自主招生真題賞析（三）
——考查熱學(xué)部分

■浙江省蒼南中學(xué) 孫丁共

近幾年自主招生試題中對熱學(xué)部分的考查涉及的主干知識點(diǎn)有：分子動理論、理想氣體的狀態(tài)方程、內(nèi)能和熱力學(xué)第一定律、熱力學(xué)第二定律、道爾頓分壓定律、卡諾循環(huán)等。下面根據(jù)近幾年的自主招生真題特點(diǎn)，選取考查頻率較高的六個方面來賞析，希望對準(zhǔn)備參加自主招生考試的同學(xué)有所幫助。

一、以理想氣體為研究對象，考查氣體分子大小

例1（華約）在壓強(qiáng)不太大，溫度不太低的情況下，氣體分子本身的大小比分子之間的距離小很多，因而在理想氣體模型中可以忽略分子的大小。已知液氮的密度ρ=808.3kg/m3，氮?dú)獾哪栙|(zhì)量Mmol=28×10-3kg/mol。假設(shè)液氮可以視為是由立方體分子堆積而成的，請你根據(jù)所給數(shù)據(jù)對標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的氮?dú)膺M(jìn)行估算，說明上述結(jié)論的合理性。

解析：標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體分子數(shù)密度n=，氮?dú)夥肿拥拈g距，而液氮中單位體積的氮分子數(shù)，據(jù)此可以估算出液氮分子的直徑。d=8d′，可見氣體分子之間的距離比分子直徑大很多，即氣體分子本身的大小比分子之間的距離小很多，題中的結(jié)論是合理的。

點(diǎn)評：標(biāo)準(zhǔn)狀況下，相鄰分子間的平均距離D與分子直徑d的比值，因此在處理氣體問題時，可以把氣體分子視為沒有大小的質(zhì)點(diǎn)；同時可以認(rèn)為氣體分子除相互碰撞或者與器壁碰撞之外，分子力忽略不計，分子在空間內(nèi)自由移動，也沒有分子勢能。

二、以水銀柱為研究對象，考查理想氣體的狀態(tài)方程

例2（上海交大自招）如圖1所示，U形管豎直固定在靜止的平板車上，U形管豎直部分和水平部分的長度均為l，管內(nèi)充有水銀，兩管內(nèi)的水銀面距離管口均為。若將U形管管口密封，并讓U形管與平板車一起做勻加速運(yùn)動，運(yùn)動過程中U形管內(nèi)水銀面的高度差為。求：

圖1

（1）平板車的加速度。

（2）U形管底部中央位置的壓強(qiáng)。（設(shè)水銀的質(zhì)量密度為ρ，大氣壓強(qiáng)恰好為p0=ρgl，空氣溫度不變）

解析：當(dāng)平板車加速向右運(yùn)動時，設(shè)左邊氣體壓強(qiáng)為p1，右邊氣體壓強(qiáng)為p2，U形管橫截面積為S。

點(diǎn)評：水銀柱模型往往會結(jié)合物體平衡態(tài)或者加速運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行研究，在解決這類問題時往往存在一個假設(shè)，即氣體的物理狀態(tài)的變化是十分緩慢的，這就使得氣體有足夠的時間和外界進(jìn)行熱交換，以保持封閉氣體的溫度不變。

三、以汽缸為研究對象，考查氣體的臨界問題

例3（北大保送考試）如圖2所示，汽缸上部足夠長，質(zhì)量不計的輕活塞A、B的截面積分別為2S和S，汽缸下部長為2l。A、B活塞間以長為的無彈性輕質(zhì)細(xì)繩相連，A活塞上部有壓強(qiáng)為p0的大氣。開始時封閉氣室M、N中充有同種密度的同種氣體，M的體積是N的2倍，N中氣體恰好為1mol，且小活塞B位于距底部l處，氣體溫度為T0?，F(xiàn)同時緩慢升高兩部分封閉氣體的溫度至2T0，求平衡后活塞A到底部的距離。

