以“問(wèn)”和“導(dǎo)”構(gòu)建有效生本課堂
——從浙教版八上《2.4等腰三角形的判定定理》教學(xué)說(shuō)起

隨著新課改的不斷深入，基于學(xué)生學(xué)習(xí)力發(fā)展的課堂教學(xué)方式也隨之發(fā)生了顯著變化?！耙陨鸀楸?、學(xué)為中心；以學(xué)定教、順學(xué)而導(dǎo)”的教學(xué)理念已成為課堂的主旋律。教師教學(xué)的著力點(diǎn)也從關(guān)注教師如何“教”轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注學(xué)生如何“學(xué)”，放大“學(xué)”，優(yōu)化“導(dǎo)”，做到“學(xué)”與“導(dǎo)”的合理契合。而“智慧導(dǎo)學(xué)”作為“學(xué)導(dǎo)課堂”五大核心要素之一，是“學(xué)導(dǎo)課堂”得以有效實(shí)現(xiàn)的前提和重要保障，其相應(yīng)的教學(xué)策略顯得尤為重要。它不僅需要教師在教學(xué)過(guò)程中有一雙慧眼來(lái)“相機(jī)”，而且需要有一顆智心來(lái)“導(dǎo)學(xué)”。筆者在八上《2.4等腰三角形的判定定理》這節(jié)課的教學(xué)中，細(xì)研教材，抓住提問(wèn)時(shí)機(jī)，并順學(xué)而導(dǎo)，順利突破重、難點(diǎn)，達(dá)成教學(xué)目標(biāo)?，F(xiàn)例說(shuō)如下。

一、尊重教材，經(jīng)歷過(guò)程，充分體驗(yàn)

任何的數(shù)學(xué)教育教學(xué)活動(dòng)都是以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的。就筆者來(lái)看，數(shù)學(xué)素養(yǎng)不同于數(shù)學(xué)知識(shí)，不是短期可以培養(yǎng)出來(lái)的。它依托于數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)教師日常的教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣、形成經(jīng)驗(yàn)，并經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期積累逐漸形成。在浙教版數(shù)學(xué)教材中，經(jīng)常會(huì)安排讓學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、量一量，旨在讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)知識(shí)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗(yàn)證猜想等過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的本質(zhì)，學(xué)會(huì)理性思維，進(jìn)而培養(yǎng)邏輯思維能力。如何理解教材、處理教材，如何教學(xué)設(shè)計(jì)值得思考。

案例1：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教學(xué)片段一

1.教材背景

本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了等腰三角形的定義和性質(zhì)后的一節(jié)新授課，教材開(kāi)頭就設(shè)問(wèn)：“根據(jù)等腰三角形的定義，如果一個(gè)三角形的兩條邊相等，那么就可以判定這個(gè)三角形是等腰三角形。除此之外，還有其他判定方法嗎？”緊隨其后是合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，具體內(nèi)容如下。

在紙上任意畫(huà)線段BC，分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C為頂點(diǎn)，以BC為一邊，在BC的同側(cè)畫(huà)兩個(gè)相等的角，兩角的另一邊相交于點(diǎn)A。量一量，線段AB與AC相等嗎？其他同學(xué)的結(jié)果與你的相同嗎？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

2.教師教學(xué)設(shè)計(jì)

教師以復(fù)習(xí)等腰三角形的定義和性質(zhì)作為課堂引入并提問(wèn)：“同學(xué)們，由等腰三角形可以得到很多結(jié)論。反之，要判定一個(gè)三角形是等腰三角形，則需要具備什么條件呢？”

學(xué)生紛紛回答：“‘兩條邊相等'或者‘兩個(gè)角相等'?！?/p>

教師追問(wèn)：“這兩種方法的依據(jù)分別是什么？”

