通用EIV模型的方差分量估計

戴理文，王勝平

(1.東華理工大學 測繪工程學院，江西 南昌 330013；2.流域生態(tài)與地理環(huán)境監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江西 南昌 330013)

總體最小二乘[1-4]是在最小二乘的基礎(chǔ)上考慮系數(shù)矩陣誤差平差的一種方法，是EIV(Errors-in-Variables)模型的嚴密估計方法，總體最小二乘方法得到廣泛的發(fā)展，文獻[5-7]研究一般權(quán)陣下的總體最小二乘的迭代算法；文獻[8-10]研究附有約束條件的總體最小二乘方法；文獻[11]針對EIV模型系數(shù)矩陣中存在隨機元素與固定元素的情況，提出Partial EIV(Partial Error-in-Variables)模型，文獻[12]分析總體最小二乘方法的研究進展，總結(jié)Partial EIV模型可以提高計算效率的優(yōu)勢；文獻[13-14]分別研究不相關(guān)觀測與相關(guān)觀測時的解算方法；文獻[15]推導(dǎo)附有不等式約束的Partial EIV模型解法；文獻[16]推導(dǎo)附有相對權(quán)比的Partial EIV模型平差方法；相對于Partial EIV模型，文獻[17]針對某些特定數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)，在經(jīng)典通用平差模型的基礎(chǔ)上考慮觀測量系數(shù)矩陣與參數(shù)系數(shù)矩陣的隨機誤差，推導(dǎo)通用EIV模型的解算方法。

方差分量估計[18-20]又稱隨機模型的驗后估計，由于隨機模型不確定性進而對權(quán)進行修正的方法。文獻[21]分析EIV模型的最小二乘方差分量估計方法；文獻[22]引入權(quán)修正因子，推導(dǎo)Partial EIV模型的Helmert方差分量估計；文獻[23]得到Partial EIV模型的非負最小二乘方差分量估計。文獻[24]推導(dǎo)EIV模型的最小范數(shù)二次無偏估計，分析由參數(shù)估值偏差引起的方差分量估值的偏差，推導(dǎo)方差分量估值偏差的表達式；文獻[25]推導(dǎo)概括函數(shù)平差模型的通用方差分量估計。

基于上述分析，本文以通用EIV模型為平差模型，對公式進行轉(zhuǎn)換推導(dǎo)通用EIV模型的方差分量估計表達式，通過算例實驗說明本文方法的可行性。

1 通用EIV函數(shù)模型及其解算

通用EIV模型是在經(jīng)典通用平差模型的基礎(chǔ)上考慮觀測向量的系數(shù)矩陣與參數(shù)的系數(shù)矩陣，固定矩陣推廣到隨機矩陣，其函數(shù)模型形式為[17]

(B+EB)(y+ey)-(A+EA)x-w=0.

(1)

式中：B和EB為m×n的觀測向量的系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣，y和ey為n×1的觀測向量及其改正數(shù)誤差，A和EA為m×u的參數(shù)的系數(shù)矩陣及其改正數(shù)矩陣，x為u×1待估參數(shù)，w為m×1常數(shù)向量。

將式(1)展開得：

By+Bey+(yT?Im)eB+EBey-

Ax-(xT?Im)eA-w=0.

(2)

上式等價于：

By-Ax+[YT?In-xT?ImB+EB]

(3)

寫成附有參數(shù)的條件平差模型：

By-Ax+CV-w=0.

(4)

其中：

C=[yT?In-xT?InB+EB]，

vec表示矩陣拉直運算。

因此，通用EIV模型的隨機模型：

(5)

式中：QB,QA,Qy分別為觀測向量系數(shù)矩陣拉直向量、參數(shù)系數(shù)矩陣拉直向量及觀測向量的協(xié)因數(shù)陣，σ2為單位權(quán)方差。

對通用EIV模型進行解算，其殘差平方和最小為準則為：

(6)

構(gòu)造拉格朗日極值函數(shù)為：

Φ=VTQ-1V+2λT(By-Ax+CV-w).

