基于超寬帶測距的定位精度及時(shí)延的研究*

徐會彬,孫樹芳

(1.湖州師范學(xué)院信息工程學(xué)院,浙江 湖州 313000;2.鄭州大學(xué)測繪工程系,鄭州 450000)

超寬帶UWB(Ultra-WideBand)技術(shù)起于20世紀(jì)60年代。當(dāng)時(shí)僅限于軍事領(lǐng)域的定位、目標(biāo)跟蹤。于2002年,FCC批準(zhǔn)將UWB技術(shù)擴(kuò)展至民用[1]。由于UWB信號的傳輸率高、多徑分辨率強(qiáng)等優(yōu)勢,它廣泛應(yīng)用于短距離無線定位應(yīng)用[2-3]。

位置信息是如今基于位置感知應(yīng)用的一個必不可少的部分[4]。盡管全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)GNSS(Global Navigation Satellite System)能夠在多數(shù)環(huán)境下提供位置信息,但是它在弱信號環(huán)境下性能較差,如室內(nèi)環(huán)境。

而基于UWB測距定位正好彌補(bǔ)了GNSS的不足。依據(jù)雙向到達(dá)時(shí)間差TW-TOA(Two-Way Time Of Arrival)測距[5],UWB具有可靠、高的測距精度,給節(jié)點(diǎn)定位提供有用的數(shù)據(jù)。如何提高無線定位精度已成為科學(xué)界的一個研究熱點(diǎn)。提高定位精度的通常策略是:增強(qiáng)測距精度;使用更多的錨節(jié)點(diǎn);提高傳輸功率;擴(kuò)大協(xié)作范圍。這些策略旨在提高定位精度。

然而,在實(shí)際應(yīng)用中,定位精度固然重要,但是定位成本不容忽略,如定時(shí)時(shí)延。定時(shí)時(shí)延包括接入媒介的接入時(shí)延。基于IEEE 802.15.4a的時(shí)分多址接入TDMA(Time Division Multiple Access)技術(shù)是常用的媒介接入策略。通過給節(jié)點(diǎn)分配時(shí)隙,使節(jié)點(diǎn)有序地依據(jù)所分配的時(shí)隙接入信道,避免接入碰撞。

為此,本文分析定位精度與時(shí)延關(guān)系。首先,依據(jù)TW-TOA測距,并建立測距模型,然后依據(jù)觀察值估計(jì)節(jié)點(diǎn)位置和時(shí)延。再推導(dǎo)定位精度與時(shí)延間關(guān)系。同時(shí),考慮協(xié)作和非協(xié)作模式下的定位精度與時(shí)延間關(guān)系,并分析節(jié)點(diǎn)數(shù)對定位精度和時(shí)延的影響。

1 系統(tǒng)模型

1.1 測距模型

考慮由m個錨節(jié)點(diǎn)和n個定位節(jié)點(diǎn)組成的無線網(wǎng)絡(luò)。其中錨節(jié)點(diǎn)位置已知,而定位節(jié)點(diǎn)位置未知。將錨節(jié)點(diǎn)和定位節(jié)點(diǎn)統(tǒng)稱為節(jié)點(diǎn)。令xi=[xiyi]T表示第i個節(jié)點(diǎn)的位置,且i=1,2,…,m+n。

本文考慮兩類UWB測量[6]:雙向時(shí)間到達(dá)TW-TOA(Two-Way Time of Arrival)和竊聽,如圖1所示。

圖1 基于TW-TOA測距

在TW-TOA測距中,節(jié)點(diǎn)i向節(jié)點(diǎn)j發(fā)送請求。當(dāng)節(jié)點(diǎn)j接收請求后,節(jié)點(diǎn)j就回復(fù)確認(rèn)消息。令Ni表示節(jié)點(diǎn)i的鄰居節(jié)點(diǎn)集,其定義如式(1)所示:

Ni={j≠i:dij≤R}

(1)

式中:dij表示節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間歐式距離,且dij=‖xi-xj‖。R為節(jié)點(diǎn)的通信半徑。

令Sa、Sp分別表示錨節(jié)點(diǎn)集、定位節(jié)點(diǎn)集。若滿足:j∈Sa∪Sp,則網(wǎng)絡(luò)是協(xié)作的;若節(jié)點(diǎn)j只屬于錨節(jié)點(diǎn),即j∈Sa,則網(wǎng)絡(luò)是非協(xié)作的。無論協(xié)作還是非協(xié)作,節(jié)點(diǎn)i向節(jié)點(diǎn)j均估計(jì)請求消息和確認(rèn)消息的TOA值。

