《五大歷數(shù)書匯編》中的月亮中心差算法
——兼與6世紀(jì)之前中國月亮中心差算法比較

唐 泉，袁 敏

(西北大學(xué) 科學(xué)史高等研究院, 陜西 西安 710127)

漢魏六朝時(shí)期,印度天文學(xué)隨佛教傳入中國,此后一直延續(xù)至唐代而未中斷。關(guān)于印度天文學(xué)在中國的流傳與影響,江曉原和鈕衛(wèi)星進(jìn)行過非常深入細(xì)致的研究,相關(guān)研究成果比較集中地收錄在《天文西學(xué)東漸集》[1]和《西望梵天:漢譯佛經(jīng)中的天文學(xué)源流》[2]兩部著作中。

公元6世紀(jì)中葉,北齊天文學(xué)家張子信經(jīng)過多年天文觀測,提出了太陽和行星的不均勻運(yùn)動(dòng)以及月亮視差會(huì)影響日食計(jì)算等一系列重大天文發(fā)現(xiàn)。隋代天文學(xué)家劉焯在制定《皇極歷》時(shí),率先考慮了張子信的重大天文發(fā)現(xiàn),從而揭開了隋唐歷法大變革的序幕。李約瑟指出,如果中國和印度天文學(xué)家并非獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了太陽的不均勻運(yùn)動(dòng),那么張子信關(guān)于太陽不均勻運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)很有可能受到了印度天文學(xué)的影響[3]。鈕衛(wèi)星通過考察張子信的水星應(yīng)見不見術(shù),認(rèn)為張子信隱居海島時(shí)可能接觸到某些印度天文學(xué)內(nèi)容,并把它們吸收到中國傳統(tǒng)天文學(xué)中的這種可能性是存在的[4]。

近年來,對古代中印數(shù)理天文學(xué)中的一些核心算法的比較研究,引起了學(xué)者的關(guān)注。例如,胡鐵珠[5]對《大衍歷》和《蘇利亞歷》行星算法的比較研究,曲安京[6]對古代中國和印度日月食食限算法的比較研究,唐泉和曲安京對古代中國和印度月亮視差理論的比較研究[7],袁敏[8]和劉麗芳[9]等人對中印晷影算法的比較研究,都值得關(guān)注。

伐羅訶密西羅(Varāhamihira)所著《五大歷數(shù)書匯編》(Pacasiddhāntikā)是公元6世紀(jì)印度一部非常重要的數(shù)理天文學(xué)著作。該書所收錄的5部天文學(xué)著作的概要,反映了公元6世紀(jì)以前印度本土天文學(xué)和傳入印度的域外天文學(xué)的主要內(nèi)容?！段宕髿v數(shù)書匯編》一直受到科學(xué)史家的高度關(guān)注,自1889年至今,先后出現(xiàn)了3個(gè)影響較大的英文譯本[10-12],相關(guān)研究也非常豐富[13-15]。然而,國內(nèi)學(xué)者對《五大歷數(shù)書匯編》的系統(tǒng)研究尚未全面展開,已有的零星研究,主要集中在太陽運(yùn)動(dòng)理論和行星運(yùn)動(dòng)理論[16-17]。

本文中,我們將詳細(xì)考察《五大歷數(shù)書匯編》中的月亮中心差算法,并與公元6世紀(jì)之前的《乾象歷》、《景初歷》和《元嘉歷》等3部中國歷法中的月亮中心差算法進(jìn)行比較,進(jìn)一步揭示中印數(shù)理天文學(xué)傳統(tǒng)的多樣性,為探討公元6世紀(jì)之前中印數(shù)理天文學(xué)交流與傳播線索提供相應(yīng)的數(shù)理基礎(chǔ)。

