數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用

韓寶燕

摘 要：系統(tǒng)地介紹了構(gòu)建數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型的方法，給出數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的典型例子。說明了一個重要結(jié)論：數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟領(lǐng)域中的使用不僅在現(xiàn)在，也必將在未來對經(jīng)濟學(xué)的研究方法及經(jīng)濟效益實現(xiàn)帶來前所未有積極推進作用。

關(guān)鍵詞：模型；經(jīng)濟；經(jīng)濟效益

當今時代是一個信息高度豐富的時代，其顯著特點之一就是數(shù)學(xué)的應(yīng)用向一切領(lǐng)域滲透，進而產(chǎn)生了許多與數(shù)學(xué)相結(jié)合的新學(xué)科或邊緣學(xué)科，如：生物數(shù)學(xué)、經(jīng)濟數(shù)學(xué)和地質(zhì)數(shù)學(xué)等。而數(shù)學(xué)建模就是為了解決各種復(fù)雜問題而誕生的一種十分有效的數(shù)學(xué)手段。當代西方經(jīng)濟就認為，經(jīng)濟學(xué)的基本研究方法，是分析經(jīng)濟變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立有效的經(jīng)濟模型，從中引申出新的經(jīng)濟原則和理論進行決策和形勢預(yù)測，運用數(shù)學(xué)建模方法更好的解決經(jīng)濟問題、獲得最佳經(jīng)濟效益。近幾年來，世界各國在經(jīng)濟方面取得的許多成就都證明：數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模會促進經(jīng)濟的發(fā)展，帶來現(xiàn)實的生產(chǎn)效益，并對經(jīng)濟決策科學(xué)化、定量化起到重要的影響作用。如果把經(jīng)濟學(xué)研究中應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度分為四個等級：特強、強、一般和弱。則可以對獲得諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎得主進行劃分：其中有56%的人可以被評為“特強”，占全體獲獎?wù)咭话胍陨?；?9%的人被評為“強”；被評為“一般”和“弱”的人共占全體獲獎?wù)叩?5%。這也從一個側(cè)面反映出數(shù)學(xué)學(xué)科于經(jīng)濟領(lǐng)域的緊密結(jié)合促使經(jīng)濟學(xué)研究更加發(fā)展，也反映出數(shù)學(xué)建模方法確實在實際的應(yīng)用領(lǐng)域取得了十分豐碩的成果?？梢灶A(yù)測，數(shù)學(xué)向經(jīng)濟領(lǐng)域的逐漸滲透，必將使得經(jīng)濟研究更加深入，經(jīng)濟活動的目的更加容易實現(xiàn)。

一、基本概念：

經(jīng)濟學(xué)，是一門研究如何有效配置與管理稀缺資源的理論。本文所涉及到的經(jīng)濟學(xué)是指廣義的經(jīng)濟學(xué)，包括宏觀經(jīng)濟學(xué)、微觀經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、市場經(jīng)濟學(xué)等。所謂的數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模，是指用來描述與所研究的經(jīng)濟現(xiàn)象有關(guān)的經(jīng)濟變量之間的依存關(guān)系的理分析方法。簡單地說，就是數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用。

運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似描述和解決經(jīng)濟活動中的實際問題，這種解決經(jīng)濟問題的強有力的數(shù)學(xué)手段就是數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模。它是對客觀經(jīng)濟事物間的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一個近似反映。它對經(jīng)濟世界的實際問題加以提煉，抽象為數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型，并求出模型的解，驗證模型的合理性，最終達到運用模型解釋現(xiàn)實經(jīng)濟問題的目的。從經(jīng)濟世界的現(xiàn)實來看，使用數(shù)學(xué)模型是經(jīng)濟問題的描述變得清晰，語言精煉；邏輯推理嚴密精確，可以防止漏洞和謬誤，避免研究者被表面現(xiàn)象所蒙蔽；證明數(shù)據(jù)的數(shù)量化使得實際證明更具一般性和系統(tǒng)性；數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模方法的使用是經(jīng)濟學(xué)研究者從已經(jīng)有的數(shù)據(jù)中最大程度的獲取有用的信息?？梢允菇?jīng)濟研究得到以前僅靠知覺和言語描述無法或不易得到的新結(jié)論；也使得國際間對數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模的交流和溝通更加便捷

二、構(gòu)建經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的方法步驟

一般來說，對于經(jīng)濟學(xué)問題，構(gòu)建一個合理有效的數(shù)學(xué)模型主要有以下步驟。

（1）深入了解實際問題，以及與問題有關(guān)的背景知識。

（2）根據(jù)研究的目的和任務(wù)，對所要研究的現(xiàn)象進行全系統(tǒng)的周密調(diào)查，以獲取大量的數(shù)據(jù)資料，并對數(shù)據(jù)進行分組整理。