錨節(jié)點(diǎn)i引用自己與節(jié)點(diǎn)j的往返時(shí)延估計(jì)它們間的距離。假定錨節(jié)點(diǎn)i在時(shí)刻ti廣播測距信號,節(jié)點(diǎn)j接收了此信號,所獲取的測量值可表示為[7]:

zij=γi+dij+αj+wij,i≠j

(2)

式中:wij～N(0,σ2)屬噪聲變量。而γi=ct,其中c為信號傳播速度,t為信號傳輸時(shí)間。而αj表示節(jié)點(diǎn)j所經(jīng)歷的時(shí)鐘偏差。

令zi表示網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)所觀察節(jié)點(diǎn)i的信號:

zi=[zi1,zi2,…,zik,…,ziA]

(3)

若A=m,表示非協(xié)作定位;若A=m+n,表示協(xié)作定位。將未知參數(shù)構(gòu)成一個集合ε:

ε=[xTγTαT]

(4)

2 定位精度-時(shí)延的優(yōu)化

2.1 時(shí)延

用通信圖G=(V,E)表述網(wǎng)絡(luò),其中V表示頂點(diǎn)集(節(jié)點(diǎn))、E表示邊集。由于一些鏈路需要安排多個時(shí)隙,將圖G擴(kuò)展新的圖G′=(V′,E′)。圖2顯示了擴(kuò)展圖,其中鏈路(1,4)要求兩個時(shí)隙[8]。

圖2 擴(kuò)展圖G′中的子圖

令A(yù)表示圖G′的對稱鄰近矩陣,且Aij=1,?(i,j)∈E′。此外,引入對稱調(diào)動矩陣S。如果此鏈路(i,j)被安排了TW-TOA,則Sij=1,否則Sij=0。

由于給G′內(nèi)鏈路分配時(shí)隙屬于NP-完全問題[9]。為此,求解給S內(nèi)鏈路分配TDMA時(shí)隙的下限Υ和上限Ω。

時(shí)延上限就是網(wǎng)絡(luò)內(nèi)所有鏈路數(shù),即Ω=(1TS1)/2,其中1表示單位矢量。而下限Υ就是Δ,即Υ=Δ,其中Δ表示最大S度。最終,每次測距時(shí)延D=(Ω+Υ)/2。

2.2 定位精度

(5)

式中:Jx是x的費(fèi)舍爾信息矩陣FIM(Fisher Information Matrix)。為了對x進(jìn)行降維,引用等效FIM(Equivalent FIM,EFIM)[11]。

將EFIM引入本文。先構(gòu)成以ε為主體的FIM:

(6)

再將J(ε)轉(zhuǎn)化為EFIM形式,如式(7)所示:

JE(x)=Φ(x,x)-ΨH-1ΨT

(7)

式中:Ψ=[Φ(x,γ),Φ(x,α)]。而H為一個矩陣:

(8)

而JE(x)的結(jié)構(gòu)如式(9)所示:

(9)

最后,通過JE(x)推導(dǎo)定位精度下限,并利用定位誤差下限PEL(Positioning Error Lower)表述定位精度:

(10)

對于定位節(jié)點(diǎn)k,且k=1,…,n,它的定位誤差下限表示為ρk:

(11)

2.3 優(yōu)化參數(shù)

標(biāo)度律SLS(Scaling Laws)取決于定位節(jié)點(diǎn)數(shù)n隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)m的變化率。為了能夠規(guī)范地優(yōu)化定位精度與時(shí)延間關(guān)系,定義一個模型[7]:

n=κmλ

(12)

式中:λ相對錨節(jié)點(diǎn)增長率,而κ>0。通過n=κmλ模型表征定位節(jié)點(diǎn)數(shù)隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)增長的變化關(guān)系,進(jìn)而形成定位精度與時(shí)延的優(yōu)化參數(shù)β(λ)。

依據(jù)n=κmλ,定位誤差下限的比例表示為ρ∈O[fρ(m,λ)]。而時(shí)延比例表示為D∈O[fD(m,λ)]。因此,β(λ)可表示為:

(13)

依據(jù)式(13),時(shí)延-定位精度的優(yōu)化參數(shù)β(λ)可理解成:在對數(shù)標(biāo)度范圍內(nèi),定位精度隨時(shí)延的變化情況。因此,β(λ)越大,定位精度隨時(shí)延增加而下降的速度更快。

