例析函數(shù)的值域求解策略

薛志成

[摘? ? ? ? ? ?要]? 函數(shù)的解析式形式多種多樣，各不相同，函數(shù)值域的求法也就各種各樣，這無疑給函數(shù)值域的求解帶來了很大的難度。如何準確、高效地求解所給函數(shù)的值域，顯得尤為重要。通過一些典型的例子，分析函數(shù)值域的求解策略。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 函數(shù);值域;求解;策略

[中圖分類號]? O714? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）09-0090-02

函數(shù)是中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于課程前后所有章節(jié)，是對口升學(xué)高考的重要知識點之一。它不僅與方程和不等式有著本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，而且作為一種重要的思想方法，在所有內(nèi)容中都起著重要的作用。函數(shù)的值域就是函數(shù)值的取值范圍，它雖然由函數(shù)的兩要素：定義域和對應(yīng)法則，完全確定，但求解值域比求解定義域要困難得多。因此如何準確、高效地求解函數(shù)的值域顯得尤為重要。

求函數(shù)值域的常用方法有：配方法、換元法、判別式法、圖像法、利用函數(shù)的單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法等眾多方法。用哪一種方法呢？大多數(shù)學(xué)生在解題時總會盲目亂套，或者一種方法一種方法地去嘗試，從而求解效率低，事倍功半。根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，我發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)這種問題的原因是沒有把握好函數(shù)的特點。實際上，抓住了函數(shù)解析式自身的特點，運用相應(yīng)的策略去求解函數(shù)的值域是輕而易舉的事。

策略1.靜而觀之——觀察法

有的函數(shù)解析式并不復(fù)雜，令人一目了然。求解這些函數(shù)的值域時千萬不能盲目出手，如果僅抱著為做題而做題的態(tài)度，不但浪費了時間，影響了解題速度，還會弄巧成拙。俗話說得好：殺雞焉用宰牛刀。如果碰到這類函數(shù)，我們就靜而觀之，小題小做，可以嘗試通過基本初等函數(shù)的值域以及不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識直接觀察出所求函數(shù)的值域。

例2.求函數(shù)y=x4-3x+1的值域。

解析：這道題給人的第一印象是所給函數(shù)的解析式是二次函數(shù)的變式，即y=x4-3x+1=（x2）2-3x2+1，我們二話不說，毫不猶豫，“思維定勢”，大膽地運用配方法，一定會解決問題的。

策略3.起伏有定——單調(diào)性法

若函數(shù)在某個區(qū)間有單調(diào)性，反映在圖像上是上升的或下降的，則可用單性法一招致勝。

對函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1，x2且x1f（x2），那么函數(shù)f（x）在區(qū)間I上是減函數(shù)。即函數(shù)值隨著自變量的增大而增大者為增函數(shù)，函數(shù)值隨著自變量的增大而減小者為減函數(shù)。我們恰好可以利用函數(shù)單調(diào)性的這一特性來求解函數(shù)的值域。

策略4.偷梁換柱——換元法

有些函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，是若干個基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，一時難以入手，可以通過換元轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)，再進行求解。

解x=0時，y=0

策略6.一錘定音——判別式法

如果要求行如y=（a，d不同時為零）的函數(shù)的值域，可將其解析式變形為關(guān)于x的一元二次方程F（x，y），通過方程有實根，判別式？駐≥0，從而求得原函數(shù)的值域。

x∈R，即上述關(guān)于x的一元二次方程有實根

∴？駐=[2（y-2）]2-4（y-2）（3y+7）≥0

策略7.逆道而行——反函數(shù)法

一般的，設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈A）的值域是C，根據(jù)這個函數(shù)中x，y的關(guān)系，用y把x表示出，得到x=φ（y）。若對y在C中的任何一個值，通過x=φ（y），x在A中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么，x=φ（y）就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=φ（y）（y∈C）叫作函數(shù)y=f（x）（x∈A）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）.反函數(shù)y=f-1（x）的定義域、值域分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域.

我們正好可以用“反函數(shù)y=f-1（x）的定義域、值域分別是函數(shù)y=f（x）的值域、定義域”這一特性，通過求已知函數(shù)的反函數(shù)的定義域來求解已知函數(shù)的值域。

策略8.走捷徑——導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，同時導(dǎo)數(shù)也是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具，因此利用導(dǎo)數(shù)巧解函數(shù)的值域往往是非常理想的，

策略9.數(shù)形結(jié)合——圖像法

對一些函數(shù)（如二次函數(shù)、分段函數(shù)等）的求值域問題，我們可以借助直觀形象的函數(shù)圖像來觀察其函數(shù)值的變化情況，再有的放矢地通過函數(shù)解析式求函數(shù)最值，確定函數(shù)值域，用數(shù)形結(jié)合法，使運算過程大大簡化.

其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離公式、直線斜率等，這類題目若運用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。

例10.求函數(shù)y=x2+2x-3，-2≤x<0x2-2x-3，0≤x≤3的值域。

先畫出函數(shù)的大體圖像，顯而易見，所求函數(shù)的值域為[-4，0].

上面，我結(jié)合自己的日常教學(xué)經(jīng)驗給出了函數(shù)值域的九種求解策略，各有各的適用情形，各有各的妙處。當(dāng)然，教無定法，學(xué)也無定法，自然，求函數(shù)的值域一定還有許許多多的好方法、巧妙方法和新奇方法，待有志者作進一步的探討與研究。

總之，函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，且貫穿在數(shù)學(xué)的始終，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應(yīng)用。而函數(shù)值域的求解，則是對函數(shù)兩要素的深化，考驗著一個學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力，可謂眼觀六路、耳聽八方。所以，要作為一名合格的數(shù)學(xué)教師，不僅要善于啟發(fā)學(xué)生多思多想，還要引導(dǎo)學(xué)生平時留心多歸納。熟能生巧之時策略自然如泉涌，有的放矢，方可一針見血。

參考文獻：

[1]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）上冊[M].3版.高等教育出版社，2018.

[2]李廣全，李尚志.數(shù)學(xué)（基礎(chǔ)模塊）下冊[M].修訂版.高等教育出版社，2013.