對稱軸。通過給松樹找對稱軸、對應(yīng)點，進一步完善、內(nèi)化了對稱圖形的基本性質(zhì)；探究（3），選擇一個 “小草”圖案與另一個“小草”圖案成軸對稱，移動“小草”圖案，它的對稱圖形怎么移。促使學(xué)生更深層次地理解對稱圖形的基本性質(zhì)，深化了數(shù)學(xué)的感悟。

四、在思考中，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

史中寧教授認為，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的內(nèi)涵是“感悟了歸納推理和演繹推理過程中積淀形成的數(shù)學(xué)思維模式?！盵4]正如數(shù)學(xué)觀察要能“異中求同”和“同中求異”，數(shù)學(xué)思考也要“求同”和“求異”，也就是說，需要經(jīng)歷和體驗“歸納推理”和“演繹推理”的過程。史教授還指出，“就中小學(xué)生而言，這種數(shù)學(xué)思維模式主要表現(xiàn)為從特例入手、嘗試性探索和歸納猜想一般規(guī)律或結(jié)論。”[4]這種嘗試“猜想、歸納、表達、驗證或證明”的數(shù)學(xué)思維模式，是小學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。在思維活動過程中，“學(xué)生體驗、感受、體會”的核心是經(jīng)歷完整數(shù)學(xué)活動過程后，所感悟到的“猜想——檢驗猜想——修正猜想”的歸納推理過程，以及證明猜想的演繹推理過程，在經(jīng)歷和感悟中形成一定的數(shù)學(xué)思維模式，并提升一定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

以《分數(shù)的基本性質(zhì)》的教學(xué)為例。學(xué)生的起點是，已經(jīng)掌握了除法與分數(shù)的關(guān)系以及商不變的規(guī)律。這節(jié)課可以采用“遷移猜想——驗證猜想——修正猜想”的方法教學(xué)。第一步，遷移猜想。學(xué)生根據(jù)商不變的性質(zhì)寫出除法算式，把算式的商改寫成分數(shù)的形式，根據(jù)分數(shù)與除法之間的關(guān)系和商不變的性質(zhì)，猜想分數(shù)的基本性質(zhì)。第二步，驗證猜想，歸納新知。學(xué)生先獨立思考驗證1/2=2/4，交流得到畫圖形（或折紙）、畫線段圖、轉(zhuǎn)化除法計算、商不變的性質(zhì)等方法；學(xué)生再次用以上方法驗證自己所想的兩個分數(shù)相等；最后歸納得出了分數(shù)的基本性質(zhì)。第三步，修正猜想，完善規(guī)律?？磿懻摾斫鉃槭裁础巴瑫r乘或除以一個數(shù)，0要除外”。教師基于學(xué)生的學(xué)習起點，利用知識的遷移類推，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納推理的過程。這樣的教學(xué)，關(guān)注了學(xué)生的已有經(jīng)驗，關(guān)注了數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，也關(guān)注了學(xué)生的學(xué)習后勁。

五、在運用中，完善學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

朱德全教授認為，“知識經(jīng)驗是問題解決過程中，通過非認知的激活作用以及由此促成的認知內(nèi)化作用在強化和鞏固后生成的應(yīng)用意識……認知內(nèi)化作用通過多次鞏固和強化后便生成應(yīng)用意識，應(yīng)用意識的生成便是知識經(jīng)驗形成的標志。”[5]可見，活動經(jīng)驗反映的是一種過程性。每一個階段的學(xué)習都是基于學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，是對已有知識和經(jīng)驗的鞏固、強化、深化、完善和發(fā)展。只有當學(xué)生的經(jīng)驗經(jīng)過清晰化、條理化、系統(tǒng)化的提升，才能形成對以后類似情境與活動具有指導(dǎo)作用的數(shù)學(xué)能力。

例如，六年級下冊《整理與復(fù)習》中的《空間與圖形》的例4之后做一做：“怎樣量出一個馬鈴薯的體積？”解決這個問題需要學(xué)生運用等積變形轉(zhuǎn)化的策略。如果學(xué)生已經(jīng)具備了這種應(yīng)用意識，便能順利作答，反之，則說明尚需引導(dǎo)。教師在給予了學(xué)生激活已有經(jīng)驗的等待時間后，可以對部分學(xué)生進行提示：剛才我們回憶了圓柱體、圓錐體的體積學(xué)習，在之前學(xué)習中用到了什么方法？“一語驚醒夢中人”，尚無頭緒的學(xué)生頭腦中的等積變形的轉(zhuǎn)化策略就被瞬間激活。此時，學(xué)生思緒飛揚，不斷涌現(xiàn)出新的設(shè)想、新的見解，很快想出利用轉(zhuǎn)化的策略求出土豆體積的方法。在運用數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗解決問題的過程中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從模糊到清晰、從混亂到系統(tǒng)的這樣質(zhì)的飛躍，學(xué)生真正成為了一個探索者和發(fā)現(xiàn)者。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)活動過程和結(jié)果的統(tǒng)一，強調(diào)學(xué)生個體的親身經(jīng)歷和感悟。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累是一個循序漸進的過程，它貫穿于學(xué)生學(xué)習的過去、現(xiàn)在和未來，影響著學(xué)生學(xué)習的過程和結(jié)果。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗始終是綜合性的，是彌補數(shù)學(xué)基本知識、基本技能的不足，是教育發(fā)展的必然。史寧中教授認為，“所有學(xué)過的東西遺忘后留下的是什么？數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是重要的一部分?！币虼耍覀円⒆阌趯W(xué)生終身發(fā)展的需要，在教學(xué)中通過觀察、操作、探究、思考、運用等有意義的數(shù)學(xué)活動，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，從而完成由單純的傳授知識和訓(xùn)練技能到幫助學(xué)生形成自身智慧的轉(zhuǎn)變。

參考文獻

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