（3）通過假設(shè)把所要研究的實際問題簡化、抽象，明確模型中諸多的影響因索，并找出主要因索，用數(shù)量和參數(shù)來表示這此因索。運用數(shù)學(xué)知識來描述問題中變量參數(shù)之間的關(guān)系，初步列出數(shù)學(xué)關(guān)系式。

（4）對數(shù)學(xué)關(guān)系式進行簡化、合并，最終確立數(shù)學(xué)模型。

（5）使用已知數(shù)據(jù)及觀測數(shù)據(jù)，利用相關(guān)數(shù)學(xué)方法求出所建模型中參數(shù)的估計值，從而確定模型。

（6）對所確定的模型參數(shù)進行偏差分析，把模型的結(jié)果與實際觀測進行分析比較，以考察模型是否符合實際問題。若偏差較大，模型必須進行調(diào)整修改，重復(fù)前面的建模過程，直到建立出一個經(jīng)檢驗符合實際問題的模型。

數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模還可以用流程那樣簡明的形式來表示，概括起來，流程是由下面一些步驟組成的。

1.對現(xiàn)實經(jīng)濟問題的原始背景有深刻的了解和深入細致的觀察，并從中抽出最本質(zhì)特征的東西。即抓住主要因素，暫不考慮次要因素。從而得到原始問題的一個簡化了的理想化的自然模型。

2.根據(jù)已經(jīng)掌握的經(jīng)濟信息直接翻譯為數(shù)學(xué)術(shù)語，把理想化的自然模型表示成一個數(shù)學(xué)研究的題材———數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型。

3.運用數(shù)學(xué)知識，得到關(guān)于這個模型的一個解。這一步要求對某些數(shù)學(xué)技巧具有一定的基礎(chǔ)知識。為管理類的學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，提供了用武之地。

4.用理想化自然模型的術(shù)語對所得的解進行解釋和說明。

5.根據(jù)問題的原始背景對所得的解進行解釋和說明。

6.所得結(jié)果的有效性要加以驗證。如果由模型算出的理論值與實際值比較吻合，則模型是成功的。如果理論值與實際值差別很大，則模型是失敗的。如果理論值與實際值部分吻合，則應(yīng)找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。

三、數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模的價值

（1）經(jīng)濟科學(xué)的發(fā)展需要數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用

在《經(jīng)濟分析基礎(chǔ)》的中文版序言中，薩繆爾森說，不使用數(shù)理經(jīng)濟學(xué)方法是“不能使人超越經(jīng)濟科學(xué)的幼兒園的”。在現(xiàn)代，經(jīng)濟理論工作者越來越清晰地認識到，經(jīng)濟理論研究中級僅靠過去普遍使用的語言文字描述方法進行思辨式推理和分析，很難保證所研究的問題的規(guī)范性和推理邏輯的統(tǒng)一性和嚴密性，自然也就很難保證研究結(jié)果的準確性、易證性和理論體系的嚴密性。這就很不利于經(jīng)濟科學(xué)知識準確地交流和傳播。而數(shù)學(xué)建模方法的使用，能使經(jīng)濟學(xué)研究對象準確具體、經(jīng)濟變量間的關(guān)系的數(shù)量化和確保邏輯推理過程的嚴密性，并最終在理論上保證所得結(jié)果準確具體。從而使所研究的經(jīng)濟理論建立在堅實的數(shù)學(xué)科學(xué)基礎(chǔ)上，進而促進經(jīng)濟科學(xué)的不斷發(fā)展。

經(jīng)濟年來，數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展，而且對經(jīng)濟學(xué)的的長足發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響。例如投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟控制模型、經(jīng)濟增長模型、博弈論模型等都是利用數(shù)學(xué)建模方法來解決或解釋實際的經(jīng)濟問題的，它們對現(xiàn)代經(jīng)濟科學(xué)的發(fā)展做出了十分重要的貢獻。

（2）數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用使經(jīng)濟研究方法更加嚴密

縱觀經(jīng)濟學(xué)發(fā)展，會清楚的發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟學(xué)的每一次重大突破，都與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系。投入與產(chǎn)出模型的應(yīng)用，使國民經(jīng)濟各部門在生產(chǎn)過程中相互依存、相互制約的經(jīng)濟技術(shù)聯(lián)系更加明確；最優(yōu)化經(jīng)濟模型，是現(xiàn)代經(jīng)濟管理者在作出計劃安排、資源分配和最優(yōu)組合等決策時最常用到的數(shù)學(xué)工具；計量經(jīng)濟模型的應(yīng)用，使經(jīng)濟理論的研究有了重要的突破；在運用了博弈論之后，對不去認定性問題的分析就有了突破性的進展。數(shù)學(xué)建模方法不斷的應(yīng)用于經(jīng)濟學(xué)的過程，強化了經(jīng)濟學(xué)與數(shù)學(xué)的聯(lián)系。與此同時，也在不斷改變著經(jīng)濟理論研究者的思維方式和行為習(xí)慣，使人們的思維和行為更具嚴謹和定量的特性。因為數(shù)學(xué)是最嚴謹?shù)囊环N邏輯形式，而又有一些人在運用語言是容易邏輯不清。這就要求經(jīng)濟理論工作者在論述和交流中，從以往使用語言文字描述轉(zhuǎn)變?yōu)槭褂脭?shù)學(xué)語言描述。就是應(yīng)為數(shù)學(xué)語言比較簡練，表達概念時比較準確，聽的人也比較容易明白。并且數(shù)學(xué)語言具有邏輯嚴謹、沒有歧義和容易證明的優(yōu)點。

