《圓》中易錯點(diǎn)分析

摘?要：《圓》章節(jié)是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，也是考試的重點(diǎn)，學(xué)生對這一章節(jié)的掌握難度比較大，容易出現(xiàn)易錯點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)著力學(xué)生易錯點(diǎn)，整理學(xué)生易錯習(xí)題和知識點(diǎn)，通過易錯點(diǎn)的分析幫助學(xué)生建立完善的《圓》章節(jié)知識體系，加深學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解，可以有效提升學(xué)生分?jǐn)?shù)，降低錯題出現(xiàn)率。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);圓;易錯點(diǎn)

俗話說，吃一塹，長一智。錯一次不可怕。想要數(shù)學(xué)這門學(xué)科得高分，僅靠學(xué)生埋頭苦戰(zhàn)題海肯定是行不通了，所以教師需要對學(xué)生的錯題做一個系統(tǒng)的處理和歸納，然后不斷內(nèi)化和總結(jié)。只有這樣學(xué)數(shù)學(xué)才會越來越輕松，我們才能做到知識點(diǎn)之間的融會貫通，我們才能做到學(xué)以致用。

一、 忽略了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

在教學(xué)過程中，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系比較容易理解，主要是以點(diǎn)P到圓心O的距離與圓O的半徑對比，分為點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外。點(diǎn)和圓的位置關(guān)系理解起來也比較簡單，但在實(shí)際解題中容易出現(xiàn)問題，因?yàn)榻滩闹械狞c(diǎn)與圓的位置關(guān)系是單點(diǎn)和單圓，而在實(shí)際解題中容易出現(xiàn)多點(diǎn)對單圓或多圓對單點(diǎn)的問題，如果不能很好把握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，很容易出現(xiàn)解題的失誤，導(dǎo)致丟分。

如常見的題型：平面上有⊙O及一點(diǎn)P，P到⊙O的上一點(diǎn)距離最長為6cm，最短為2cm，則⊙O的半徑為????cm。學(xué)生在解題過程中容易得出一個答案，有的填4，有的填2，而實(shí)際答案是4或2cm。很多學(xué)生在教師公布答案以后容易出現(xiàn)短暫的盲目，不知道另外一個答案如何得來。因此，教師應(yīng)幫助學(xué)生重新構(gòu)建點(diǎn)與圓位置關(guān)系的知識點(diǎn)，將解題過程做好分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時，則2R=6+2=8，所以⊙O的半徑為4cm;②當(dāng)點(diǎn)P在圓外時，則2R=6-2=4，所以⊙O的半徑為2cm，綜上所述，⊙O的半徑為4cm 或2cm。

分析：這里需要注意一點(diǎn)，部分學(xué)生認(rèn)為自己得出一個答案是因?yàn)樽约旱鸟R虎，而非知識點(diǎn)掌握不全，基于這一思路，教師可以在課堂末尾或下一個課時重新組織一道類似的題目讓學(xué)生進(jìn)行解題，對二次出現(xiàn)答案錯誤的同學(xué)進(jìn)行單獨(dú)溝通，以此來幫助學(xué)生加深對知識點(diǎn)的記憶。

二、 忽略了一弦所對的弧有兩條，且兩弧之和為一個圓周長

一弦所對的弧有兩條，且兩弧之和為一個圓周長這一知識點(diǎn)比較容易理解，教材教學(xué)通常是通過數(shù)形結(jié)合的方法幫助學(xué)生記憶和理解。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，在單圓中掌握一弦所對的弧有兩條是比較容易的，特別是目前多為多媒體教學(xué)，直觀性比較強(qiáng)，這部分理論內(nèi)容基本一筆帶過即可，不需要做過多的解釋。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生在解題過程中，容易受到慣性思維的影響，在求解的過程中容易側(cè)重于一弦所對的最長的弧求解，而對另一部分的弧長自動略過，導(dǎo)致答案不完整，甚至在一些題目中還會影響解題過程，導(dǎo)致解題的失敗。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，強(qiáng)化兩弧之和為一個圓周長這一知識點(diǎn)，從而幫助學(xué)生在解題過程中減少失誤點(diǎn)，提升解題的速度。

例如：已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長是多少？

解：①如圖3，當(dāng)三角形的外心在三角形的內(nèi)部時，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，∵AB=AC，O為外心，∴AD⊥BC，在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD 中，根據(jù)勾股定理，得AB=42+82=45（cm）。

②如圖4，當(dāng)三角形的外心在三角形的外部時，連接AO交BC于點(diǎn)D，在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理，得BD=4，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理，得AB=42+22=25（cm）。綜上所述，AB的長為45cm或25cm。