學(xué)生回答：“是等腰三角形的定義和等腰三角形的兩個(gè)底角相等?！?/p>

教師：“回答得很好，定義既是性質(zhì)又是判定，所以有兩條邊相等可以判定一個(gè)三角形是等腰三角形，接下來(lái)我們重點(diǎn)討論‘有兩個(gè)角相等'這種判定方法。同學(xué)們能夠從‘等腰三角形的兩個(gè)底角相等'這個(gè)性質(zhì)，猜想到‘有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形'這種判定方法值得肯定。說(shuō)明同學(xué)們意識(shí)到知識(shí)是前后相關(guān)的。但請(qǐng)同學(xué)們?cè)傧胍幌?，把一個(gè)真命題的條件和結(jié)論互換后，所得命題是否仍是真命題呢？”

學(xué)生回答：“不一定。”

教師追問(wèn)：“請(qǐng)舉例。”

學(xué)生回答：“‘對(duì)頂角相等'的逆命題是‘相等的角是對(duì)頂角'，這是一個(gè)假命題。”

教師及時(shí)肯定所舉反例：“從剛才某某同學(xué)所舉例子中，同學(xué)們可以感受到‘等腰三角形的兩個(gè)底角相等'不能支持你們的猜想，你們是否感覺(jué)到這個(gè)‘顯而易見(jiàn)'的判定方法找不到依據(jù)？”

學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，教師繼續(xù)闡述：“事實(shí)上，在兩千年前，幾何知識(shí)的鼻祖——古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得以及其他數(shù)學(xué)家，在研究數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程中，也會(huì)遇到有猜想?yún)s找不到依據(jù)的情況。他們會(huì)怎樣處理呢？他們往往會(huì)通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的方式來(lái)進(jìn)一步驗(yàn)證猜想。接下來(lái)，我們也學(xué)一學(xué)他們，一起來(lái)完成合作學(xué)習(xí)部分。”同時(shí)強(qiáng)調(diào)作圖工具不限。

學(xué)生馬上動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，教師巡視。獨(dú)立完成后要求同桌之間互相交流：作圖具體步驟；作圖所用工具；線段AB與AC是否相等？如何判斷？最后讓作法有代表性的幾位學(xué)生在班級(jí)中分享。教師最后小結(jié)：“同學(xué)們用不同的方法完成了合作學(xué)習(xí)，從作圖痕跡可以判斷∠B=∠C。我們發(fā)現(xiàn)，只要∠B=∠C，我們都能得到AB=AC。此刻我們是否可以認(rèn)為‘有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形'就是定理了呢？”

學(xué)生：“不可以，作圖有誤差，不夠嚴(yán)謹(jǐn)。”

教師追問(wèn)：“那怎么辦？”

學(xué)生：“推理，證明?！?/p>

教師：“那怎么來(lái)證明這個(gè)命題呢？接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立思考，有想法舉手……”

在此教學(xué)環(huán)節(jié)中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的互逆關(guān)系，以及學(xué)生在小學(xué)階段對(duì)等腰三角形的認(rèn)知與幾何直觀，學(xué)生較易猜想出“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”這個(gè)判定方法。既然學(xué)生根據(jù)已有的認(rèn)知有了這樣的猜想，那么緊隨其后的合作學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)是否還有必要讓學(xué)生經(jīng)歷？具體該如何處理？

顯然，教材安排合作學(xué)習(xí)的目的是讓學(xué)生經(jīng)歷等腰三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程。通過(guò)“經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)——發(fā)現(xiàn)規(guī)律——給出證明”的過(guò)程，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、檢驗(yàn)真理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。因此，即使學(xué)生根據(jù)已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)得出正確的猜想，仍要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷定理從發(fā)現(xiàn)到最后得以證明成立的整個(gè)過(guò)程。

另外，在合作學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師補(bǔ)充強(qiáng)調(diào)的作圖工具不限及交流分享環(huán)節(jié)，讓學(xué)生充分感受到實(shí)驗(yàn)途徑的豐富多樣性。而教師合作學(xué)習(xí)后的小結(jié)又讓學(xué)生“心甘情愿”地回歸于猜想，并在一問(wèn)一答中引出判定定理證明的必要性。

