高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

李桂林

【摘要】 隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問題在數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中越來越受到重視。導(dǎo)數(shù)實(shí)際上就是導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱，是函數(shù)當(dāng)中一個(gè)比較特殊的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的引入與使用的過程也一直貫穿著函數(shù)的問題與性質(zhì)。隨著高中數(shù)學(xué)難度的不斷加深，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用已經(jīng)由一個(gè)簡(jiǎn)單的輔助工具上升到了分析和解決問題中必不可少的一個(gè)工具。近年各省的高考試題中都以導(dǎo)數(shù)為載體來出題，考查學(xué)生們的創(chuàng)新能力與探究能力。那么在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用是怎樣體現(xiàn)的呢？

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);函數(shù)與導(dǎo)數(shù);應(yīng)用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)常見名詞，在函數(shù)的問題探究中，利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行一些問題的解決是非常有效的，在近幾年當(dāng)中，由于試題難度逐漸加深，函數(shù)方面的問題都比較有難度，為了能夠更好地解決函數(shù)問題，教師應(yīng)當(dāng)將導(dǎo)數(shù)問題與函數(shù)問題在教學(xué)中進(jìn)行一個(gè)有效的結(jié)合，讓學(xué)生們掌握利用導(dǎo)數(shù)去解決函數(shù)問題這樣一種有效的方法，從而更加有效地解決函數(shù)問題。那么如何利用導(dǎo)數(shù)去解決函數(shù)問題呢？在實(shí)際中，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)怎樣去應(yīng)用呢？

一、利用導(dǎo)數(shù)可以更好地理解函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科當(dāng)中的一個(gè)比較有難度的知識(shí)點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)的性質(zhì)問題～直是令教師感到頭痛的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，因?yàn)檫@方面的內(nèi)容比較復(fù)雜，學(xué)生會(huì)感覺到容易混雜，分不清楚，并且不會(huì)進(jìn)行應(yīng)用，因此成了教學(xué)中的一大難題，也成為學(xué)生學(xué)習(xí)中的一大阻礙。函數(shù)的性質(zhì)主要涉及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等等，這些我們其實(shí)都可以通過圖像的形式來更好地進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也可以通過圖像的方式進(jìn)行記憶。但是這只是指一些比較單一的簡(jiǎn)單的函數(shù)，如果涉及的是非基本初等函數(shù)，比如像y=x³-2x²+x-1這樣比較復(fù)雜的函數(shù)，要想通過圖像的方式來了解它的性質(zhì)就比較困難了，但是掌握了導(dǎo)數(shù)的概念與基本知識(shí)之后，學(xué)生便可以利用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的判斷與解決，利用求出的導(dǎo)數(shù)來畫出各個(gè)點(diǎn)的位置，然后根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的位置，比如拐點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等等，都可以清晰地判斷出函數(shù)的基本性質(zhì)，所以說導(dǎo)數(shù)是判斷函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)有效方法。

二、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題

函數(shù)單調(diào)性是指在一個(gè)函數(shù)中，隨著x的增大，y也增大，那么這個(gè)函數(shù)就是增函數(shù)，而如果隨著x的增大，y變小，那么這個(gè)函數(shù)就是減函數(shù)，如果具有這樣的特性，那么就說這個(gè)函數(shù)具有單調(diào)性。在證明函數(shù)單調(diào)性的過程中，我們可以使用定義來證明函數(shù)是否具有單調(diào)性，也可以利用函數(shù)的解析式來證明函數(shù)是否具有單調(diào)性，但是這些方法在操作的過程中不是太麻煩，就是會(huì)因?yàn)橐恍┬〉腻e(cuò)誤而導(dǎo)致最后的結(jié)果出現(xiàn)問題，因此這些證明的方法都不是很好。但是在學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)之后，便可以教學(xué)生用導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性的證明，這樣就可以有效簡(jiǎn)化函數(shù)單調(diào)性的問題。比如讓求解當(dāng)a>O時(shí)，函數(shù)f（x）=（x²一2x）lnx+（a一1/2）x²+2（1-a）x+a的單調(diào)性，那么在這道題中便可以引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的概念。在做這道題時(shí)，首先我們應(yīng)該求出這個(gè)函數(shù)解析式的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式f（x）=2（x-l）（lnx+a），其中x>0，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知，當(dāng)常數(shù)a大于O時(shí)，令廠f'（x）=O，可得x1=l，x2=-e^-a，此時(shí)e^-a<1，這樣就能夠很清晰地知道函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間。由這個(gè)例子可以看出，通過導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性問題可以將問題簡(jiǎn)化，傳統(tǒng)的解題方法是由f（x1） -f（x2）的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，而利用導(dǎo)數(shù)這一方法可以直接由f（x）判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而達(dá)到高效解題的效果。

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)值域、最值問題

函數(shù)的值域與最值問題一直以來都是學(xué)生們眼中的一個(gè)大難題，也是教師教學(xué)中的一大難點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中，值域與最值問題又是在考試中比較容易出現(xiàn)的一個(gè)問題，受到教育領(lǐng)域的重視。尤其是在近幾年來，函數(shù)的值域與最值問題一直是考試中的重點(diǎn)題，是學(xué)生在備考當(dāng)中一定要掌握的一類題。因?yàn)橹涤騿栴}與最值問題與導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系比較密切，不僅能夠在函數(shù)的問題當(dāng)中考查學(xué)生們的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用能力，更能夠通過這樣一道題來有效地考查學(xué)生們的探究能力與創(chuàng)新能力，因此比較容易出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)是處理函數(shù)值域與最值問題時(shí)的一個(gè)比較有效的方法。在求函數(shù)值域方面，求值域問題在高中數(shù)學(xué)考試中較為常見，而且這部分知識(shí)也可以說是學(xué)生在整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的重點(diǎn)，同時(shí)它也是教師教學(xué)的難點(diǎn)。在實(shí)際學(xué)習(xí)中，求函數(shù)值域的方法有很多，其中最簡(jiǎn)便的方法就是利用導(dǎo)數(shù)，在解題過程中，我們可以先找到問題函數(shù)f（x）的定義域是什么，然后根據(jù)函數(shù)的定義判斷其導(dǎo)數(shù)，f（x）的正負(fù)，進(jìn)而就可以簡(jiǎn)單地求出函數(shù)的值域了。而在求最值方面，以題目為例：已知f（x）=x²一2x，求這個(gè)函數(shù)在[-2，1/2]上的最值，在利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)做這道題目的時(shí)候，我們可以先根據(jù)前文說的利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的方法，求出函數(shù)解析式的導(dǎo)數(shù)，f（x），并求取它的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間，然后再推理該函數(shù)的最大值或最小值，通過這道題可以看到，利用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)中的最值問題，能夠有效簡(jiǎn)化解題的過程，不僅能夠快速計(jì)算出函數(shù)的最值，而且得出的結(jié)果還比較可靠，可以說導(dǎo)數(shù)是解決最值問題的一個(gè)有效方法。

總之，導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中解決函數(shù)問題的一個(gè)非常有效實(shí)用的方法，教師應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生良好地掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用技巧。以上便是我提出的幾點(diǎn)高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的應(yīng)用，希望能夠?qū)V大教師有所幫助。

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