“項(xiàng)目制”學(xué)習(xí)策略構(gòu)建單元知識體系
——以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”為例

錢志祥

（浙江省杭州經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)文思小學(xué)）

一、“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的概念解讀

“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”是基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)（PBL）模式的延伸與拓展，同時(shí)也包括對教材的解讀、對知識點(diǎn)的分類與整理。

基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)是建構(gòu)主義理論的一種情景化學(xué)習(xí)模式，是指學(xué)習(xí)者圍繞一個(gè)具體的內(nèi)容，充分選擇和利用各種學(xué)習(xí)資源，在實(shí)踐體驗(yàn)、內(nèi)化吸收、探索創(chuàng)新的過程中，以團(tuán)隊(duì)為組織形式，自主地獲得較為完整的體系，形成技能并獲得發(fā)展的學(xué)習(xí)。

借鑒基于項(xiàng)目的學(xué)習(xí)的方法指引，提煉其中的設(shè)計(jì)技巧而產(chǎn)生的“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”，是根據(jù)教學(xué)大綱、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，以學(xué)科核心概念為中心，以項(xiàng)目（知識點(diǎn)）為載體，將學(xué)習(xí)內(nèi)容分為多個(gè)小項(xiàng)目（小的主題學(xué)習(xí)模塊），通過任務(wù)驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中開展一系列探究活動，自主構(gòu)建知識框架。

因此，“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的特點(diǎn)在于類別細(xì)化，內(nèi)涵與外延豐富，不僅是“用時(shí)少”，更意味著將復(fù)雜內(nèi)容簡化，以整體與分類思想引領(lǐng)下的方法指導(dǎo)，極大地提高了學(xué)習(xí)效率與應(yīng)用。

二、“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的操作實(shí)施

“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”一般在小學(xué)中高年級進(jìn)行，主要是基于項(xiàng)目從學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)、學(xué)習(xí)程序、學(xué)習(xí)方法等方面來進(jìn)行設(shè)計(jì)與實(shí)施。通過一段時(shí)間的研究與整理，“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的方案不斷完善，操作性與策略性更高。以五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”為例，具體研究程序與方法如下。

（一）項(xiàng)目制訂，創(chuàng)設(shè)情境

“因數(shù)與倍數(shù)”作為數(shù)與代數(shù)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學(xué)生比較難理解和掌握的數(shù)學(xué)概念之一。

本內(nèi)容主要安排因數(shù)與倍數(shù)的學(xué)習(xí)，以及第二階段的公因數(shù)與公倍數(shù)的學(xué)習(xí)，與此同時(shí)，要運(yùn)用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)解決實(shí)際生活問題，這些都是需要學(xué)習(xí)的主體知識。因此，如何分類細(xì)化，豐富內(nèi)涵與外延，“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”就顯得尤為關(guān)鍵。

例如，找一找36和60的因數(shù)（見下圖），找一找6與9的倍數(shù)。教材中最初設(shè)計(jì)的是“說說12的因數(shù)，說說12的倍數(shù)，讓學(xué)生理解因數(shù)與倍數(shù)的核心概念”。

在此基礎(chǔ)上，“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”就是設(shè)計(jì)以下問題：如何找出兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)與公倍數(shù)，由此任務(wù)驅(qū)動學(xué)習(xí)。當(dāng)然，教材也會在后期出現(xiàn)，從項(xiàng)目設(shè)計(jì)的整體思考，這個(gè)知識點(diǎn)應(yīng)當(dāng)往前靠，內(nèi)容也更具綜合化，為后續(xù)學(xué)習(xí)做鋪墊。

（二）項(xiàng)目設(shè)計(jì)，明確內(nèi)容

學(xué)生通過求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)來解決因數(shù)與倍數(shù)的實(shí)際問題，往往會遇到兩個(gè)困難，一是不清楚在什么時(shí)候用“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”來解決相關(guān)問題，也就是通常所說的題意不理解；二是求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法不夠靈活。

因此，在探究問題之前，還是明確內(nèi)容，設(shè)計(jì)好教學(xué)內(nèi)容，以項(xiàng)目設(shè)計(jì)來整組推進(jìn)教學(xué)。

