一類嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)的采樣鎮(zhèn)定

賈金平，張凡娣

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 天水 741001）

眾所周知，在現(xiàn)代的工業(yè)自動化系統(tǒng)中，以計算機為核心的數(shù)字控制系統(tǒng)正逐步取代以模擬電路為主的模擬控制系統(tǒng).和傳統(tǒng)的模擬控制器相比，計算機控制不但可以實現(xiàn)許多高級復(fù)雜的控制算法，而且能夠?qū)h(yuǎn)距離的設(shè)備進(jìn)行統(tǒng)一的調(diào)度和控制.因此，作為計算機控制理論基礎(chǔ)的采樣系統(tǒng)理論成為了近年來控制領(lǐng)域的研究熱點.國內(nèi)外有很多控制論專家都投入到了這方面的研究，并形成了豐富的研究成果.[1-2]在采樣系統(tǒng)中，控制器在每個采樣時刻決定了從現(xiàn)在到下一采樣時刻的控制量.如何為給定的連續(xù)時間系統(tǒng)設(shè)計采樣控制器是采樣系統(tǒng)理論的一個核心問題.對于線性系統(tǒng)，該問題已經(jīng)得到了較好的解決.但對非線性系統(tǒng)，由于采樣帶來的復(fù)雜性，使得這一問題變得極具挑戰(zhàn)性.大多數(shù)情況下，非線性采樣系統(tǒng)的控制器設(shè)計都采用基于連續(xù)模型的設(shè)計方法.[3]該方法直接對連續(xù)控制器進(jìn)行離散化.但研究表明，這種控制器只有在采樣周期較小時才有效.為了得到在較大采樣周期情況下能夠保持理想控制性能的采樣控制器.基于Lyapunov函數(shù)匹配的思想，Tiefensee等人對一類嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)提出了一種具有冪級數(shù)形式的采樣控制方案.[4]后來Tanasa將該方法推廣到了多率采樣控制的情形.[5]受這些結(jié)果的啟發(fā)，本文對Tanasa的結(jié)果做了進(jìn)一步的推廣，在考慮輸入延遲的情況下，對一類二階嚴(yán)格反饋系統(tǒng)提出了一種基于預(yù)測器的多率控制方案.

1 預(yù)備知識

考慮具有如下形式的嚴(yán)格反饋非線性時滯系統(tǒng)

引理1.1考慮無延遲非線性系統(tǒng)(1)(即τ=0)，假設(shè)存在一個光滑函數(shù)η*=φ(ξ)和一個徑向無界的正定函數(shù) W(ξ)(W(0)=0)，使得

則在如下狀態(tài)反饋控制器下

系統(tǒng)(1)的原點平衡狀態(tài)(0,0)'是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.即 ，存 在 一 個 徑 向 無 界 的 正 定 函 數(shù) V(ξ,η)(V(0,0)=0)，使得對 ?(ξ,η)∈ ?2-(0,0)，有

在設(shè)計連續(xù)控制器uc的過程中，令則無延遲系統(tǒng)(1)可被等價地寫成

引理1.2考慮無延時系統(tǒng)(1)(即τ=0)，給定一個形如式(3)的光滑狀態(tài)反饋控制器.則對一個充分小的，存在一個多率采樣控制器這里

注意到，控制器(7)中的未知系數(shù)aij通過求解一個代數(shù)方程得到，它們的值可以看成是xk的函數(shù)，所以我們可以把該控制器簡單的寫成

2 控制器設(shè)計與分析

下面考慮輸入延時系統(tǒng)(1)(即τ＞0)的采樣鎮(zhèn)定問題.在引理1.1和1.2的基礎(chǔ)上，提出一種基于預(yù)測器的多率采樣控制方案.為了保證系統(tǒng)解的存在性以及避免有限時間逃逸現(xiàn)象的發(fā)生，本文總假設(shè)對任意的初值和任意的控制輸入，所涉及動態(tài)方程的解在整個時間軸上都是存在的.

定理2.1考慮非線性時滯系統(tǒng)(1)，給定一個形如式(3)的光滑狀態(tài)反饋控制器.假設(shè)輸入延時τ是采樣周期的整數(shù)倍(即τ=Nδ).則對一個充分小的T*＞0 ，對任意的 δ∈[0,∞)，存在一個多率采樣控制器

使得系統(tǒng)(1)的原點平衡狀態(tài)(0,0)'是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.給定初始條件由下面方程產(chǎn)生

證明假設(shè)輸入延時是采樣周期的整數(shù)倍，即存在N∈?，使得τ=Nδ.根據(jù)微分方程解的Lie-級數(shù)表示,[7]非線性時滯系統(tǒng)(1)的采樣等價模型可以表示為

這里α和β是如(6)中一樣所定義的光滑函數(shù).通過引入中間變量，可以將時滯系統(tǒng)(11)轉(zhuǎn)化為下面的無延遲系統(tǒng)

對系統(tǒng)(12)，根據(jù)引理1.1中的V構(gòu)造下面的Lyapu?nov函數(shù)

這說明系統(tǒng)(1)的離散等價系統(tǒng)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.由假設(shè)知，對任意的t0≥0和任意的初始條件x(t0)，系統(tǒng)(5)的解 x(t)，t∈[0,+∞)存在.由 α(x)和 β(x)的連續(xù)性可知，系統(tǒng)(5)的解在任意閉區(qū)間上有界.這說明，與之等價的系統(tǒng)(1)的解是全局一致有界的.綜合離散等價系統(tǒng)的全局漸進(jìn)穩(wěn)定性，應(yīng)用文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果，可以證明，在多率采樣控制器(9)-(10)下，時滯系統(tǒng)(1)的原點平衡點(0,0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.