中美兩國線性代數(shù)課程教學過程的比較研究

張莉 袁安鋒 易瑾

摘 ? 要：本文以美國亞利桑那州立大學與北京聯(lián)合大學為例，通過對比分析線性代數(shù)課程的課程設置、教學內容、教學過程、師資力量以及考核方式等方面，揭示了兩者之間的不同與相同之處以及美國線性代數(shù)課程的優(yōu)點，借此促進我國線性代數(shù)課程建設和教學改革。

關鍵詞：線性代數(shù) ?教學過程 ?比較研究

中圖分類號：O151.2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）02（a）-0210-02

線性代數(shù)課程是國內外高等院校一門重要的基礎課，不僅是數(shù)學專業(yè)的重要基礎課，也是經(jīng)管專業(yè)，農(nóng)醫(yī)專業(yè)，計算機專業(yè)等的一門重要的公共基礎數(shù)學類課程。隨著計算機技術的快速發(fā)展，用線性代數(shù)的方法解決實際問題已經(jīng)滲透到現(xiàn)代科學、技術、經(jīng)濟、管理等各個領域，尤其是計算機、通信、電子等領域。這門課程已經(jīng)從一門抽象的理論學科發(fā)展成為其它學科的基礎，它對培養(yǎng)學生的抽象思維能力、解決實際問題的能力以及學習后繼專業(yè)課程都有著重要的作用。現(xiàn)如今，雖然必修這門課程的學生絕大多數(shù)已是非數(shù)學系的，但它卻仍然沿用以前為數(shù)學系設計的課程大綱，矩陣模型及相關的計算機使用被極度忽視。非數(shù)學專業(yè)學生對這門課的反映是抽象、冗繁、枯燥、不知何用，“有用的不教，教了的沒用”。

國內外線性代數(shù)課程的教學都具有比較悠久的歷史，但由于文化背景、科技發(fā)展等差異，導致在教學上有所不同。筆者一直從事線性代數(shù)課程的教學工作，并且曾經(jīng)作為訪問學者前往美國亞利桑那州立大學訪問學習。亞利桑那州立大學是美國學生人數(shù)最多的大學之一?，F(xiàn)有在校本科生、研究生及職業(yè)學生8萬多名，共擁有22個學院，2016年及2017年，該校連續(xù)兩年被U.S. News & World Report 評為美國最具創(chuàng)新力大學。在訪問學習期間，筆者深入了解該校線性代數(shù)課程的教學過程，并與國內的線性代數(shù)課程的教學進行了比較分析。本文對美國亞利桑那州立大學的線性代數(shù)課程與北京聯(lián)合大學的線性代數(shù)課程從課程設置、教學內容、教學過程、考核方式等方面做了一些比較分析，并且為國內線性代數(shù)課程的教學改革提供理論依據(jù)。

1 ?課程設置的比較

在北京聯(lián)合大學，工科類專業(yè)以及經(jīng)管類專業(yè)均開設了線性代數(shù)課程，具體開設的課程有《線性代數(shù)》（3學分）、《線性代數(shù)（I）》（2學分）、《線性代數(shù)（II）》（2學分），每個班級一般60人左右，《線性代數(shù)》（3學分）、《線性代數(shù)（I）》（2學分）一般在一年級下學期開設，屬于必修課程，而《線性代數(shù)（II）》（2學分）在三年級下學期開設，學生可以根據(jù)自己的學習需求情況進行選修。在亞利桑那州立大學的春季、夏季、秋季學期，每個學期均會開設線性代數(shù)課程。根據(jù)專業(yè)的不同，課程的設置也存在著差異。只要是在校學生均可以選修線性代數(shù)基礎，同時，還開設了《線性代數(shù)應用》、《線性代數(shù)與凸優(yōu)化》、《工程學中的線性代數(shù)》等，滿足了學生的不同需求。一般一次課是50min或者75min，一周兩次課，課程不同，班級人數(shù)也不同。另一方面，除了理論課，《線性代數(shù)應用》還有相應的實驗課，實驗課一周一次，小班教學。學生可以根據(jù)自己的學習情況、專業(yè)情況確定上課時間以及學習的課程。

