一種偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)雙天線(xiàn)雙頻定位算法*

吳千爽，鄧 平

（西南交通大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，四川 成都610000）

0 引 言

近幾十年，全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（Global Navigation Satellite System，GNSS）應(yīng)用非常廣泛。對(duì)于高樓密集區(qū)的地區(qū)和位于深山峽谷中的水庫(kù)大壩等，由于衛(wèi)星信號(hào)受到遮擋，接收機(jī)觀(guān)測(cè)到的衛(wèi)星數(shù)較少，衛(wèi)星幾何圖形分布不佳，導(dǎo)致衛(wèi)星定位精度大大降低。此外，應(yīng)用衛(wèi)星定位技術(shù)進(jìn)行精密測(cè)量，目前在水平方向的定位精度可達(dá)到毫米級(jí)；但在垂直方向，衛(wèi)星定位精度較差，難以滿(mǎn)足高精度測(cè)量的要求。偽衛(wèi)星定位技術(shù)成為一條解決上述衛(wèi)星導(dǎo)航和定位現(xiàn)存問(wèn)題的有效途徑。

偽衛(wèi)星即陸基衛(wèi)星，是指布設(shè)在地面上的類(lèi)似于衛(wèi)星的導(dǎo)航定位收發(fā)設(shè)備。偽衛(wèi)星不僅可以增強(qiáng)衛(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)，同時(shí)也能實(shí)現(xiàn)獨(dú)立組網(wǎng)定位[1-2]。通過(guò)四顆或者四顆以上偽衛(wèi)星收發(fā)機(jī)可以組成一個(gè)獨(dú)立的定位網(wǎng)絡(luò)，為該區(qū)域內(nèi)的接收機(jī)提供高精度位置服務(wù)，如圖1所示。與單顆偽衛(wèi)星或者多顆非組網(wǎng)偽衛(wèi)星相比，此偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)收發(fā)機(jī)之間通過(guò)時(shí)間同步技術(shù)，實(shí)現(xiàn)嚴(yán)格的時(shí)間同步。直接消除了接收機(jī)直接的時(shí)鐘誤差，使定位更加準(zhǔn)確。

圖1 偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)示意圖

在偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)定位算法中，整周模糊度的解算是實(shí)現(xiàn)快速、高精度定位的基礎(chǔ)。從1981年Counselman[3]提出基于載波相位觀(guān)測(cè)量進(jìn)行高精度定位以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者一直在研究整周模糊度的解算問(wèn)題，先后提出了多種整周模糊度解算方法。其中，Cellmer S[4]基于模糊度函數(shù)法提出了一種新的載波相位數(shù)據(jù)處理算法，該算法無(wú)需經(jīng)過(guò)整數(shù)搜索就能得到模糊度的整數(shù)解，此算法減少了計(jì)算時(shí)間，但在精度上有所欠缺。Li Xin[5]在傳統(tǒng)的模糊度函數(shù)法基礎(chǔ)之上，提出了改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法，實(shí)現(xiàn)了室內(nèi)偽衛(wèi)星的厘米級(jí)定位。Wei jiang[6]等人提出了一種基于幾何變換的擴(kuò)展卡爾曼濾波算法來(lái)解算整周模糊度，該算法利用單差載波相位測(cè)量來(lái)實(shí)現(xiàn)精確定位，較傳統(tǒng)的已知點(diǎn)初始化法（Known Point Initialization，KPI）在精度和效率上都有所提高。文獻(xiàn)[7]中針對(duì)傳統(tǒng)確定模糊度搜索空間的方法較為保守，致使搜索空間過(guò)大這一問(wèn)題，提出了一種基于最小二乘模糊度降相關(guān)平差法（LAMBDA）的改進(jìn)方法。文獻(xiàn)[8]利用北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)雙頻載波相位觀(guān)測(cè)值組成寬巷雙差觀(guān)測(cè)值,運(yùn)用LAMBDA算法，實(shí)現(xiàn)了寬巷雙差整周模糊度的解算。Bertsch J[9]等人針對(duì)locata系統(tǒng)提出了一種在航（On The Fly，OTF） 的模糊度解算方法，在模擬的測(cè)量中，定位精度達(dá)到了厘米乃至毫米級(jí)別。