圖2

解析：初始時刻VM=2VN，而VN=lS，VM=lS+x·2S，解得。這表明開始時兩活塞的距離為，即開始時細(xì)繩處于松弛狀態(tài)，且pM=pN=p0?，F(xiàn)同時緩慢升高兩部分封閉氣體的溫度，兩部分氣體都開始等壓膨脹。設(shè)小活塞B能夠上移的距離為l，細(xì)繩仍然未張緊，此時對應(yīng)的溫度T′滿足，解得T′=2T。對M中氣體0有，解得。這表明在這之前細(xì)繩已經(jīng)張緊?，F(xiàn)設(shè)想升溫至2T0時刻小活塞B上移的距離為x，且x＜l（M，N兩部分氣體未混合），則對N氣體有pN（l+x）S=nNR·2T0=2RT0，對M氣體有2T0=4RT0，對A、B兩活塞有p0·2S+pM·S=pN·S+pM·2S，對N氣體初態(tài)進(jìn)行分析有p0lS=nNRT0=RT0，解得x=1.186l＞l。這表明升溫至2T0時，M，N兩部分氣體已混合。故p0[2lS+（x-2l）·2S]=（nN+nM）R·2T0=6RT0，且p0lS=nNRT0=RT0，解得x=4l。

點(diǎn)評：解決理想氣體的變化過程的關(guān)鍵在于抓住三個特殊的狀態(tài)，即初態(tài)、末態(tài)和臨界態(tài)。本題只有通過對臨界態(tài)的分析確定細(xì)繩的拉伸狀態(tài)和小活塞B所處的位置，才能得到正確的結(jié)果。

四、以汽缸為研究對象，考查熱力學(xué)第一定律

例4（博雅計劃）如圖3所示，有一個頂部開口，橫截面積為S的絕熱圓柱形容器，放在水平地面上。容器內(nèi)有一質(zhì)量為m的勻質(zhì)絕熱擋板在下，另一個質(zhì)量可忽略的絕熱活塞在上，活塞與容器頂端相距甚遠(yuǎn)。擋板下方容積為V0的區(qū)域內(nèi)，盛有摩爾質(zhì)量為μ1、摩爾數(shù)為v1的單原子分子氣體；擋板與活塞之間容積為V0的區(qū)域內(nèi)，盛有摩爾質(zhì)量為μ2、摩爾數(shù)為v2的雙原子分子氣體。擋板和活塞與容器內(nèi)壁之間無縫隙，且都可以無摩擦地上下滑動。設(shè)兩種氣體均處于平衡狀態(tài)，而后將擋板非常緩慢、絕熱且無漏氣地從容器壁朝外抽出，最終形成的混合氣體達(dá)到熱平衡態(tài)。設(shè)整個過程中雙原子分子的振動自由度始終未被激發(fā)。將大氣壓強(qiáng)記為p0，設(shè)，將μ1、v1、μ2、v2、p0、V0處理為已知量。

圖3

（1）將末態(tài)混合氣體內(nèi)的單原子分子氣體和雙原子分子氣體密度分別記為ρ1和ρ2，試求ρ1∶ρ2。

（2）求混合氣體的體積V。

解析：（1）擋板上方氣體壓強(qiáng)p2=p0，擋板下方氣體壓強(qiáng)，因?yàn)?，所以?∶ρ2=μ1v1∶μ2v2。

（2）因?yàn)殡p原子分子的振動自由度未被激發(fā)，所以不考慮振動，即1mol雙原子分子氣體的內(nèi)能為，1mol單原子分子氣體的內(nèi)能為，設(shè)末態(tài)混合氣體的溫度為T，由理想氣體的狀態(tài)方程得p0V=（v1+v2）RT，系統(tǒng)內(nèi)能的改變量，對擋板上方氣體有pV=20v2RT2，對擋板下方氣體有p1V0=v1RT1，所以。外界對氣體做功W=p0（2V0-V），由熱力學(xué)第一定律W=ΔU，解得。

點(diǎn)評：在解決涉及能量變化的熱力學(xué)問題時，需要綜合應(yīng)用熱力學(xué)第一定律和理想氣體的狀態(tài)方程求解相關(guān)物理量。

