利用時(shí)間序列模型對(duì)甘肅省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)與決策

魏艷華，王丙參，包麗莉

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

國(guó)民生產(chǎn)總值（GDP）反映了某地區(qū)總體經(jīng)濟(jì)狀態(tài)，是政府制定宏觀經(jīng)濟(jì)政策的主要依據(jù).另外，GDP也常常作為預(yù)測(cè)模型的重要變量，非常重要.[1]正是因?yàn)橐陨显?，許多學(xué)者利用各種模型與算法對(duì)GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，以便對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供決策依據(jù).[2-4]對(duì)GDP數(shù)據(jù)構(gòu)成的時(shí)間序列進(jìn)行預(yù)測(cè)，主要方法有兩類(lèi)：[4]一是確定性分析，如曲線回歸、移動(dòng)平均法、灰色預(yù)測(cè)法等，其結(jié)果易于解釋?zhuān)捎谠擃?lèi)方法只利用了確定性信息，沒(méi)有利用隨機(jī)信息，故精度有限；二是隨機(jī)性分析，比如ARIMA模型、條件異方差模型，這類(lèi)方法不僅利用了確定性信息，也利用了隨機(jī)信息，提高了精度，但缺點(diǎn)是不便于直觀解釋.本文根據(jù)甘肅省1978～2016年的GDP，分別建立了ARIMA模型與兩個(gè)殘差自回歸模型并進(jìn)行比較分析，建議優(yōu)先采用利用延遲因變量建立的殘差自回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，對(duì)政府制定經(jīng)濟(jì)策略提供參考.

1 基于ARIMA的甘肅省GDP預(yù)測(cè)

對(duì)差分平穩(wěn)時(shí)間序列（即經(jīng)差分后會(huì)變?yōu)槠椒€(wěn)時(shí)間序列的非平穩(wěn)時(shí)間序列）可以用ARIMA模型進(jìn)行擬合.[1-3]ARIMA(p,d,q)模型結(jié)構(gòu)如下：

對(duì)于一個(gè)時(shí)間序列，首先要進(jìn)行預(yù)處理，即平穩(wěn)性檢驗(yàn)與白噪聲檢驗(yàn).平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法主要有：

（1）時(shí)序圖法.根據(jù)平穩(wěn)序列的均值和方差均為常數(shù)可知，平穩(wěn)序列的時(shí)序圖應(yīng)該始終在一個(gè)常數(shù)附近隨機(jī)波動(dòng)，且波動(dòng)范圍有界，反之則否.

（2）自相關(guān)圖法.通常，平穩(wěn)序列有短期相關(guān)性，故其延遲k期自相關(guān)系數(shù) ρ?(k)會(huì)快速衰減向0，反之，ρ?(k)衰減向0的速度較慢.

（3）單位根檢驗(yàn).

Barlett證明[4]：對(duì)于n期純隨機(jī)觀測(cè)序列

（1）假定原假設(shè)

其中m為延遲期數(shù)；

（2）構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

Box和 Pierce[4]推導(dǎo)出當(dāng)統(tǒng)計(jì)量或 p值小于顯著性水平 α?xí)r，則以1-α的水平拒絕H0，即該序列不是純隨機(jī)序列.在大樣本場(chǎng)合，Q統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)效果很好，但是在小樣本場(chǎng)合就效果較差，為此Box和Ljung又推導(dǎo)出統(tǒng)計(jì)量[4]，它適合各種場(chǎng)合，人們普遍使用的是LB統(tǒng)計(jì)量.注意，延遲期數(shù)m的選擇會(huì)影響LB的統(tǒng)計(jì)表現(xiàn)，通過(guò)蒙特卡羅方法可知取m≈ln(n)會(huì)有較好的功效.

下面利用ARIMA模型對(duì)甘肅省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè).

（1）獲取甘肅省GDP觀測(cè)值序列.

從《國(guó)家統(tǒng)計(jì)年鑒》(2017)獲取甘肅省1978年至2016年的GDP數(shù)據(jù)，見(jiàn)圖1與SAS程序（單位：億元）.1978年之前，中國(guó)政策多變，且與改革開(kāi)放后有很大差異，故1978年之前GDP數(shù)據(jù)不選用.