本文提出了一種模糊度的雙天線(xiàn)雙頻解算方法。該算法首先在偽衛(wèi)星定位網(wǎng)絡(luò)收發(fā)機(jī)雙天線(xiàn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上得到雙頻單差載波相位觀(guān)測(cè)方程；其次將觀(guān)測(cè)方程線(xiàn)性化，利用加權(quán)最小二乘算法得到整周模糊度的浮點(diǎn)解；再通過(guò)LAMBDA算法得到模糊度整數(shù)解，并進(jìn)一步得到接收機(jī)的準(zhǔn)確坐標(biāo)。

1 偽衛(wèi)星單差雙頻觀(guān)測(cè)方程

參照整周模糊度的單頻解算過(guò)程，其雙頻的載波相位觀(guān)測(cè)方程為：

為了消除接收機(jī)鐘差，減小系統(tǒng)偏差，構(gòu)造雙頻單差載波向量觀(guān)測(cè)方程：

上式中，

其中，(x1i,y1i,z1i)、(x2i,y2i,z2i)分別為收發(fā)機(jī)i天線(xiàn)1和天線(xiàn)2的坐標(biāo)，(x1j,y1j,z1j)、(x2j,y2j,z2j)分別為收發(fā)機(jī)j天線(xiàn)1和天線(xiàn)2的坐標(biāo)，式中的未知量為接收機(jī)A的位置坐標(biāo)(xA,yA,zA)和雙頻單差整周模糊度

2 整周模糊度解算

若建立的地面?zhèn)涡l(wèi)星網(wǎng)絡(luò)有m+1個(gè)收發(fā)機(jī)，接收機(jī)在n個(gè)歷元進(jìn)行觀(guān)測(cè)，可得到(n+2m)×1維單差觀(guān)測(cè)向量z：

以及(3n·2m)×1維未知向量x：

把向量x分為兩部分，位置坐標(biāo)和整周模糊 度，即：

將多個(gè)歷元的單差雙頻載波相位觀(guān)測(cè)方程組利用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

其中，Δz為觀(guān)測(cè)值增量，Δxc為坐標(biāo)信息初始值的增量，ΔxN為單差整周模糊度增量，Acc和ANN分別為整周模糊度和位置坐標(biāo)的雅克比矩陣。

雅克比行列式Acc表達(dá)式如下：

由上述一個(gè)歷元的表達(dá)式，可推導(dǎo)出n個(gè)觀(guān)測(cè)歷元的雅克比矩陣：

某一個(gè)歷元的整周模糊度的雅克比矩陣為：

則n個(gè)歷元整周模糊度雅克比矩陣：

不同頻率的單差測(cè)量值不相關(guān)，而同一歷元，同一頻率的單差測(cè)量值，因?yàn)橛邢嗤膮⒖剂浚允窍嚓P(guān)的[10]，因此，一個(gè)歷元的誤差協(xié)方差陣表述成下列式（15）：

則n個(gè)歷元誤差協(xié)方差陣為：

利用加權(quán)最小二乘算法[11]得到整周模糊度的浮點(diǎn)解為：

其中N0=[ANNACC]，權(quán)矩陣

在模糊度浮點(diǎn)解和其協(xié)方差矩陣都已知的情況下，運(yùn)用LAMBDA算法得到其整數(shù)解，LAMBDA算法原理如下[12]：

整周模糊度的求解問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為下式：

由于未知數(shù)有整數(shù)限制，只能通過(guò)搜索的方式得到解。搜索表達(dá)式如下：

單差觀(guān)測(cè)向量之間存在相同的參考量，具有較強(qiáng)的相關(guān)性，使得搜索困難。LAMBDA算法通過(guò)整數(shù)變換，使得搜索空間壓縮，在體積不變的情況下，將橢球體變成近似球體，使得搜索容易進(jìn)行。