因此，教師在備課過(guò)程中要仔細(xì)研讀教材內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)，領(lǐng)悟教材內(nèi)容安排的用意，尊重教材。尤其重視設(shè)置的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并以此為載體，讓學(xué)生經(jīng)歷過(guò)程，充分體驗(yàn)。學(xué)生也只有經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，才能不斷地生成、豐富、拓展、提升和交流數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，從而形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、追根溯源，強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，淡化形式

早在二十多年前，陳重穆、宋乃慶教授就提出了“注重實(shí)質(zhì)、淡化形式”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念。而當(dāng)下的數(shù)學(xué)課程改革，也明確提出了“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”的教學(xué)理念。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中，不僅對(duì)教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)要有正確的定位，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，還需順應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展，注重強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，淡化形式。

案例2：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教學(xué)片段二

證明等腰三角形的判定定理——如果三角形的兩個(gè)角相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。

學(xué)生通過(guò)分析命題的條件和結(jié)論，經(jīng)過(guò)交流和補(bǔ)充，給出以下證明：

已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C

求證：△ABC是等腰三角形

證明：作角平分線AD

∴∠1=∠2

∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC ∴△ABC是等腰三角形

此時(shí)，教師追問(wèn)：“你是怎么想到添這條輔助線的？”

學(xué)生回答：“想要證等腰三角形，只要證明AB=AC。即證明兩個(gè)三角形全等，所以想到了添這條輔助線?！?/p>

教師：“某某同學(xué)的想法你們同意嗎？”

學(xué)生：“同意。”

教師追問(wèn)：“依據(jù)是什么？”

學(xué)生：“等腰三角形的定義?！?/p>

教師：“同學(xué)們說(shuō)得很好。另外，看某某同學(xué)的證明過(guò)程，主要是運(yùn)用了全等三角形這一舊知。這種用已有的知識(shí)來(lái)解決新問(wèn)題的思想方法是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本策略。同學(xué)們還有其他不同的證明方法和大家分享嗎？”

有同學(xué)提出高線并證明……

在實(shí)際教學(xué)中，教師在教學(xué)過(guò)程中不向?qū)W生追問(wèn)輔助線添法的來(lái)源，而是追求證明方法的多樣化，甚至主動(dòng)補(bǔ)充當(dāng)AD是中線時(shí)的證明方法。顯然，這種做法教師是以俯視的姿態(tài)告訴式地展開(kāi)教學(xué)。只注重知識(shí)的灌輸而忽視了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，在學(xué)生思維的生成上沒(méi)有追根溯源，淡化了考慮問(wèn)題“從哪里來(lái)，要到哪里去”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，也偏離了教學(xué)目標(biāo)。

三、順應(yīng)思維，因勢(shì)利導(dǎo)，提煉歸納

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾告誡我們：“讓你的學(xué)生提問(wèn)題，要不就像他們自己提問(wèn)的那樣由你去提出這些問(wèn)題；讓你的學(xué)生給出解答，要不就像他們自己給出的那樣由你去給出解答。”的確，在課堂上，教師要順應(yīng)學(xué)生思維并善于設(shè)問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立或合作解決問(wèn)題，把課堂真正還給學(xué)生。

案例3：浙教版教材八上《2.4等腰三角形的判定定理》教學(xué)片段三

在證明完等腰三角形的判定定理后，教師提出：“等邊三角形又該如何判定呢？”

學(xué)生紛紛回答：“‘三邊相等'，‘三個(gè)角相等'?！?/p>

教師追問(wèn)：“依據(jù)分別是什么？”

學(xué)生回答：“三邊相等是根據(jù)等邊三角形的定義，三個(gè)角相等找不到依據(jù)?！?/p>

教師：“找不到依據(jù)，那你能推理證明嗎？”

學(xué)生：“能?！弊C明過(guò)程具體如下：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC

即△ABC是等邊三角形

教師：“由三角相等推出三邊相等的依據(jù)是什么？”