圖1 甘肅省GDP時(shí)序圖

根據(jù)甘肅GDP時(shí)序圖（見(jiàn)圖1）容易判定：1978年至2016年，甘肅省GDP整體呈上升趨勢(shì)，剛改革開(kāi)放時(shí)，基數(shù)小，增長(zhǎng)幅度也不大，從2000年以后，GDP增長(zhǎng)很快，但最近幾年增速放緩，初步判定甘肅省GDP序列為非平穩(wěn)時(shí)間序列.特別注意，甘肅省2015年的GDP略微下降，這主要由中國(guó)當(dāng)前社會(huì)經(jīng)濟(jì)大環(huán)境嚴(yán)峻以及甘肅特殊的自然與社會(huì)環(huán)境導(dǎo)致.另外，從GDP的自相關(guān)圖（略）也可發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)函數(shù)緩慢衰減到2倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi),這是明顯的非平穩(wěn)特征.因此，可斷定GDP序列是非平穩(wěn)時(shí)間序列.

（2）嘗試對(duì)原序列進(jìn)行ARIMA建模.

經(jīng)初步嘗試，直接對(duì)原GDP序列建立ARIMA模型，效果很差（殘差序列是非白噪聲序列）.這是因?yàn)椋涸趯?shí)踐中，很多金融時(shí)間序列（GDP以貨幣衡量，也可認(rèn)為是金融時(shí)間序列）呈現(xiàn)一定異方差性質(zhì)，且通常序列標(biāo)準(zhǔn)差與序列均值有某種正比關(guān)系.原序列2階差分后的時(shí)序圖（見(jiàn)圖2）也顯示波動(dòng)隨時(shí)間而變化，且有增大趨勢(shì)，這也佐證了其異方差性.

圖2 原序列2階差分后的時(shí)序圖

將轉(zhuǎn)換函數(shù)g(xt)在序列均值 μt處進(jìn)行一階泰勒展開(kāi)：則

（3）利用對(duì)數(shù)序列進(jìn)行ARIMA建模.

現(xiàn)對(duì)原序列進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，由對(duì)數(shù)序列時(shí)序圖（見(jiàn)圖3）可知，對(duì)數(shù)序列l(wèi)n xt保持了原序列的變化趨勢(shì)，且大致呈一條直線，故利用一階差分運(yùn)算提取線性趨勢(shì).由ln xt的一階差分時(shí)序圖（見(jiàn)圖4）可知，一階差分運(yùn)算已經(jīng)成功從原序列提取了線性趨勢(shì)，差分后序列可初步認(rèn)定為平穩(wěn)序列.由自相關(guān)圖可知，自相關(guān)系數(shù)快速落到2倍標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，故可認(rèn)為對(duì)數(shù)序列l(wèi)n xt的一階差分后序列（記為dif(ln xt)）是平穩(wěn)的.對(duì)dif(ln xt)進(jìn)行白噪聲檢驗(yàn)可得：延遲6階QLB統(tǒng)計(jì)量值為13.72，p值為0.0330，小于0.05，故dif(ln xt)是非白噪聲序列，有進(jìn)一步分析的價(jià)值.

圖3 甘肅GDP取對(duì)數(shù)后的時(shí)序圖

圖4 對(duì)數(shù)序列的一階差分時(shí)序圖

圖5 一階差分序列的自相關(guān)圖

圖6 一階差分序列的偏自相關(guān)圖

顯然，自相關(guān)圖（見(jiàn)圖5）拖尾，偏自相關(guān)圖（見(jiàn)圖6）一階截尾，所以對(duì)序列l(wèi)n xt可建立ARIMA(1,1,0)模型.

SAS程序主體如下：

data gsgdp;

inputx@@;t=_n_;

logx=log(x);

logx1=dif(logx);

cards;

64.73 67.51 73.9 70.69 76.88

91.5 103.17 123.39 140.74 159.52

191.84 216.84 242.8 271.39 317.79

372.24 453.61 557.76 722.52 793.57

887.67 956.32 1052.88 1125.37 1232.03

1399.83 1688.49 1933.98 2277.35 2703.98

3166.82 3387.56 4120.75 5020.37 5650.2

6330.69 6836.82 6790.32 7200.37;

proc gplotdata=gsgdp;

plotx*t logx*t logx1*t;

symbol c=black i=spline v=star;

run;

proc arima data=gsgdp;

identify var=logx(1);estimate p=1;

forecast lead=3 id=tout=gsgdpjg;

run;

data gsgdpjg;

setgsgdpjg;

x=exp(logx);l95=exp(l95);u95=exp(u95);

forecast=exp(forecast);

run;

proc printdata=gsgdpjg;

var t forecast;where t＞39;

run;

部分輸出結(jié)果如下：

顯然，序列l(wèi)n xt的擬合模型為ARIMA(1,1,0)，模型為

且系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的 p值分別為＜.0001，0.0100，通過(guò)了顯著性檢驗(yàn).根據(jù)最小信息準(zhǔn)則，本模型的AIC=-109.349，SBC=-106.074.