從課程設置上看，北京聯(lián)合大學的線性代數(shù)課程涉及到的專業(yè)較廣，包括旅游學院，管理學院，機器人學院等幾乎所有的學院均開設了此門課程，體現(xiàn)了該門課程的基礎性與重要性。亞利桑那州立大學的線性代數(shù)課程設置比較多樣化。在進行課程設置時也考慮了專業(yè)的不同需求，學生可以根據(jù)自己的專業(yè)特點以及個人興趣進行選課。

2 ?課程教材與教學內容的比較

北京聯(lián)合大學線性代數(shù)課程使用的是同濟大學數(shù)學系主編的國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)（第六版）》。這本教材的編排緊湊，條理清楚，邏輯推理嚴密，教師易于安排教學內容，學生易于從整體上把握線性代數(shù)的基本理論和方法。3學分的線性代數(shù)共有48學時，主要講授行列式、矩陣及其運算、矩陣的初等變換與線性方程、向量組的線性相關性、相似矩陣及二次型等?！毒€性代數(shù)（I）》主要介紹一些關于行列式、矩陣、線性方程的基本知識，而《線性代數(shù)（II）》則是《線性代數(shù)（I）》的后繼學習，是在學生初步掌握這門課的理論與方法的基礎上的再提高，為學生進一步深造提供必要的知識和能力儲備。

在亞利桑那州立大學，線性代數(shù)課程的大部分的教學內容主要是任課教師根據(jù)教材《線性代數(shù)及其應用》（David C. Lay編）而定的。這本教材包括取材廣泛的應用案例，涉及到工程學、計算機科學、數(shù)學、物理學、生物學、經(jīng)濟學和統(tǒng)計學等眾多學科。課后的習題量也比較大，除了常規(guī)的計算題，證明題，還有應用題。在教學過程中，任課教師根據(jù)學生的特點、專業(yè)課程的進度安排授課的內容。由于線性代數(shù)這門課程的計算量比較大，教師在任課過程中不提倡將主要精力花費在計算上。并且在《線性代數(shù)及其應用》這本教材的配套CD中包括常用的數(shù)學軟件，工具（Maple， Mathematica， TI，HP圖形計算器）的使用方法，也提供了教材中全部數(shù)值計算的數(shù)據(jù)，從而大大節(jié)省了計算時間，使學生能夠把主要精力放在基本概念的理解與算法上。在線性代數(shù)課程的實驗課上，學生可以利用所學習的線性代數(shù)知識以及數(shù)學軟件解決一些實際問題。

從教學內容上，相對而言，北京聯(lián)合大學的教學更偏重于理論教學，難度較深。在教學過程中，不僅涉及到計算，也涉及到證明，可以鍛煉學生的邏輯思維能力與數(shù)學分析能力。亞利桑那州立大學的線性代數(shù)課程的教學比較偏重于實踐教學，學生只要掌握住基本的概念與算法，大量的計算都是依靠計算機完成。如四階行列式的計算，在國內，學生是要手算，將其一步一步地化成上三角或者下三角行列式，然后再進行計算，但是在亞利桑那州立大學，這個的計算由學生使用數(shù)學軟件完成。

3 ?教學過程的比較

開學初的第一次課，都比較相似。一般情況下，任課教師會進行自我介紹，包括聯(lián)系方式、辦公地點、答疑輔導時間、本學期的教學大綱、進度安排、學習要求、作業(yè)要求、課堂要求、考核要求等。

北京聯(lián)合大學的線性代數(shù)課程的教學，主要采用傳統(tǒng)的授課方式——講授式教學，以教師為主體，主要依靠教師的講解。在教學過程中，一般是多媒體計算機與板書相結合，主要的定理以及例題都放在PPT里，對其的講解過程采用黑板板書，注重培養(yǎng)學生的邏輯推理能力和抽象思維能力。教師在教學中，講課深入淺出，條理清楚，結構嚴謹，一般先復習上一次課程的主要知識點，然后再講授此次課程的內容。由于教學計劃的安排，每一次課堂的教學內容都比較多。