整數(shù)變換即Z變換后的變量和協(xié)方差矩陣如下：

由此，式（19）變?yōu)橄率剑?4）的最小化問(wèn)題：

整數(shù)變換后，與式（21）相對(duì)應(yīng)的搜索空間為：

3 仿真分析

本文仿真場(chǎng)景的建立參照文獻(xiàn)[9]，布局了五顆偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)試驗(yàn)場(chǎng)景，每顆偽衛(wèi)星的收發(fā)機(jī)均含有兩根天線(xiàn)，分別發(fā)射兩個(gè)頻率信號(hào)，天線(xiàn)坐標(biāo)如表1所示。開(kāi)始階段，采用了接收機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡上的十個(gè)歷元的載波相位觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)通過(guò)仿真得到表2的結(jié)果。單差載波相位觀(guān)察誤差為N（0，0.04）cm。

表2中，搜索的單差模糊度整數(shù)解由LAMBDA算法得到。本文仿真建立的五顆偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)場(chǎng)景，在雙天線(xiàn)發(fā)射兩個(gè)頻率的情況下，有8個(gè)整周模糊度。浮點(diǎn)解最小的偏差為0.04周，最大的偏差為0.67周。

表1 偽衛(wèi)星坐標(biāo)

表2 整周模糊度解算結(jié)果

上述仿真計(jì)算得到的雙頻單差整周模糊度作為雙頻算法的初始解；單頻仿真使用了每顆偽衛(wèi)星的一根天線(xiàn)，發(fā)射同一頻率，并采用了正則化優(yōu)化準(zhǔn)則[13]。假設(shè)接收機(jī)坐標(biāo)為（-20，10，0），單差載波相位觀(guān)測(cè)誤差為N（0，0.04）cm。單點(diǎn)定位1 000次。 圖2、圖3給出了雙頻與單頻單點(diǎn)定位結(jié)果。

圖2 雙頻定位結(jié)果

圖3 單頻定位結(jié)果

比較圖2、圖3可以看出，無(wú)論是三維還是二維，雙頻的定位精度比單頻的定位精度高。雙頻定位誤差比較集中，都在0.5 m以下，單頻定位結(jié)果相對(duì)要發(fā)散一些。同時(shí)，無(wú)論是單頻定位誤差還是雙頻定位誤差，二維定位精度由于只統(tǒng)計(jì)水平方向上的誤差，所以始終優(yōu)于三維定位精度。

圖4、圖5給出了本文算法與文獻(xiàn)[10]中算法對(duì)比結(jié)果。橫軸為誤差，縱軸為在此誤差以?xún)?nèi)的點(diǎn)所占的百分比。從圖4中可以看出，1 000次仿真實(shí)驗(yàn)中，本文雙頻定位結(jié)果二維誤差在0.02 m的達(dá)到了92%左右，而單頻定位誤差在0.02 m的僅有60%。圖5中，雙頻定位誤差幾乎全部都在0.4 m以下，而單頻定位誤差在0.4m以下的只有82%。圖4與圖5中虛線(xiàn)為文獻(xiàn)[10]算法結(jié)果，從二維統(tǒng)計(jì)誤差來(lái)看，本文單頻算法比文獻(xiàn)[10]的算法略微提高了一點(diǎn)定位精度，但是在三維統(tǒng)計(jì)誤差中，本文的單頻算法由于使用了正則化優(yōu)化準(zhǔn)則，所以對(duì)定位精度有比較明顯的提升。

圖4 二維誤差統(tǒng)計(jì)

圖5 三維誤差統(tǒng)計(jì)

為了更加詳細(xì)的比較偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中單頻與雙頻定位算法的性能，突出雙頻定位算法的優(yōu)越性，在上述的仿真條件下，使接收機(jī)從起始點(diǎn)（30，30，0）按照拋物線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程如式（26），運(yùn)動(dòng)時(shí)間為100 s。圖6、圖7、圖8分別為3個(gè)方向上的誤差比較。