1 《五大歷數(shù)書匯編》中的月亮中心差算法

《毗曇摩訶歷數(shù)書》在《五大歷數(shù)書匯編》中所占的篇幅非常小,原始的《毗曇摩訶歷數(shù)書》所取近距歷元為公元80年1月11日,其來源可能與巴比倫天文學(xué)有關(guān)[18]。原始的《沃西斯特歷數(shù)書》成書于公元270年之前,其來源與希臘化的巴比倫天文學(xué)有關(guān),但是收錄在《五大歷數(shù)書匯編》中的《沃西斯特歷數(shù)書》,其歷元已被改編為公元499年12月3日。原始的《羅馬伽歷數(shù)書》和《寶莉莎歷數(shù)書》大約成書于公元3～4世紀(jì),二者具有明顯的希臘風(fēng)格(文獻(xiàn)[18],540～545頁)?！短枤v數(shù)書》是5部著作中成書最晚的一部,根據(jù)《太陽歷數(shù)書》所取近距歷元為公元505年3月20日夜半,其成書年代應(yīng)該略晚于這個(gè)時(shí)間。

在《五大歷數(shù)書匯編》收錄的五部著作中,只有《毗曇摩訶歷數(shù)書》未涉及到月亮的不均勻運(yùn)動(dòng),而其他4部著作均有涉及?！段治魉固貧v數(shù)書》中的月亮不均勻運(yùn)動(dòng)算法比較初級,尚未完全將月亮中心差從月亮的平運(yùn)動(dòng)中分離出來,而《太陽歷數(shù)書》、《寶莉莎歷數(shù)書》和《羅馬伽歷數(shù)書》都是以公式或數(shù)值的形式給出了月亮中心差或某些區(qū)間內(nèi)月亮平運(yùn)動(dòng)與真運(yùn)動(dòng)的差值,本文主要討論這3部著作中的月亮中心差算法。

1.1 《太陽歷數(shù)書》中的月亮中心差算法

(1)

1.2 《寶莉莎歷數(shù)書》中的月亮速度與中心差算法

《寶莉莎歷數(shù)書》在《五大歷數(shù)書匯編》中所占的篇幅較大,內(nèi)容也相對比較完整?！秾毨蛏瘹v數(shù)書》將一個(gè)近點(diǎn)月長度均分為248padas,pada是一個(gè)比日更小的時(shí)間單位,它與日和近點(diǎn)月長度之間的關(guān)系為:1pada=1/9日=1/248近點(diǎn)月。由此可知《寶莉莎歷數(shù)書》所取近點(diǎn)月長度為248/9≈27.555 6日,《沃西斯特歷數(shù)書》采用了相同的近點(diǎn)月常數(shù)。

《寶莉莎歷數(shù)書》將一個(gè)近點(diǎn)月從遠(yuǎn)地點(diǎn)作為起點(diǎn)等分為兩半,若令p和p′分別表示月亮過遠(yuǎn)地點(diǎn)或近地點(diǎn)的時(shí)間,單位為pada,vm表示月亮每日實(shí)行速,單位為分,則月亮每日實(shí)行速度可以表示為以p或p′為自變量的函數(shù)(文獻(xiàn)[12],45頁)：

(2)

《寶莉莎歷數(shù)書》中的月亮中心差算法收錄在《五大歷數(shù)書匯編》Ⅲ.5～8節(jié),共4段術(shù)文。T.S. Kuppanna Sastry和K.V. Sarma僅僅翻譯了Ⅲ.5節(jié),而未對Ⅲ.6～8節(jié)術(shù)文進(jìn)行翻譯。若設(shè)月亮的中心差為cm,單位為分,p和p′分別表示月亮過遠(yuǎn)地點(diǎn)或近地點(diǎn)的時(shí)間,單位為pada,則根據(jù)T.S. Kuppanna Sastry和K.V. Sarma對Ⅲ.5節(jié)的釋讀,月亮中心差cm可以表示為以p或p′為自變量的函數(shù)

cm=

(3)