對(duì)于殘差序列的白噪聲檢驗(yàn)，延遲6階的 p值為0.7314，顯著大于0.1，這表明：模型的殘差項(xiàng)中不再顯著蘊(yùn)含與樣本有關(guān)的信息，即構(gòu)建ARIMA(1,1,0)模型有效.

顯然，序列l(wèi)n xt未來(lái)3期的預(yù)測(cè)值分別為8.9763,9.0856,9.2013.

將其進(jìn)行對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化后可得甘肅2017-2019年的GDP預(yù)測(cè)值為7912.90，8827.46，9910.02億元.從整體看，甘肅省GDP預(yù)測(cè)值的相對(duì)誤差控制在5%的范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)結(jié)果較理想，擬合效果如圖7所示.

圖7 擬合效果圖

實(shí)際上，甘肅省2017年的GDP為7677.0億元，僅比上年增長(zhǎng)3.6%，而利用ARIMA模型的預(yù)測(cè)值為7912.90億元，高估較多.這是因?yàn)椋?017年復(fù)雜多變的國(guó)內(nèi)外環(huán)境和多年少有的嚴(yán)峻形勢(shì)導(dǎo)致了如此低的增長(zhǎng)率，低于2016年4個(gè)百分點(diǎn).這說(shuō)明當(dāng)前環(huán)境相對(duì)往年有較大變化，而ARIMA模型有效的前提是當(dāng)前環(huán)境基本平穩(wěn).最后，希望政府能改變觀點(diǎn)，吸引人才，創(chuàng)造良好的商業(yè)環(huán)境，盤(pán)活經(jīng)濟(jì).

2 基于殘差自回歸模型的甘肅省GDP預(yù)測(cè)

殘差自回歸模型既利用了確定性信息，也利用了隨機(jī)性信息，故精度高，又便于解釋?zhuān)琜5-8]其模型結(jié)構(gòu)為：

其中Tt是趨勢(shì)效應(yīng)擬合，St是季節(jié)效應(yīng)擬合，εt為殘差序列.

殘差自回歸模型1：由于甘肅省GDP時(shí)序圖呈拋物線趨勢(shì)增長(zhǎng)且沒(méi)有周期，故考慮采用時(shí)間t的冪函數(shù)作為自變量，即采用擬合趨勢(shì)效應(yīng).

SAS程序主體如下：

datagsgdp;

inputx@@;

t=_n_;t2=t**2;

cards;

數(shù)據(jù)

;

proc autoreg data=gsgdp;

modelx=t t2/dwprob;

modelx=t t2/nlag=5 backstepmethod=m lnoint;

outputout=wang p=xp pm=xtrend;

run;

部分輸出結(jié)果如下：

顯然，DW統(tǒng)計(jì)量的值為0.1760，正相關(guān)檢驗(yàn)的p值＜.0001，故殘差序列顯著正相關(guān)，應(yīng)對(duì)殘差建立自回歸模型.

顯然，最終擬合殘差自回歸模型為

在顯著性水平α=0.05下，模型系數(shù)都通過(guò)了顯著性檢驗(yàn).

圖8 擬合效果圖

顯然，本模型的 AIC為500.330585，SBC為506.984831.注意，此處的AIC、SBC與ARIMA模型中的AIC、SBC不能直接比較，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的時(shí)間序列是不同的.進(jìn)一步，趨勢(shì)擬合部分的R2為0.9315，整體擬合模型的R2高達(dá)0.9980，另外，擬合值的相對(duì)誤差控制在理想范圍內(nèi)，故擬合效果（見(jiàn)圖8）好.相對(duì)于二次曲線回歸模型，R2由0.9696提升到0.9980，最小信息量SBC由585.461638下降為506.984831，這表明殘差自回歸模型提高了預(yù)測(cè)精度.