在亞利桑那州立大學，大多數(shù)線性代數(shù)任課教師也是采用多媒體計算機與黑板板書相結合的形式教學。但是在教學中，一般遵循著提出問題-解決問題-得出結論的過程，通過數(shù)形結合的方法對概念，定理進行講解，讓學生對所學習的知識與方法進行思考，鼓勵學生主動解決問題。在教學過程中，經(jīng)常對班級的學生進行分組，每個小組合作完成一個關于課堂知識點的項目。在課堂上，學生自己走上講臺，將解決問題的方法與結論介紹給同學，其他同學再對此提出問題。同時，在授課過程中，教師注重對知識點的應用，因此，這也極大調動了學生學習的積極性。

從教學過程來看，兩者有很大的差異。在亞利桑那州立大學，線性代數(shù)課程中定理的證明以及計算所占的比重不大，學生可以在課下通過自學學習嚴格的理論證明。這樣既培養(yǎng)了學生獨立思考的能力，也增強了學生數(shù)學的自學能力。另一方面，通過分組討論，進行編程、建模，也培養(yǎng)了學生的實際動手能力與團隊合作精神。學生通過所學習的理論知識，進行解決實際問題，成為真正的“用數(shù)學者”。

4 ?師資方面的比較

北京聯(lián)合大學的線性代數(shù)課程的任課教師都是數(shù)學專業(yè)、學歷為碩士研究生或者博士研究生的畢業(yè)生，在數(shù)學方面都有一定的深入研究，并且都具有高校教師資格證。新教師在正式走上講臺之前都經(jīng)過各種培訓學習。在亞利桑那州立大學，一般任課教師也是由教授、副教授、講師組成，但是，在讀的研究生以及辦公室人員也可以承擔部分課程。學校也會短期或者長期通過支付一定薪酬的方式招聘一些畢業(yè)生或者其他學校的教師擔任此課程的任課教師。兩所學校對任課教師的要求都比較高。任課教師要有較高的教學能力，承擔教學的研究生對所講授的內容要有很好的理解與把握，能夠解答教學中可能出現(xiàn)的來自學生所遇到的各種疑惑和提出的各種問題。

5 ?考核方式的比較

北京聯(lián)合大學的線性代數(shù)課程的最終成績由兩部分構成：平時成績與期末考試成績。其中，平時成績占總評成績的50%，包括作業(yè)成績、考勤成績、小測成績、期中成績、讀書筆記等;期末考試成績占50%。亞利桑那州立大學的線性代數(shù)課程的考核也是由第一次小測驗、第二次小測驗、期中成績、期末成績以及隨堂小測、平時作業(yè)成績、論文成績、小組研討等構成。從考核方式看，兩者都注重對學生平時學習能力的培養(yǎng)，注重考核的過程化管理。其中，北京聯(lián)合大學的作業(yè)是每一節(jié)課都會布置，而且要求大家獨立完成，一般以筆算為主。但是亞利桑那州立大學的作業(yè)鼓勵團隊合作，使用數(shù)學軟件，然后在下次上課之前可以由代表上臺講解。亞利桑那州立大學的成績構成比較多樣化，注重學生的全面發(fā)展。

6 ?結語

通過對比兩所學校的線性代數(shù)課程的教學，亞利桑那州立大學的一些教學方法是值得我們借鑒的。我們應該構建有區(qū)別的線性代數(shù)課程體系，課程設置應該更加多樣化，以適應學生的不同需求與差異性。在授課過程中，注重形式的多樣性，課堂內容多與專業(yè)相結合，借助軟件平臺，提升學生的創(chuàng)新思維與綜合素質的培養(yǎng)，注重促進學生興趣與專業(yè)的發(fā)展，學以致用。

參考文獻

[1] 鄭文晶.從中美線性代數(shù)教材對比談線性代數(shù)教學改革[J].呼倫貝爾學院學報，2015，23（5）：104-107.

[2] 林琳，王莉，聞良辰.中美《線性代數(shù)》對比分析—— ? ? ?以美國西俄勒岡大學與沈陽航空航天大學為例[J].科技創(chuàng)新導報，2015（34）：242-243.

[3] 王正盛.中外線性代數(shù)教材的比較與探討[J].大學數(shù)學，2009，25（1）：200-203.

[4] 同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)[M].6版.北京：高等教育出版社，2014.

[5] David C.Lay， Linear Algebra and Its Applications，Third Edition，Addison Wesley，2002.