易奇志 陳玲
摘 ? 要:本文用定性理論的方法對(duì)一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維截?cái)嗄P瓦M(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析,主要是探究其整體吸引集的存在性。從模型可見(jiàn),由于該模型包含了著名的動(dòng)力學(xué)方程——Lorenz方程,它有奇怪吸引子。在的條件下,我們運(yùn)用兩種不同的證明方法,并通過(guò)計(jì)算散度,得到了該系統(tǒng)在a=1時(shí)有測(cè)度為0的整體吸引集。由證明過(guò)程可見(jiàn),第二種方法比較簡(jiǎn)潔方便。
關(guān)鍵詞:對(duì)流方程 ?定性理論 ?吸引集
中圖分類號(hào):O41 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào):1674-098X(2019)02(c)-0247-02
對(duì)流擴(kuò)散方程是一類基本的運(yùn)動(dòng)方程,在眾多領(lǐng)域中有著廣泛的運(yùn)用,比如應(yīng)用于環(huán)境科學(xué)、流體力學(xué)、能源開(kāi)發(fā)等領(lǐng)域。關(guān)于對(duì)流擴(kuò)散方程的理論研究和數(shù)值計(jì)算也吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注[1-3]。在文獻(xiàn)[3]中,周煥文、胡開(kāi)堅(jiān)通過(guò)一個(gè)截?cái)喙讲⒆鲞m當(dāng)?shù)淖儞Q,得到一個(gè)推廣的對(duì)流方程的5維模型,如下:
(1)
取定其參數(shù)和初始條件進(jìn)行值實(shí)驗(yàn),得到相圖在x1-x5平面上的投影是一個(gè)Lorenz奇怪吸引子,直觀地看到了該模型的一些復(fù)雜性態(tài),但未見(jiàn)對(duì)此模型的理論分析,考慮到該模型參數(shù)的實(shí)際意義:σ為Prandtl常數(shù),σ>0,s為無(wú)切變因素,b是常參數(shù),b>0,r是Rayleigh數(shù),r>0,a是常參數(shù),a>0。本文將在此條件下用定性理論的方法對(duì)該模型進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,用兩種方法可以得到:當(dāng)a=1時(shí),系統(tǒng)有測(cè)度為0的整體吸引集。
1 ?a=1時(shí)的吸引集
該模型必有奇怪吸引子存在,因?yàn)榱?,該模型成為L(zhǎng)orenz方程,有奇怪吸引子.那么,我們要問(wèn):在其他情況下,是否有吸引子[4-5]。
2 ?結(jié)語(yǔ)
對(duì)于比較復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng),要揭示其動(dòng)力學(xué)性質(zhì),一般可以從理論分析和數(shù)值計(jì)算兩個(gè)方面來(lái)進(jìn)行。通過(guò)定性理論的分析方法,我們對(duì)于系統(tǒng)(1)的全局性態(tài)有了更進(jìn)一步的了解,證得在一定條件下,系統(tǒng)有Lebesgue測(cè)度為0的整體吸引集。但是該系統(tǒng)還有很多復(fù)雜的性態(tài)尚未揭示出來(lái),為了更深入的了解它,可以進(jìn)一步進(jìn)行平衡點(diǎn)分析,分叉分析,中心流形分析,這些工作將有助于我們更好地把握該系統(tǒng)的全局特征和局部特征。
參考文獻(xiàn)
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[5] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York: Springer-Verlag World Publishing Corp,1990.