Otto Neugebauer和David Pingree對Ⅲ.5～8均給出了翻譯,根據(jù)他們的翻譯和釋讀,月亮中心差cm是以p為自變量的分段函數(shù)(文獻(xiàn)[11],39～41頁)。

若p≤120,

(4)

若p>120,令p′=p-120,

(5)

當(dāng)p′>70時(shí),令p″=p′-69,

(6)

從式(4)～(6)看出,當(dāng)63

1.3 《羅馬伽歷數(shù)書》中的月亮中心差算法

《羅馬伽歷數(shù)書》中的月亮中心差也是從遠(yuǎn)地點(diǎn)起算的,但是與《太陽歷數(shù)書》中基于本輪模型和三角函數(shù)的月亮中心差算法和《寶莉莎歷數(shù)書》中以分段函數(shù)計(jì)算月亮中心差的算法不同,《羅馬伽歷數(shù)書》將一個(gè)近點(diǎn)月以遠(yuǎn)地點(diǎn)作為起點(diǎn)分為四個(gè)象限,并給出了第一象限內(nèi)每隔15°月亮真運(yùn)動(dòng)和平運(yùn)動(dòng)的差值。若令α表示月亮的遠(yuǎn)點(diǎn)角,Δcm表示月亮實(shí)行度和平行度之差,cm表示月亮中心差,則根據(jù)《羅馬伽歷數(shù)書》術(shù)文(文獻(xiàn)[12],183頁),可以列出月亮在第一象限內(nèi)Δcm和cm的數(shù)值,結(jié)果如表1。表1中Δcm數(shù)值系由《羅馬伽歷數(shù)書》直接給出,cm的數(shù)值系筆者累加Δcm數(shù)值得到。

表1 《羅馬伽歷數(shù)書》中的月亮中心差Tab.1 Lunar equation of center in the Romaka Siddhānta

表1給出了第一象限內(nèi)每隔15°的Δcm的數(shù)值,其他各象限的數(shù)值可根據(jù)對稱性求出。在第一象限和第四象限,Δcm均取負(fù)值,即月亮實(shí)行速小于月亮平行速,在第二和第三象限,Δcm均取正值,即月亮實(shí)行速大于月亮平行速。這里需要指出,Otto Neugebauer和David Pingree對表1中Δcm的數(shù)值給出了不同的釋讀,根據(jù)他們的釋讀,Δcm的數(shù)值依次為-1°14′,-1°11′,-1°2′,-48′,-25′和-6′,與表1中所列數(shù)據(jù)差距非常明顯。此外,月亮在一個(gè)近點(diǎn)月內(nèi)運(yùn)行的距離略大于360°,但是《羅馬伽歷數(shù)書》則以360°入算。

2 中國隋代之前的月亮中心差算法

我國古代對月亮運(yùn)動(dòng)的觀測和研究非常重視,至遲在西漢,中國天文學(xué)家已發(fā)現(xiàn)月亮的遲疾運(yùn)動(dòng)。西漢末期,劉向(前77—前6年)提出月行九道術(shù),此后九道術(shù)在西漢晚期和東漢非常流行,歷法家利用九道術(shù)推算月亮遲疾運(yùn)動(dòng)和交食[20]。公元206年,天文學(xué)家劉洪在九道術(shù)的基礎(chǔ)上,首次在其制定的《乾象歷》中設(shè)計(jì)了月離表,對月亮的不均勻運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了較為科學(xué)的描述。《乾象歷》之后的歷法,除極個(gè)別歷法直接以函數(shù)的形式給出月亮中心差算法之外,其他歷法都設(shè)計(jì)了相應(yīng)的月離表。

在隋代之前設(shè)計(jì)月離表的歷法中,劉洪《乾象歷》(206年)、楊偉《景初歷》(237年)和何承天《元嘉歷》(443年)是行用時(shí)間較長的3部歷法,其中《乾象歷》行用57年(223—280年),《景初歷》行用114年(237—451年),《元嘉歷》行用64年(445—509年)?！肚髿v》術(shù)文保存在《晉書·律歷志中》,為討論方便,我們照錄《乾象歷》[21]月離表如下,見表2。