1．謀劃探究內(nèi)容

對于因數(shù)與倍數(shù)的理解，教師經(jīng)常利用教材，以除法算式進(jìn)行教學(xué)。筆者建議，何不嘗試用一道乘法與一道除法來加深兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如2×6=12，12÷2=6，分析理解因數(shù)與倍數(shù)是一種相互關(guān)系，從而形成正向與逆向的思考模式。

通過以上分析，基于知識體系整體思考，本內(nèi)容主要從三個(gè)“項(xiàng)目”來設(shè)計(jì)內(nèi)容。教材中只出現(xiàn)除法算式，講因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系，這里要補(bǔ)充乘法算式，從而重組與建構(gòu)教材給出的體系編排，這也體現(xiàn)了“微項(xiàng)目”設(shè)計(jì)的理念與意圖。

2．設(shè)計(jì)思考解讀

項(xiàng)目設(shè)計(jì)之一：什么是最大公因數(shù)？為什么不提出“最小公因數(shù)”概念？什么是最小公倍數(shù)，為什么不提出“最大公倍數(shù)”？學(xué)生通過情景學(xué)習(xí)，已經(jīng)理解了公因數(shù)與公倍數(shù)的概念，并且知曉兩個(gè)或兩個(gè)以上共有的因數(shù)才是公因數(shù)，其中公因數(shù)中的最大的數(shù)稱之為“最大公因數(shù)”。例如，用列舉法進(jìn)行說明。

例如6和9的公因數(shù)求解。6的因數(shù)有1，2，3，6；9的因數(shù)有1，3，9；因此6和9的公因數(shù)有1與3，其中（6，9）=3。通過這樣的舉例法，讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，同時(shí)研究的數(shù)字盡量偏小，難度降低些，結(jié)合情景教學(xué)，使得概念清晰明了。隨著知識結(jié)構(gòu)的豐富，數(shù)字上可以有些變化，具體考慮兩個(gè)維度，一是數(shù)字大一些，二是可以組成兩個(gè)以上的數(shù)組，如三個(gè)或三個(gè)以上，這些對于概念的理解都有很大的幫助。

項(xiàng)目設(shè)計(jì)之二：求解最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)有哪些方法？雖然教材給出一種列舉法來求兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的公因數(shù)，但總是覺得不夠序列化、系統(tǒng)化，微項(xiàng)目設(shè)計(jì)恰好作為一個(gè)項(xiàng)目、一個(gè)重點(diǎn)，來實(shí)施與評價(jià)，對于系統(tǒng)掌握因數(shù)與倍數(shù)知識起到非常重要的作用。

列舉法：

6的因數(shù)有1，2，3，6；9的因數(shù)有1，3，9；因此6和9的公因數(shù)有1與3，其中（6，9）=3。

6的倍數(shù)有6，12，18，………9的倍數(shù)有9，…18…，27，………因此 6和 9的公倍數(shù)有 18，36，…其中[6，9] =18。

畫圖法：

需要說明的是，教材中的閱讀部分對短除法進(jìn)行介紹，并未放入專題例題教學(xué)中去。在三種或者以上的算法中，我們不難發(fā)現(xiàn)，短除法具有準(zhǔn)確性、速度快等優(yōu)點(diǎn)，但也有對算理未能闡述的缺點(diǎn)。因此，以算法系統(tǒng)化的“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”就顯得尤為重要。

項(xiàng)目設(shè)計(jì)之三：如何巧妙應(yīng)用公因數(shù)、公倍數(shù)知識解決實(shí)際問題？如何讓知識真正靈活起來，讓學(xué)生感受到知識在實(shí)際生活中的作用，需要一些情景素材，從而更直觀地反映數(shù)量關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)性。

如素材一：小明的媽媽買了75千克食用油，家里有可裝10千克，5千克，2千克油的油壺。選哪種油壺正好能把這些油分裝完？需要這樣的油壺多少個(gè)？簡單地通過尋找一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的因數(shù)，或反過來說一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)，這樣的基本類型有必要，也很貼近學(xué)生的基本思維。客觀來說，這樣的應(yīng)用不夠強(qiáng)，還需要進(jìn)一步提升，如再跟進(jìn)一道例題，如素材二：有一個(gè)整數(shù)，用它去除45、90、120正好都沒有余數(shù)，這個(gè)數(shù)最大是多少？對于公因數(shù)的理解和運(yùn)用，這樣的習(xí)題能起到鞏固作用。當(dāng)然也可考慮“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”同時(shí)運(yùn)用的素材。如素材三：蘭蘭家廚房的地面是一個(gè)長24分米、寬18分米的長方形，如果用邊長是整分米數(shù)的方形地磚鋪滿（使用的地磚必須是整塊的），邊長最大可以是幾分米？最少需要多少塊？