分析：△ABC是⊙O內(nèi)接三角形，AD是⊙O的直徑，AD=6cm，∠ABC=∠CAD，求弦AC所對的弧長。簡單從這一題來看，學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方式在解題時，是自己作圖，作圖時對內(nèi)容理解比較深入，容易得出所對的弧長有兩部分，答案計(jì)算正確，解題快速。

三、 忽略了一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補(bǔ)關(guān)系

一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補(bǔ)關(guān)系也是教材中《圓》的重要理論知識點(diǎn)，單純從理論教學(xué)來看，難度并不大，而且也容易理解，但一旦在與試題應(yīng)用和其他知識點(diǎn)相聯(lián)系則容易出現(xiàn)明顯的問題，導(dǎo)致學(xué)生理解起來比較困難。

如常見例題，⊙O的一條弦AB將圓周長分為3∶7兩部分，試求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數(shù)，并作出圖。

解：根據(jù)弦AB分圓周長為3∶7兩部分，所以弦所對的圓心角為108°和252°，再根據(jù)圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半，得弦對的圓周角分別是54°和126°。

分析：從題目來看，求解圓心角的比較簡單，但很多學(xué)生在圓周角的度數(shù)解題時出現(xiàn)了問題。弦AB分圓周長為3∶7兩部分，所以弦所對的圓心角為108°和252°，再根據(jù)圓周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半，得弦對的圓周角分別是54°和126°。解題比較簡單，但如果不能將“一弦所對的圓周角有兩個，且它們有互補(bǔ)關(guān)系”與“周角的度數(shù)等于它所對圓心角度數(shù)的一半”知識點(diǎn)聯(lián)系起來，解題就比較困難。

四、 忽略了弦與圓心的位置關(guān)系

弦與圓心的位置關(guān)系可以分為同側(cè)和異側(cè)，如果沒有說明應(yīng)注意計(jì)算兩側(cè)，如果題目中配圖則需要按圖計(jì)算即可，計(jì)算難度比較低。但在具體的計(jì)算過程中，學(xué)生容易自動將弦與圓心的位置關(guān)系自動按照同側(cè)進(jìn)行計(jì)算，導(dǎo)致計(jì)算失誤，出現(xiàn)丟分的現(xiàn)象。

如常見題型：⊙O的半徑為1，過點(diǎn)A有兩條弦AC=2，AB=3，求∠CAB的度數(shù)。這一試題中，計(jì)算時很多同學(xué)會自動按照同側(cè)進(jìn)行計(jì)算，按照數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行構(gòu)圖，在解題過程中如果是同側(cè)得出的解題的答案是15°，如果按照異側(cè)計(jì)算則是75°。教師在解題過程中應(yīng)按照分類的原則進(jìn)行計(jì)算，幫助學(xué)生掌握解決類似題目時的規(guī)律和方法，從而減少學(xué)生因思維慣性導(dǎo)致的錯誤。弦與圓心的位置關(guān)系是考核的重點(diǎn)，涉及的題型也比較多，有的是求角的度數(shù)，有的是求線的長度，變化也比較多，因此教師應(yīng)結(jié)合不同的題型，強(qiáng)化知識內(nèi)容，幫助學(xué)生更好地掌握這部分的內(nèi)容，特別是應(yīng)準(zhǔn)備歷年的中考題，從中挑選有代表性的試題進(jìn)行解釋和計(jì)算。

五、 總結(jié)

《圓》這一部分的章節(jié)內(nèi)容涉及的知識點(diǎn)比較多，需要利用數(shù)形結(jié)合的思想才能解決。但是在實(shí)際解決過程中，學(xué)生容易受到思維定勢的影響，產(chǎn)生計(jì)算錯誤，部分學(xué)生將這種錯誤歸屬于馬虎，對待錯題不認(rèn)真。因此，教師在教學(xué)過程中應(yīng)整理學(xué)生常見的錯誤題型，幫助學(xué)生認(rèn)識到自己錯誤的原因，引導(dǎo)學(xué)生對錯誤習(xí)題進(jìn)行重組，進(jìn)而加深對知識點(diǎn)的理解和認(rèn)知，提高解題速度和準(zhǔn)確率。

參考文獻(xiàn)：

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[2]曾繁僑.初中“數(shù)學(xué)問題”中易錯點(diǎn)提前干預(yù)的教學(xué)探討[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2017（11）：25-27.

作者簡介：

周吉平，浙江省諸暨市，浙江省諸暨市暨陽初級中學(xué)。