四、典型數(shù)學(xué)經(jīng)濟模型及其經(jīng)濟效益分析----生產(chǎn)計劃問題模型

一家公司計劃制造兩種計算機產(chǎn)品：兩種計算機使用相同的未處理芯片，但是其中一種使用27英寸的顯示器，而另一種使用的是31英寸的顯示器，除了40萬元的固定費用外，每臺使用27英寸顯示器的計算機花費1950元 ，而使用31英寸顯示器的計算機需要花費2250元。制造商建議每臺使用27英寸顯示器的計算機零售價定為3390元，而使用31英寸的零售價為3990元。據(jù)營銷人員估計，在這些計算機的銷售市場上，一種類型的計算機每多銷售出一臺，每臺的價格就下降0.1元。此外，兩種類型的計算機的銷售會互相影響：每銷售一臺使用31英寸顯示器的計算機，估計使用27英寸顯示器的計算機的零售價會下降0.03元；每銷售一臺使用27英寸顯示器的計算機，估計使用31英寸顯示器的計算機的銷售價格會下降0.04元?，F(xiàn)假設(shè)所有的計算機都可以銷售出去，那么應(yīng)該公司安排生產(chǎn)計劃，才能時期生產(chǎn)利潤達到最大？

（1）模型分析

這是一個優(yōu)化問題，其目標是使利潤最大化，要做的決策是如何安排生產(chǎn)計劃。即使用31英寸顯示器的計算機應(yīng)該生產(chǎn)多少臺，使用27英寸顯示器的計算機應(yīng)該生產(chǎn)多少臺。有兩個條件限制決策：一種類型的計算機每多銷售出一臺，它的價格就會下降0.1元；一臺類型的計算機的銷售也會影響另一種類型計算機的銷售。

（2）模型假設(shè)

1.設(shè)使用27英寸顯示器的計算機生產(chǎn)x1臺，使用31英寸顯示器的計算機生產(chǎn)x2臺。

2.pi為xi的零售價格，R為兩種計算機的零售收入，C為計算機制造成本，P為計算機零售的總利潤。

3.制造的所有計算機都可以售出。

4.每種類型的計算機的零售價都受自身臺數(shù)以及另一種類型臺數(shù)的影響，當兩種類型的計算機的臺數(shù)已經(jīng)確定時，則兩種計算機的零售價格也相應(yīng)的被確定。

（3）建立模型

約束條件：

，

，

兩種計算機總的零售收入： ，

兩種計算機總的的制造成本：

，

于是，所求的使獲利最大的目標函數(shù)為：

。

（4）求解模型

由于目標函數(shù)是一個非線性方程，故可以將該模型輸入相關(guān)軟件求解。輸出結(jié)果為： ，即生產(chǎn)4736臺使用27英寸顯示器的計算機，7063臺使用31英寸顯示器的計算機時可以使獲利最大。

五、前景展望

數(shù)學(xué)經(jīng)濟建模在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用已經(jīng)取得了豐碩的成果，經(jīng)濟學(xué)研究方法不斷改進更新，不斷貼近實際，不斷為使用者帶來可觀的經(jīng)濟效益。在這樣的現(xiàn)實世界的經(jīng)濟大背景下，數(shù)學(xué)建模方法的應(yīng)用在經(jīng)濟領(lǐng)域中已經(jīng)占有相當重要的影響地位，并且在未來這種趨勢將更加明顯。數(shù)學(xué)建模方法在經(jīng)濟領(lǐng)域中的使用不僅在現(xiàn)在，也必將在未來對經(jīng)濟學(xué)的研究方法及經(jīng)濟效益實現(xiàn)帶來前所未有積極推進作用。

六、總結(jié)

數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟方面的應(yīng)用在整合數(shù)學(xué)模型與經(jīng)濟基礎(chǔ)知識的前提下，對不同的經(jīng)濟狀況進行了，本篇論文在總結(jié)數(shù)學(xué)模型的歷史背景下，對數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用進行了整理和總結(jié)。這篇論文的本意是總結(jié)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用，在將數(shù)學(xué)模型應(yīng)用在經(jīng)濟領(lǐng)域的同時，希望在其他領(lǐng)域也有所涉獵。因為現(xiàn)在是數(shù)據(jù)時代，我們生活中處處圍繞著數(shù)據(jù)，運用數(shù)學(xué)模型分析復(fù)雜的數(shù)據(jù)并應(yīng)用到實際中將為我們的生活提供很大的幫助和便利。

參考文獻

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