具捕殺效應(yīng)的SEI狂犬病模型的空間動(dòng)力學(xué)分析

孟悅 朱家楨 林支桂

摘 要： 為討論針對(duì)性的捕殺對(duì)狂犬病傳播的影響，研究了一類具捕殺效應(yīng)的易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）狂犬病模型.通過(guò)相應(yīng)的特征值問(wèn)題，引入基本再生數(shù)，并利用上下解方法建立了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.結(jié)果表明：有針對(duì)性的捕殺對(duì)狂犬病的控制和預(yù)防起著重要的作用.

關(guān)鍵詞： 易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）狂犬病模型; 捕殺效應(yīng); 基本再生數(shù); 穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)： O 715.26文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A文章編號(hào)： 1000-5137（2019）02-0113-07

1 具捕殺效應(yīng)的狂犬病模型

狂犬病是感染中樞神經(jīng)系統(tǒng)的狂犬病毒所導(dǎo)致的急性傳染病，是一種人畜共患病，主要通過(guò)撕咬等直接接觸傳播，多發(fā)生于犬、狐貍、狼等動(dòng)物，人患狂犬病主要由狗傳染導(dǎo)致.狂犬病沒(méi)有有效的治療手段，一旦到臨床階段，死亡率近100%.因此，狂犬病對(duì)人類來(lái)說(shuō)是一大威脅.為了更好地預(yù)防和控制狂犬病，人們建立了大量的數(shù)學(xué)模型來(lái)研究狂犬病的傳播機(jī)理.

MURRAY等[1]研究了一類狐貍間狂犬病空間傳播的易感者-潛伏期感染者-已經(jīng)感染者（SEI）擴(kuò)散模型

其中，S，E和I分別表示易感狐貍、感染的但沒(méi)有傳染性的狐貍和已感染狂犬病的狐貍的密度，N=S+E+I，是t時(shí)刻單位面積上的狐貍總數(shù)，D是擴(kuò)散系數(shù)，a是出生率，b是內(nèi)稟死亡率，K是環(huán)境容納量，β是疾病傳播系數(shù)，σ是狐貍從感染到傳染的轉(zhuǎn)化率，α是患病狐貍的病死率，（a-b）N/K表示食物耗盡導(dǎo)致的狐貍死亡率.假設(shè)a>b，以確?？沙掷m(xù)的種群規(guī)模.

事實(shí)上，狂犬病作為動(dòng)物傳染病，主要受環(huán)境異質(zhì)性與棲息地的空間分布影響[2-3]，疾病傳播系數(shù)、無(wú)病平衡點(diǎn)和擴(kuò)散系數(shù)都與空間有關(guān).此外，狂犬病的空間控制行為，如捕殺和接種疫苗[4-5]，導(dǎo)致種群的死亡率和無(wú)病平衡點(diǎn)與空間有關(guān).因此，在式（1）的基礎(chǔ)上，擴(kuò)散系數(shù)D（x）、疾病傳播系數(shù)β（x）和患病狐貍的死亡率α（x）也均與空間有關(guān).

人為控制狂犬病的傳播通常有捕殺、免疫和捕殺-免疫相結(jié)合3種方法.對(duì)于野生狐貍，強(qiáng)制免疫需要損耗大量的人力和物力，因而本研究主要考慮針對(duì)性地捕殺患病狐貍對(duì)狂犬病傳播的影響.為了考察捕殺和空間環(huán)境異質(zhì)性在狂犬病傳播和預(yù)防過(guò)程中的影響，研究如下反應(yīng)擴(kuò)散問(wèn)題：

2 基本再生數(shù)

在此引入基本再生數(shù)R0，并且分析其性質(zhì).基本再生數(shù)在傳染病學(xué)上是反映疾病是否蔓延或消退的重要閾值，因而研究基本再生數(shù)的性質(zhì)對(duì)理解狂犬病模型的動(dòng)力學(xué)行為有著重要的意義.

易知系統(tǒng)（2）存在無(wú)病平衡點(diǎn)（0，0，K）.將系統(tǒng)（2）的前3個(gè)方程在（0，0，K）處線性化后得

線性化后的第三個(gè)方程與前兩個(gè)方程不是耦合的，因此只需考慮前兩個(gè)方程.下面首先考慮如下的特征值問(wèn)題：

定理結(jié)論中1）的單調(diào)性證明類似于文獻(xiàn)[7]中的推論2.3，結(jié)論2）和3）的單調(diào)性由R0的表達(dá)式直接得到.

3 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

在討論無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性前先給出問(wèn)題（2）上下解的定義.

定義1

假設(shè)R0<1，則問(wèn)題（2）的無(wú)病平衡點(diǎn)（0，0，K）是局部漸近穩(wěn)定的.

引理2

問(wèn)題（5）有一個(gè)實(shí)的主特征值λ*和正的特征函數(shù).

證明

將問(wèn)題（5）改寫(xiě)為等價(jià)形式

因此，對(duì)任意固定的x∈Ω，當(dāng)t→∞時(shí)，E（x，t）和I（x，t）趨向于∞，這與式（10）矛盾.定理證畢.

通過(guò)上述結(jié)論，可以發(fā)現(xiàn)有針對(duì)性地捕殺對(duì)狂犬病傳播控制起著重要的作用.當(dāng)捕殺力度k較小時(shí)，R0>1，由定理2，無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，意味著當(dāng)捕殺力度減弱，狂犬病可能持續(xù).而當(dāng)捕殺力度k較大時(shí)，由定理1，隨著時(shí)間的推移，感染狐貍E（x，t）和患病狐貍I（x，t）快速消退，且易感狐貍S（x，t）收斂于正穩(wěn)態(tài)解，故可以通過(guò)加強(qiáng)捕殺患病狐貍的力度來(lái)控制狂犬病的傳播.

參考文獻(xiàn)：

MURRAY J D，STANLEY E A，BROWN D L.On the spatial spread of rabies among foxes [J].Proceedings of the Royal Society of London：Series B，1986，229：111-150.

REAL L A，CHILDS J E.Spatial-Temporal Dynamics of Rabies in Ecological Communities，in Disease Ecology：Community Structure and Pathogen Dynamics [M].Oxford：Oxford University Press，2006.

SMITH D L，LUCEY B，WALLER L A，et al.Predicting the spatial dynamics of dabies epidemics on heterogeneous landscapes [J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2002，99：3668-3672.

ROSATTE R C，TINLINE R R，JOHNSTON D H.Rabies Control in Wild Carnivores，in Rabies [M].New York：Academic Press，2007.

SHEN W，YI Y.Convergence in almost periodic fisher and kolmogorov models [J].Journal of Mathematical Biology，1998，37：84-102.

ZHAO X Q.Dynamical Systems in Population Biology [M].New York：Springer，2017.

CANTRELL R S，COSNER C.Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations [M].New York：John Wiley & Sons Ltd.，2003.

WANG W，ZHAO X Q.Basic reproduction numbers for reaction-diffusion epidemic models [J].SIAM Journal on Applied Dynamical Systems，2012，11：1652-1673.

（責(zé)任編輯：馮珍珍）