表2 《乾象歷》中的月離表Tab.2 Lunar equation of center in the Supernal Emblem System

《乾象歷》中的月離表奠定了中國古代月離表的基礎(chǔ),此后各歷中月離表的內(nèi)容雖然有所增損,但基本內(nèi)容不變?！毒俺鯕v》術(shù)文保存在《晉書·律歷志下》和《宋書·律歷志中》,其月離表(文獻(xiàn)[21],1628～1629頁)包括四欄,依次為“月行遲疾度”、“損益率”、“盈縮積分”和“月行分”,分別對應(yīng)《乾象歷》中“日轉(zhuǎn)度分”、“損益率”、“盈縮積”和“月行分”等四欄內(nèi)容?！对螝v》術(shù)文保存在《宋書·律歷志下》中,其月離表[23]包括六欄,第一欄為日序,其他各欄依次為“月行遲疾度”、“損益率”、“盈縮積分”、“列差”和“差法”,分別對應(yīng)《乾象歷》中“日轉(zhuǎn)度分”、“損益率”、“盈縮積”和“月行分”。

通過分析《乾象歷》、《景初歷》和《元嘉歷》等三部歷法中月離表的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容可知,這3部歷法中與月亮中心差對應(yīng)的欄目分別是“盈縮積”、“盈縮積分”和“盈縮積”。

3 中印月亮中心差算法精度分析

由于太陽和大行星的攝動(dòng),使得月亮的運(yùn)動(dòng)變得非常復(fù)雜。月亮的真黃經(jīng)和平黃經(jīng)之間存在許多周期性差項(xiàng),根據(jù)布朗的研究,這些差項(xiàng)主要包括中心差、出差、二均差、周年差和月角差,等等。在這些大的差項(xiàng)中,只有中心差系數(shù)以月亮的平近點(diǎn)角為引數(shù),其他差項(xiàng)則與太陽和月亮的相對位置、太陽的位置、月亮距升交點(diǎn)的距離以及它們的組合有關(guān)[22]。為簡化討論,我們在本文中僅用月亮的中心差來刻畫月亮平黃經(jīng)和真黃經(jīng)的差值。

根據(jù)天體力學(xué)知識,做橢圓運(yùn)動(dòng)的天體的中心差c可以表示為以近點(diǎn)角M為自變量的函數(shù)[24]:

(7)

式(7)中e表示月亮軌道的偏心率,月亮軌道的偏心率并非一個(gè)常量,而是在1/15到1/23的范圍內(nèi)變化,其平均值為0.054 9,接近1/18[25]。若取偏心率至二乘方,則式(7)可簡化為

(8)

利用式(8),我們可以對《太陽歷數(shù)書》和《乾象歷》等六部歷法中的月亮中心差精度做一個(gè)初步的討論。根據(jù)前面的討論,在《五大歷數(shù)書匯編》收錄的三部著作中,月亮中心差均以遠(yuǎn)地點(diǎn)起算,而《乾象歷》等3部中國歷法中月亮中心差均以近地點(diǎn)起算。為方便比較,我們將3部印度歷法中的月亮中心差均歸算為以近地點(diǎn)為起點(diǎn)。

表3 《乾象歷》等歷法中的月亮中心差Tab.3 Lunar equation of center in the Supernal Emblem System and the other systems

根據(jù)表3中數(shù)據(jù),可以繪出上述各部歷法中月亮中心差變化曲線,如圖1所示。

圖1 《太陽歷數(shù)書》等歷法中的月亮中心差曲線Fig.1 Figure of luanr eauqtion of center in the Saura Siddhānta and the other systems