學(xué)生：“等腰三角形的判定定理?！?/p>

教師：“某某同學(xué)說(shuō)得非常好！只要在同一個(gè)三角形中，角相等就能推出所對(duì)的邊相等。這個(gè)定理對(duì)角的個(gè)數(shù)是兩個(gè)還是三個(gè)沒(méi)有規(guī)定?！?/p>

隨之得出等邊三角形的判定定理1：三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形。

教師繼續(xù)問(wèn)：“如果已知等腰△ABC，且AB=AC，證明它是等邊三角形，還需增加什么條件？請(qǐng)說(shuō)說(shuō)你的想法。”

學(xué)生充分議論，最后一致反饋為：①AB=BC ②∠A=60°③∠A=∠B ④∠A=60°

教師結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生逐一說(shuō)明四種條件成立的理由，特別對(duì)方法②和④進(jìn)一步追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)清楚求其他兩個(gè)角的方法的不同之處。

接著，教師繼續(xù)追問(wèn)：“請(qǐng)同學(xué)們把剛剛增加的4種不同的條件轉(zhuǎn)換成文字語(yǔ)言并填空，使之成為一個(gè)真命題。”_____________________________________的等腰三角形是等邊三角形。

學(xué)生交流后概括為：①腰與底邊相等，②頂角等于底角，③有一個(gè)角等于60°。

教師：“同學(xué)們概括得很好，接下來(lái)讓我們一起來(lái)理一理你們剛才得出的三個(gè)真命題。”

①腰與底邊相等的等腰三角形是等邊三角形。它的實(shí)質(zhì)就是三邊相等的三角形是等邊三角形，即等邊三角形的定義。

②頂角等于底角的等腰三角形是等邊三角形。它的實(shí)質(zhì)就是三角相等的三角形是等邊三角形，即等邊三角形的判定定理1。

③有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。這個(gè)真命題我們還沒(méi)有推理證明，這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的等邊三角形的判定定理2……

在上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師能順應(yīng)學(xué)生從等腰到等邊的思維發(fā)展，設(shè)置一個(gè)個(gè)問(wèn)題，在循循善誘中引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比學(xué)習(xí)等腰三角形過(guò)程中的思想方法，猜想、推理證明等邊三角形判定定理1。同時(shí)，在推理證明等邊三角形判定定理2的教學(xué)設(shè)計(jì)上，教師設(shè)問(wèn)起點(diǎn)低且開(kāi)放，滿足了所有學(xué)生的“胃口”，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性。引導(dǎo)學(xué)生由圖形語(yǔ)言慢慢過(guò)渡到文字語(yǔ)言，由淺入深、循序漸進(jìn)。學(xué)生既能獨(dú)立思考，又能合作探究，充分經(jīng)歷了觀察、比較、歸納、整理、證明的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，并從中體會(huì)到了分類(lèi)討論思想。而最后，師生一起通過(guò)歸納整理，使等邊三角形的判定定理2自然生成，也使等邊三角形的相關(guān)內(nèi)容得以提煉歸納，使本節(jié)課的難點(diǎn)得以順利突破。

教師在教學(xué)過(guò)程中，不應(yīng)以知識(shí)豐富而自居，而應(yīng)善于把自己已有的知識(shí)擱置一旁，把自己的思維降低至學(xué)生的思維水平，有意識(shí)地退回到與學(xué)生相仿的思維狀態(tài)。并根據(jù)學(xué)生的思維起點(diǎn)和發(fā)展規(guī)律，結(jié)合教學(xué)實(shí)際相機(jī)而問(wèn)，順學(xué)而導(dǎo)。在問(wèn)中把學(xué)生推向“前臺(tái)”，成為課堂主角，彰顯學(xué)生學(xué)習(xí)的“主權(quán)”；在導(dǎo)中引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展、生成的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。總之，教師在日常教學(xué)中，在認(rèn)真研讀教材，領(lǐng)會(huì)教材編寫(xiě)意圖，明確重難點(diǎn)的同時(shí)，要善于抓住“問(wèn)”的時(shí)機(jī)，明確“問(wèn)”的方向，思學(xué)生所思，難學(xué)生所難，真正構(gòu)建有效生本課堂。