在SAS程序數(shù)據(jù)步，將甘肅GDP數(shù)據(jù)最后三個(gè)定義為缺失數(shù)據(jù)即可進(jìn)行3期預(yù)測(cè)，見(jiàn)表1.

表1 三期預(yù)測(cè)值

可見(jiàn)，甘肅省2017～2019年GDP整體預(yù)測(cè)值分別為7374.946909,7492.630553，7717.752566億元.

殘差自回歸模型2：下面建立延遲因變量回歸模型，建模思路同上，SAS程序主體為：

data gsgdp;

inputx@@;

lagx=lag(x);

cards;

數(shù)據(jù)

;

proc autoreg data=gsgdp;

modelx=lagx/dwprob;

model x=lagx/nlag=5 backstep method=ml noint;out?

putout=wang p=xp;

run;

部分輸出結(jié)果為：

最終擬合模型為：

本模型的R2為0.9972，稍微低于殘差自回歸模型1，AIC為493.612456，SBC為496.887628，這兩項(xiàng)指標(biāo)都優(yōu)于殘差自回歸模型1，MSE為24150，大于殘差自回歸模型1.此模型可解釋為：在外界沒(méi)有突變的情況下，甘肅省GDP每年遞增8.29%，且以上期殘差的0.5305倍進(jìn)行修正，即本模型具有一定的自我修正功能.自我修正就是統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)，其目的是使學(xué)到的模型對(duì)已知數(shù)據(jù)與未知數(shù)據(jù)都具有較好的預(yù)測(cè)功能，從而使模型更能適應(yīng)外界的變化.進(jìn)一步可得，一期預(yù)測(cè)值為7716.0051895億元.

3 結(jié) 論

采用共同標(biāo)準(zhǔn)可對(duì)三個(gè)模型進(jìn)行直接比較，如果以MSE為標(biāo)準(zhǔn)，由于取對(duì)數(shù)后建立ARIMA模型（簡(jiǎn)稱(chēng)取對(duì)數(shù)ARIMA模型）的MSE為27992，最大，所以對(duì)于本文建立的三個(gè)模型，對(duì)數(shù)ARIMA模型的效果最差，殘差自回歸模型1最優(yōu).但是，對(duì)于2017年GDP的真實(shí)值而言，殘差自回歸模型2預(yù)測(cè)值的誤差最小，僅僅高估39億元，且模型便于直觀解釋?zhuān)鴼埐钭曰貧w模型1預(yù)測(cè)值的誤差最大，低估303億元.從模型的復(fù)雜度而言，對(duì)數(shù)ARIMA模型經(jīng)多對(duì)數(shù)運(yùn)算與差分運(yùn)算后，采用了3個(gè)變量，殘差自回歸模型1直接采用了5個(gè)變量，而殘差自回歸模型2僅僅采用了3個(gè)變量，故殘差自回歸模型2最簡(jiǎn)單.在所有可選擇的模型中，能夠解釋已知數(shù)據(jù)且非常簡(jiǎn)單的模型才是好模型，故優(yōu)先選擇殘差自回歸模型2.另外，最近幾年，國(guó)內(nèi)外環(huán)境變化很大，中國(guó)GDP增速放緩，個(gè)別省份在某些年份甚至出現(xiàn)負(fù)增長(zhǎng)，這也導(dǎo)致利用延遲變量建立的殘差自回歸模型更有效，即殘差自回歸模型2的適應(yīng)性強(qiáng)，因此，在外界環(huán)境變化較大情況下，其預(yù)測(cè)精度可能更高.綜上所述，對(duì)甘肅省GDP進(jìn)行預(yù)測(cè)，可優(yōu)先選用殘差自回歸模型2，因?yàn)樗苓m合外界環(huán)境的變化.

ARIMA模型利用差分提取確定性信息，并對(duì)隨機(jī)信息建立ARMA模型，提高了估計(jì)精度，但不便于經(jīng)濟(jì)解釋.殘差自回歸模型結(jié)合了確定性分析與隨機(jī)性分析的優(yōu)點(diǎn)，精度較高，且經(jīng)濟(jì)意義直觀.另外，延遲1階因變量的自回歸模型與AR（1）模型是不同的，AR(1)模型只能對(duì)平穩(wěn)序列建模，而前者既可以對(duì)平穩(wěn)序列建模，也可以對(duì)非平穩(wěn)序列建模，適用面更廣.