從表3和圖1可以看出,上述六部歷法中的月亮中心差曲線的振幅均小于理論曲線的振幅,而且在這六部歷法中,《乾象歷》月亮中心差曲線在遠(yuǎn)地點(diǎn)之前的振幅較大,在遠(yuǎn)地點(diǎn)之后的振幅較小,差別比較明顯,《寶莉莎歷數(shù)書》月亮中心差曲線振幅最小,其他四部歷法中的月亮中心差曲線振幅接近月亮軌道偏心率取最小值時(shí)的振幅,其曲線形狀與理論曲線形狀也比較相似。

4 結(jié) 語

通過本文的討論可以看到,在公元6世紀(jì)之前,中國和印度的天文學(xué)家都設(shè)計(jì)了月球中心差算法推求月球的真位置,月球中心差算法的設(shè)計(jì),為提高月球位置計(jì)算精度提供了保障,從而為進(jìn)一步計(jì)算日月食奠定了基礎(chǔ)。通過比較《太陽歷數(shù)書》等3部印度歷法和《乾象歷》等三部中國歷法中的月亮中心差算法,我們可以得到如下認(rèn)識:

1)中國和印度的月亮中心差算法具有不同的傳統(tǒng)?！肚髿v》等中國歷法中的月離表以表格形式逐日給出了月亮在一個(gè)近點(diǎn)月內(nèi)的各項(xiàng)數(shù)據(jù),包括月亮每日實(shí)行速、月亮每日實(shí)行速與平行速差值以及月亮中心差等。月離表充分體現(xiàn)了中國數(shù)理天文學(xué)中數(shù)表的強(qiáng)大功能,是中國古代月亮運(yùn)動(dòng)理論中的基本表格。與中國歷法中內(nèi)容豐富的月離表相比,同期印度天文學(xué)家設(shè)計(jì)的中心差算法相對比較簡單,《太陽歷數(shù)書》等三部印度歷法中的月亮中心差算法又表現(xiàn)出不同的傳統(tǒng),《太陽歷數(shù)書》采用三角函數(shù)計(jì)算月亮中心差,《寶莉莎歷數(shù)書》采用分段函數(shù)計(jì)算月亮中心差,而《羅馬伽歷數(shù)書》將一個(gè)近點(diǎn)月等分為24段,直接給出了每一段內(nèi)月亮實(shí)行分與平行分的差值。

2)古代中國和印度月亮中心差算法的起點(diǎn)不同。古代印度歷法中,一般以遠(yuǎn)地點(diǎn)作為月亮中心差算法的起點(diǎn),而中國6世紀(jì)之前的天文學(xué)家均以近地點(diǎn)作為起點(diǎn)。不過從唐代開始,部分中國歷法中的月離表也以遠(yuǎn)地點(diǎn)作為起點(diǎn),如《大衍歷》和《神龍歷》等歷法中的月離表就是以遠(yuǎn)地點(diǎn)起算的,至于這些歷法是否受到來自印度的影響,目前很難給出明顯的證據(jù)。

3)從月球中心差精度方面考慮,中國和印度所取中心差最大值均偏小。根據(jù)表3,《太陽歷數(shù)書》、《寶莉莎歷數(shù)書》和《羅馬伽歷數(shù)書》中月亮中心差的最大值分別為4.94°，4.01°和4.93°,《乾象歷》、《景初歷》和《元嘉歷》中月亮中心差的最大值分別為5.29°，5.50°和5.24°。由于月亮軌道偏心率變化較大,當(dāng)月亮軌道偏心率分別取最大值1/15,平均值0.054 9和最小值1/23時(shí),對應(yīng)的月亮中心差理論結(jié)果的最大值分別為7.66°，6.27°和4.98°。由此可以看出,《太陽歷數(shù)書》和《乾象歷》等六部歷法中月亮中心差的振幅均與月亮軌道偏心率取最小值時(shí)的理論結(jié)果比較接近,就接近的程度而言,3部中國歷法略優(yōu)于3部印度歷法。