（1）要使地磚正好鋪滿，地磚的邊長必須是 24 和 18 的（………………………）；

（2）要求邊長最大，那么地磚邊長必須是24 和 18 的（…………………………）；

（3）我是這樣解決的（寫出思考過程）。

回顧與反思：可以用畫圖來驗(yàn)證。

以上三種素材，實(shí)際上代表三種類型，有些是單項(xiàng)型，有些是復(fù)合型，根據(jù)需要，在“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”中都需要有所考慮、有所兼顧，讓設(shè)計(jì)變得更有體系、有序列、有層次、有效率。

3．項(xiàng)目實(shí)施路徑

（1）基于項(xiàng)目設(shè)計(jì)之一：什么是最大公因數(shù)？為什么不提出“最小公因數(shù)”概念？什么是最小公倍數(shù)，為什么不提出“最大公倍數(shù)？”

①進(jìn)行因數(shù)與倍數(shù)的概念教學(xué)，結(jié)合情景理解什么是最大公因數(shù)，什么是最小公倍數(shù)。

②概念界定，可以給出判斷題的素材，讓概念更清晰，從而對因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等本質(zhì)理解更加深刻。

（2）基于設(shè)計(jì)探究項(xiàng)目二：求解“最大公因數(shù)”與“最小公倍數(shù)”有哪些方法？

①序列化。雖然教材給出一種列舉法來求兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的公因數(shù)，但總是覺得不夠序列化、系統(tǒng)化，要根據(jù)微項(xiàng)目設(shè)計(jì)內(nèi)容進(jìn)行列舉法、畫圖法、短除法等多種方法專項(xiàng)指導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步理解與掌握公因數(shù)與公倍數(shù)等概念。

②主題化。每一種求法的學(xué)習(xí)意義是不一樣的，但都是對概念理解的加深，因此短除法與畫圖法等，要給學(xué)生一種自主選擇并突顯各種方法之間的差異與優(yōu)勢，從而使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用中有的放矢，運(yùn)用自如。

（3）基于設(shè)計(jì)探究項(xiàng)目之三：如何巧妙運(yùn)用公因數(shù)、公倍數(shù)知識解決實(shí)際問題？

①生活化。有些數(shù)學(xué)問題單純從數(shù)的角度來設(shè)計(jì)，無疑是抽象而單調(diào)的。因此，結(jié)合生活情景的素材設(shè)計(jì)更具直觀性，更能加深對知識本質(zhì)的理解。例如：有三根木條分別長150厘米、200厘米、220厘米，要把這三根木條截成長度相等的小段，要求盡可能長且沒有剩余。

②應(yīng)用性。要充分運(yùn)用知識來解決實(shí)際問題。在實(shí)際問題中，常常提及“沒有剩余”，要把隱義顯現(xiàn)化，讓學(xué)生理解因數(shù)與倍數(shù)的內(nèi)在含義。同時(shí)關(guān)注求解方法，善于用舉例法、畫圖法、短除法，融會貫通，運(yùn)用自如。

③提升性。要真正理解公因數(shù)與公倍數(shù)，需從兩個(gè)層面提升。一是抓住信息中“沒有剩余”“最多鋪幾塊”等語句，二是從多個(gè)數(shù)量之間求它們之間的“最大公因數(shù)”以及“最小公倍數(shù)”，厘清數(shù)量關(guān)系，真正體現(xiàn)應(yīng)用與提升之教學(xué)成效。

三、“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的評價(jià)及思考

項(xiàng)目評價(jià)，就是給學(xué)生提供合適的數(shù)學(xué)情境，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用已掌握的知識來解決實(shí)際問題，進(jìn)一步內(nèi)化所學(xué)知識。在解決實(shí)際問題后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對整個(gè)項(xiàng)目探究過程進(jìn)行及時(shí)反思，并對一些難點(diǎn)進(jìn)行再探究，探索新的方法。