圖6 E方向誤差比較

圖7 N方向誤差比較

圖8 U方向誤差比較

圖6 、圖7、圖8中實(shí)線(xiàn)為雙頻定位誤差，虛線(xiàn)為單頻定位誤差?？梢钥吹剑瑹o(wú)論是單頻還是雙頻，在E方向的定位誤差最小，在U方向上的定位誤差最大。這是因?yàn)閭涡l(wèi)星的位置，導(dǎo)致E方向的精度因子較小，U方向的精度因子比較大。上述三圖中，單頻定位誤差在仿真時(shí)間內(nèi)均比雙頻定位誤差大，在圖7中，隨著接收機(jī)的運(yùn)動(dòng)，虛線(xiàn)波動(dòng)變大，而實(shí)線(xiàn)沒(méi)有明顯的波動(dòng)變化，而且在某些位置上，可以看到虛線(xiàn)的波動(dòng)很大，而實(shí)線(xiàn)較虛線(xiàn)波動(dòng)小很多。這說(shuō)明雙頻定位算法有更好的定位性能。

精度因子的大小體現(xiàn)了偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)布局的好壞，也一定程度上反映出定位精度。圖9、圖10給出了接收機(jī)在100 s的運(yùn)動(dòng)內(nèi)，水平方向精度因 子（Horizontal Dilution of Precision，HDOP）和垂直方向精度因子（Vertical Dilution of Precision，VDOP）。從圖中看出，收發(fā)機(jī)采用雙天線(xiàn)發(fā)射不同頻率，顯著減小了精度因子值。在偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)中，各收發(fā)機(jī)位置相同的情況下，采用雙天線(xiàn)設(shè)計(jì)，這不僅是增加一倍的載波相位觀(guān)測(cè)方程，而且對(duì)于接收機(jī)來(lái)說(shuō)，兩根天線(xiàn)相當(dāng)于兩個(gè)收發(fā)機(jī)，這改善了偽衛(wèi)星的幾何布局，定位精度也隨之提高。

圖9 水平方向精度因子

圖10 垂直方向精度因子

對(duì)兩種定位方式的誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到 表3。

表3 誤差統(tǒng)計(jì)

兩種方式定位誤差的均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表3所示?？梢钥闯?，采用雙頻載波相位觀(guān)測(cè)算法對(duì)定位精度有相當(dāng)明顯的提升，在E和N方向上分別提升了0.54 cm和2.3 cm。而在U方向上即垂直誤差提升了1.67 m。因此偽衛(wèi)星采用雙天線(xiàn)發(fā)射兩個(gè)頻率信號(hào)能夠提升偽衛(wèi)星組網(wǎng)定位精度，特別是垂直定位準(zhǔn)確度。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)偽衛(wèi)星網(wǎng)絡(luò)定位系統(tǒng)，基于接收機(jī)雙天線(xiàn)設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上提出了雙頻在航定位算法。根據(jù)雙天線(xiàn)發(fā)出的不同頻率的信號(hào)，接收機(jī)同時(shí)觀(guān)測(cè)得到雙頻載波相位觀(guān)測(cè)方程，運(yùn)用加權(quán)最小二乘算法得到模糊度浮點(diǎn)解，再通過(guò)LAMBDA算法搜索出模糊度整數(shù)解，最后得到接收機(jī)的準(zhǔn)確位置。當(dāng)偽衛(wèi)星布局不理想，幾何精度因子很大，單天線(xiàn)發(fā)射單頻信號(hào)，容易造成定位誤差過(guò)大，甚至不能定位的情況，而雙天線(xiàn)發(fā)射雙頻信號(hào)恰恰能夠改善這一點(diǎn)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，該算法明顯提高了定位精度，特別是在U方向上。本文主要考慮了在雙天線(xiàn)的情況下，每一根天線(xiàn)發(fā)射一個(gè)頻率，未來(lái)還將進(jìn)一步對(duì)每根天線(xiàn)發(fā)射兩個(gè)頻率以及天線(xiàn)位置對(duì)定位的影響進(jìn)行研究。