(7)

對待估量求一階偏導(dǎo)并令其等于0。

(8)

(9)

(10)

由式(9)得：

(11)

將式(11)代入式(9)和(10)得：

(12)

將式(12)代入式(8)得：

(14)

(15)

由此可以得到觀測值改正數(shù)為：

(16)

其中：

2 方差分量估計

考慮到平差前給定的權(quán)不準確，并且式(5)中三類數(shù)據(jù)定權(quán)時給定的單位權(quán)方差不相等，即其形式為：

我國的國土空間規(guī)劃工作正處于探索階段，在具體的執(zhí)行過程中還存在著一定的問題。這就要求相關(guān)的政府部門積極借鑒國外好的經(jīng)驗，在“多規(guī)合一”的基礎(chǔ)上對我國的空間規(guī)劃體系進行優(yōu)化與完善，從而促進我國的相關(guān)規(guī)劃任務(wù)得以順利推行，促進國土空間規(guī)劃體系得到持續(xù)的發(fā)展。

(17)

根據(jù)協(xié)方差傳播律可以得到Δ的方差為：

(18)

此時，p=3，若觀測向量系數(shù)矩陣沒有誤差，eB=0，則p=2，同理，p值隨著其它觀測量的誤差變化。

本文以最小二乘方差分量估計方法為例，進行公式推導(dǎo)， 根據(jù)式(2)及式(16)可得到：

因此有：

(19)

D(Δ)=E(ΔΔT)=E{RTf(RTf)T}=

(20)

存在向量t=RTf，可得到：

(21)

E{vh(ttT)}=E(yvh)=Avhσ,Wvh.

(22)

式中：σ為由方差分量組成的向量，Wvh為yvh的權(quán)陣：

文獻[20]給出了vec與vh之間的關(guān)系，對任意一個對稱矩陣G存在vec(G)=Dvh(G)，其中矩陣是列滿秩矩陣且滿足Wvh=DT(Wt?Wt)D，其中Wt表示向量t的權(quán)陣。

對式(22)進行最小二乘解算，其準則為：

(23)

進而得到方差分量估值的表達式為：

(24)

文獻[20-21]通過轉(zhuǎn)換，得到法矩陣N和列向量K的形式為：

(25)

其中：

計算得到方差分量估值。

3 算例分析

本文算例采用文獻[21]中的直線擬合數(shù)據(jù)，其具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 坐標觀測值及相應(yīng)的權(quán)值

由于通用EIV模型中涉及觀測向量系數(shù)矩陣的誤差，若假設(shè)觀測向量系數(shù)矩陣沒有誤差時，直線擬合模型為：

(26)

[ξ1,ξ2]T為待估參數(shù)，直線擬合模型是常見的含有非隨機元素與隨機元素的模型，在使用Partial EIV模型進行解算時還需要給出向量h和固定矩陣B，由式(26)可知，向量h和矩陣B的形式為：

(27)

表2 不同方法的解算結(jié)果

圖1 方差分量估值變化圖

4 結(jié)果分析

1)考慮更具有一般性的通用EIV模型，在平差解算之后進行方差分量估計的公式推導(dǎo)，得到方差分量估計的一般表達式；

2)從表2可以看出，當不考慮通用EIV模型觀測向量系數(shù)矩陣的誤差時，該方法退化為普通EIV模型形式，解算得到的結(jié)果與已有文獻結(jié)果相同，得到不同類觀測數(shù)據(jù)的方差分量估值，不失一般性；

3)本文在將通用EIV模型轉(zhuǎn)換為附有參數(shù)的條件平差模型再進行方差分量估計，其形式簡單，更易理解。

5 結(jié)束語

在應(yīng)用方面，某些特定數(shù)據(jù)在一定條件下更適用于通用EIV模型，其形式上類似與概括函數(shù)平差模型，不過此時是考慮所有可能含有觀測向量的隨機誤差，其模型更具有適用性；在通用EIV模型平差解算的基礎(chǔ)上，本文考慮方差分量估計的解算，進一步完善通用EIV模型的發(fā)展，算例實驗說明通用EIV模型的一般性，得到與已有方法相同的參數(shù)估值與方差分量估值，進一步完善測量平差理論。