經(jīng)過整理與分析，初步羅列出以下幾種類型：

（1）互為質(zhì)數(shù)的求解，如3與7，11與19等互為質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，…通過計(jì)算分析，學(xué)生參與探究過程，用不同方法來驗(yàn)證，得出結(jié)論：兩個(gè)互為質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)為1，最小公倍數(shù)為兩個(gè)數(shù)的乘積。

（2）相鄰自然數(shù)的求解，如8與9，21與22等相鄰自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，通過演繹推理，學(xué)生參與探究過程，用不同方法來驗(yàn)證，得出結(jié)論：兩個(gè)相鄰自然數(shù)的最大公因數(shù)為1，最小公倍數(shù)為兩個(gè)數(shù)的乘積。

（3）倍數(shù)關(guān)系數(shù)的求解，如4與8，12與36等互為倍數(shù)關(guān)系的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，同樣也是通過演繹推理，學(xué)生參與探究過程，用不同方法來驗(yàn)證，得出結(jié)論：兩個(gè)互為倍數(shù)關(guān)系的數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的那個(gè)數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的那個(gè)數(shù)，同樣也適合于兩個(gè)以上數(shù)的運(yùn)用。

（4）1與任何數(shù)的求解，如1與16，1與23等，與1組成的數(shù)組，通過演繹推理，學(xué)生參與探究過程，用不同方法來驗(yàn)證，得出結(jié)論：1是它們的最大公因數(shù)，反之，另一個(gè)數(shù)是它們的最小公倍數(shù)。

實(shí)際上，像這樣具有典型性的數(shù)組還有許多，有待一線教師不斷挖掘并整理，形成一組組典型數(shù)組。數(shù)組內(nèi)容上，包含了多種情況，內(nèi)容具體且豐富；數(shù)組形式上，做到了點(diǎn)與點(diǎn)、線與線、面與面的有效補(bǔ)充。這實(shí)質(zhì)上是在進(jìn)行“微項(xiàng)目設(shè)計(jì)”的有效補(bǔ)充，做到“微”而“全”，形成體系。

同時(shí)，在實(shí)施“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”時(shí)，要關(guān)注“數(shù)感意識”與“應(yīng)用意識”。這里的“數(shù)感意識”指的是對數(shù)量關(guān)系的感悟，從而有助于理解其在現(xiàn)實(shí)生活中的意義。例如：用長為×分米，寬為×分米的地磚，去鋪設(shè)邊長為×分米的正方形的地面，至少需要這樣的地磚多少塊？這對學(xué)生的數(shù)感意識是個(gè)考驗(yàn)，許多學(xué)生沒有理解正方形邊長與長方形的長及寬的關(guān)系，要用最小公倍數(shù)去解答，因此，項(xiàng)目設(shè)計(jì)也應(yīng)指向于它。

另外，“應(yīng)用意識”指的是能區(qū)分“一般求解”與“特殊求解”的聯(lián)系及區(qū)別。有些素材體現(xiàn)的是“一般求解”法，而有些素材體現(xiàn)的是“特殊求解”法，如互為質(zhì)數(shù)的求解貫穿于習(xí)題中。這兩項(xiàng)指標(biāo)在“項(xiàng)目設(shè)計(jì)”中都要有所考量。

縱觀“因數(shù)與倍數(shù)”這一內(nèi)容，圍繞有梯度的微項(xiàng)目，通過有效梳理、自主探究、動手操作、合作交流，對“因數(shù)”與“倍數(shù)”核心概念再建構(gòu)，有序并優(yōu)化了多種不同的求解方法，提高了問題的解決能力。

當(dāng)然，“項(xiàng)目制”對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力要求比較高，一般在小學(xué)中高年級實(shí)施；同時(shí)，對教師專業(yè)素養(yǎng)要求也會高一些，也需要教師做大量的分析整理工作，如準(zhǔn)確地分析和設(shè)計(jì)項(xiàng)目，合理地將項(xiàng)目分成若干個(gè)項(xiàng)目，并將子項(xiàng)目對應(yīng)教材上各個(gè)知識點(diǎn)。如何更便捷地使用此類方式方法，是今后一個(gè)階段實(shí)踐與探索的方向。