3 數(shù)據(jù)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

為了更好地分析時(shí)延與定位精度間的關(guān)系,引用MATLAB軟件建立仿真平臺。考慮20 m×20 m的區(qū)域。依據(jù)文獻(xiàn)[12]的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),部署錨節(jié)點(diǎn)。而定位節(jié)點(diǎn)隨機(jī)分布于20 m×20 m。且定位節(jié)點(diǎn)的位置服從高斯分布。

此外,測距標(biāo)準(zhǔn)方差為2 cm。TDMA時(shí)隙為20 ms。并利用P400 超寬帶無線電UWB(Ultra-Wide Bandwidth)進(jìn)行測距。

考慮兩個場景:①非協(xié)作;②協(xié)作。并分別分析這兩個場景下定位誤差下限和時(shí)延的性能。同時(shí)考慮,錨節(jié)點(diǎn)數(shù)、定位節(jié)點(diǎn)數(shù)對這兩個性能的影響。

3.2 定位誤差下限

首先,分析錨節(jié)點(diǎn)數(shù)和定位節(jié)點(diǎn)數(shù)對定位誤差下限PEL的影響,如圖3、圖4所示。

圖3 定位誤差下限隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化情況

圖4 定位誤差下限隨定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化情況

圖3顯示了錨節(jié)點(diǎn)數(shù)對定位誤差下限的影響,其中錨節(jié)點(diǎn)數(shù)從1變化至10,定位節(jié)點(diǎn)數(shù)為10個。從圖3可知,錨節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加,降低了PEL。原因在于:錨節(jié)點(diǎn)數(shù)越多,每個定位節(jié)點(diǎn)獲取的信息越多,這越有利于測距精度。相比于非協(xié)作模式,協(xié)作模式的PEL更低。

圖4顯示了定位節(jié)點(diǎn)數(shù)對PEL的影響,其中定位節(jié)點(diǎn)數(shù)從1變化至20,錨節(jié)點(diǎn)數(shù)為3個。從圖4可知,在非協(xié)作模式下,定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加對PEL并沒有影響。但是,在協(xié)作模式下,定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加迅速降低定位誤差。此外,相比于非協(xié)作模式,協(xié)作模式下的PEL得到有效地下降。例如,在定位節(jié)點(diǎn)數(shù)為16時(shí),非協(xié)作模式下的PEL約0.018 m;而協(xié)作模式下的PEL約0.007 m。

3.3 時(shí)延

本小節(jié)分析時(shí)延隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)和定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的影響,如圖5、圖6所示。

圖5 時(shí)延隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)變化情況

圖6 時(shí)延隨定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化情況

圖5顯示了時(shí)延隨錨節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化情況,其中定位節(jié)點(diǎn)數(shù)為10個。從圖5可知,協(xié)作模式下的時(shí)延遠(yuǎn)高于非協(xié)作模式下的時(shí)延,增加近2 s時(shí)延,例如,當(dāng)錨節(jié)點(diǎn)增加至10,協(xié)作模式下的時(shí)延增加至3.8 s。原因在于:協(xié)作模式下要獲取更多的測距信息,這必然增加了處理數(shù)據(jù)的時(shí)延。此外,錨節(jié)點(diǎn)的增加,也提高了時(shí)延。

圖6顯示了定位節(jié)點(diǎn)數(shù)對時(shí)延的變化情況,其中錨節(jié)點(diǎn)數(shù)為3個。從圖6可知,時(shí)延隨定位節(jié)點(diǎn)數(shù)增加而上升。與協(xié)作模式相比,非協(xié)作模式的時(shí)延較低,并且隨定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的增長速度緩慢。

4 總結(jié)

位置估計(jì)是無線網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的基礎(chǔ)。為此,本文基于UWB測距,并通過TW-TOA進(jìn)行測距,再建立測距模型。隨后,推導(dǎo)了關(guān)于錨節(jié)點(diǎn)數(shù)和定位節(jié)點(diǎn)數(shù)的定位精度和時(shí)延的表達(dá)式,同時(shí)引入權(quán)衡參數(shù),分析定位精度與時(shí)延的關(guān)系。最后,通過數(shù)據(jù)分析了錨節(jié)點(diǎn)數(shù)和定位節(jié)點(diǎn)數(shù)對定位精度、時(shí)延的影響。