一種遞進關(guān)系規(guī)劃模型在高溫防護服中的應(yīng)用

姚合軍，楊 恒，崔金錦，焦筱然

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，河南 安陽 455000)

0 引言

建立規(guī)劃模型是設(shè)計高溫防護服的一個主要方向，熱量的傳遞過程中，通過一維拋物型偏微分方程來進行熱量和溫度之間的轉(zhuǎn)換[1]。一般來講，通過有限差分法對一維拋物型偏微分方程進行求解，具有高精度的特征[2]。傳熱方式一般為非穩(wěn)態(tài)的，并且有熱傳遞、熱輻射和熱傳導(dǎo)三種傳熱方式[3]。人體的各個部位的熱量是不同的，在這種情況下運用有限差分法對其求解，難免會因其運算量大、運算過程復(fù)雜造成困難。將人體模型進行適當簡化，將其視為一個圓柱形模型，改進求解方法，增強模型的實用性[4]。人體在作業(yè)時，必然有著時間限制，即使身穿熱防護服也僅有幾秒的安全時間，故空氣層和織物的厚度大小對防護性能的影響十分顯著，因此關(guān)注溫度的變化是必不可少的[5]。

然而，高溫防護服領(lǐng)域的研究雖然取得了一定的進展[6]，但因其模型建立和計算的復(fù)雜性，在設(shè)計常用防護服時會受到一定的制約。本文基于傅立葉導(dǎo)熱定律，根據(jù)一般防護服的性能要求對其邊界條件進行了適當?shù)姆艑抂7]。而且本文建立的規(guī)劃模型，考慮了層與層之間的聯(lián)系，分析了各層之間的數(shù)學聯(lián)系，使模型計算更加準確，與實際效果更為吻合。

1 問題描述

⑴

由于熱能密度在非常短的距離內(nèi)可看作是恒定的，故可用Δx表示熱量傳遞方向上的位置差，S表示圓柱體的橫截面積，用體積與熱能密度的積Q=qV=qΔxS表示熱能。由熱能守恒和偏微分的定義可以得到：

⑵

⑶

結(jié)合對熱能守恒轉(zhuǎn)化過的式子與傅立葉定律，可得到一維的偏微分方程：

⑷

此外，為了減少最終計算結(jié)果對實際問題造成的誤差，我們引入了顯熱容這一概念[8]，即用Ci表示第i層的顯熱容，ρi是第i層材料的密度，ci是對應(yīng)第i層材料的比熱，從而有Ci=ρiCi(i=1,2,3,4)。由于ri和ci是常數(shù)，所以Ci也是常數(shù)。

2 模型建立

高溫作業(yè)服裝共有四層，其中前三層是由不同的材料組成，第IV層為空氣層?；诒疚纳鲜黾僭O(shè)，后面三層以及隔離層可以近似看作只存在熱傳導(dǎo)[9]。

2.1 專用服裝的熱傳遞模型

⑸

⑹

⑺

2.2 空氣層的熱傳遞模型

根據(jù)題中假設(shè)，可以得出空氣層的熱傳遞模型為：

⑻

其中，Ci(i=1,2,3,4)分別是I、II、III和IV層的顯熱容；ki(i=1,2,3,4)分別是I、II、III和IV層的熱傳導(dǎo)率；Ωj表示關(guān)于x的取值范圍，其中Ω1=(0,L1),Ω2=(L1,L1+L2),Ω3=(L1+L2,L4),L4=L1+L2+L3,Ω4=(L4,L5),L5為人體皮膚，t是暴露在外部環(huán)境中的時間。q為人體自身的熱源，人體自身溫度和第I層防護服的外層溫度約定為37℃，則q對x的偏導(dǎo)為0，外部環(huán)境溫度約定為80℃。令mi表示ki與Ci的比值，由于ki(i=1,2,3,4)為熱傳導(dǎo)率，Ci(i=1,2,3,4)為定值，所以mi為確定值。由于空氣層厚度較小，可以將其看成一個圓柱形封閉腔，忽略空氣中傳導(dǎo)和織物輻射作用[10]。

3 主要結(jié)果

根據(jù)題中所給的防護服的相關(guān)數(shù)據(jù)，層與層之間的距離較小，并且是一個封閉的環(huán)境，因此，在傳熱過程中，熱量從外部傳遞到第I層末端時的溫度和第II層的起始溫度相同。即上一層末端的溫度和下一層初始端的溫度相同。對上述所給的服裝熱傳遞模型進行積分可以得到以下方程：

⑼

⑽

⑾

⑿

由于第I層末端時的溫度和第II層的起始溫度相同，即上一層末端的溫度和下一層初始端的溫度相同。即可得：T1=T2=T3=T4。即：

⒀

⒁

⒂

由于上一層的末端溫度與初始層的初始溫度相等，即T0=T1=T2=T3。對以上模型進行求解得：

c12=(c21-c11)x+c22

⒃

c22=(c31-c21)x+c32

⒄

c32=(c41-c31)x+c42

⒅

由上述參數(shù)之間的關(guān)系，可得出溫度變化方程為：

(19)

4 仿真算例

假設(shè)各層的密度、比熱、熱傳導(dǎo)率和厚度如表1所示。

表1 各層的密度、比熱、熱傳導(dǎo)率和厚度

其中，密度和比熱為固定值，因此Ci=ρici,(i=1,2,3,4)為定值。

各分層溫度隨時間變化趨勢。通過所建立的傅里葉模型將溫度轉(zhuǎn)換成熱量，根據(jù)熱傳導(dǎo)公式，聯(lián)立方程，利用差分法[4]，通過軟件進行編程仿真，運行得出其溫度分布如下表所示。

表2 各分層溫度隨時間變化趨勢表

5 結(jié)論

根據(jù)所建立的模型，在外部熱源通過防護服向人體傳遞熱量時，每一層的交界處溫度相等，即上一層末端的溫度和下一層初始端的溫度相等，因此整個傳熱過程具有連續(xù)性。本文在建立規(guī)劃模型時主要考慮了層與層之間的聯(lián)系，將規(guī)劃模型有機地看做一個整體，使模型更加符合實際。而且模型具有適用性廣、計算方法簡便的優(yōu)點。