五、借助圖像，考查熱機(jī)的循環(huán)過程

例5（卓越）如圖4所示，一定質(zhì)量的理想氣體由狀態(tài)a經(jīng)過Ⅰ、Ⅱ兩過程到達(dá)狀態(tài)c。其中Ⅰ為等溫過程、Ⅱ?yàn)橄冉?jīng)過等壓過程至狀態(tài)b，再經(jīng)過等容過程至狀態(tài)c，則該氣體（ ）。

圖4

A.在過程Ⅰ中吸收的熱量大于在過程Ⅱ中吸收的熱量

B.在過程Ⅰ中吸收的熱量小于在過程Ⅱ中吸收的熱量

C.在過程Ⅰ中對外做的功大于在過程Ⅱ中對外做的功

D.在過程Ⅰ中對外做的功小于在過程Ⅱ中對外做的功

解析：在p-V圖像中對外做的功對應(yīng)面積，故在過程Ⅱ中做功較多。內(nèi)能只與狀態(tài)有關(guān)，與具體過程無關(guān)，即兩個過程從a狀態(tài)到c狀態(tài)內(nèi)能都不能變，由Q=ΔU+W可知，在過程Ⅱ中一定比在過程Ⅰ中吸熱多。

答案：BD

點(diǎn)評：在熱機(jī)的循環(huán)過程中，若循環(huán)沿順時針方向進(jìn)行，則系統(tǒng)對外所做的功為正；若循環(huán)沿逆時針方向進(jìn)行，則系統(tǒng)對外所做的功為負(fù)。如果構(gòu)成一個循環(huán)過程，若循環(huán)是沿順時針方向進(jìn)行的，則閉合曲線所圍的面積就是系統(tǒng)對外界做正功；若循環(huán)沿逆時針方向進(jìn)行，則閉合曲線所圍的面積就是外界對系統(tǒng)做正功。

六、借助前沿信息，考查建模能力

例6（清華自招）就黑體輻射而言，輻射最大波長λmax滿足λmaxT=b（T為黑體的熱力學(xué)溫度，b是常量），同時黑體單位面積上的輻射功率P=σT4（σ為常量）。已知人體的λmax1=9.6μm，太陽的λmax2=509.6nm。

（1）如圖5所示，真空中有四塊完全相同且彼此靠近的大金屬板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可以看成黑體），最外側(cè)兩塊板的熱力學(xué)溫度各維持為T1和T4，且T1＞T4。當(dāng)達(dá)到熱穩(wěn)定時，求B板的溫度。

圖5

（2）火星到太陽的距離為400R（R是太陽的半徑，為696300km），認(rèn)為火星受熱的面積為πr2（r為火星的半徑，為3395km），把火星看成黑體，估算火星表面的溫度。

解析：（1）對一個物體來說，吸收熱量和輻射熱量是同時進(jìn)行的。溫度為T2的B板左側(cè)單位時間內(nèi)凈獲得的輻射熱量Q2左=，B板右側(cè)單位時間內(nèi)凈獲得的輻射熱量，達(dá)到熱穩(wěn)定時應(yīng)有Q2左+Q2右=0，解得。同理，對溫度為T3的C板有，解得。

（2）由λmax1T1=λmax2T2=b，以及人的體表溫度T1=310K，解得太陽的溫度T2=5840K。穩(wěn)定狀態(tài)下，火星吸收太陽光的功率，火星輻射的功率P0′=σT′4·4πr2，且P0=P0′，解得火星表面溫度T′=210K。

點(diǎn)評：這是一個信息給予題，根據(jù)題目提供的信息，正確建立輻射模型并明確熱平衡的條件即可順利求解。

備考建議

通過對上述幾個例題的分析，我們可以看出自主招主試題側(cè)重對物理能力的考查，大部分試題在物理思維、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力等方面都超過了高考要求。因此同學(xué)們在備考過程中，要立足高考主干知識，掌握最常見的物理模型，適當(dāng)拓寬知識面，著重培養(yǎng)分析問題、建模和知識遷移等物理核心素養(yǎng)。