耦合激勵下的液艙晃蕩新型數(shù)值解法

王慶豐，徐 剛，王樹齊，田 超

（1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003；2.中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無錫214082）

0 引言

頻域理論的應(yīng)用可以說已經(jīng)相當(dāng)成熟，但是頻域法存在一個本質(zhì)上的限制，即它通常只適用于周期穩(wěn)態(tài)問題，對于瞬變或者強(qiáng)非線性問題往往無法處理。但是時域理論是頻域理論的超集，是一種時間項(xiàng)不可分離的方法。理論上可以解決完全非線性以及物體任意運(yùn)動的問題，具有相當(dāng)大的自由度。本文采用基于簡單格林函數(shù)的時域邊界元方法，對于傳統(tǒng)邊界元方法，奇異點(diǎn)的處理一直是難點(diǎn)。本文使用的去奇異邊界元法（Desingularized Boundary Integral Equation Method）將傳統(tǒng)方法中直接布置于流體計(jì)算域表面節(jié)點(diǎn)上的所有奇點(diǎn)移至計(jì)算域外部，很好地解決了奇異積分問題。為了能夠更好地模擬液艙內(nèi)的運(yùn)動，本文利用FORTRAN 研發(fā)了一套可以模擬任意尺度液艙晃蕩的程序。

目前，基于去奇異邊界元法對勢流問題的研究已越來越多。Jensen 等[1]利用去奇異方法來分析在穩(wěn)定入射波情況下求解阻力的問題；Cao，Schultz 和Beck[2]和Lee[3]基于時間步進(jìn)技術(shù)和去奇點(diǎn)邊界積分方程，結(jié)合二者來模擬簡單潛體及浮體運(yùn)動的完全非線性效應(yīng)問題；李宗翰等[4]使用去奇異積分方程方法仿真了任意三維浮體的完全非線性流場；Scorpio 和Beck[5]，王大國等[6]對完全非線性數(shù)值水池進(jìn)行了探索；Kara 等[7]利用去奇異邊界元方法研究了完全非線性波物相互作用三維時域問題；Zhang 等[8]基于去奇異方法研究了雙體船的耐波性；徐剛等[9]進(jìn)行了隨機(jī)波浪下三維液艙的全非線性數(shù)值分析。

1 去奇異邊界元理論

1.1 控制方程及初始條件

根據(jù)勢流理論，基于流體運(yùn)動的連續(xù)性條件和無旋條件，速度勢φ 在流體域D 中滿足Laplace 方程，定解條件如下：

給定初始條件如下：

1.2 自由面條件差分格式

自由表面上的速度勢φ 時間步進(jìn)求解一般采用有限差分法。這種處理方法的缺點(diǎn)是相對比較復(fù)雜，而且在此過程中容易出現(xiàn)數(shù)值發(fā)散。本文采用一種新的積分格式的自由面條件（Integral form of free surface boundary condition[10]，IFBC）。通過此積分格式，可以由（3）式和（4）式得到自由面上一階速度勢的表達(dá)式，見（7）式。這種積分格式的自由面條件穩(wěn)定性高，誤差小，不會出現(xiàn)結(jié)果發(fā)散的現(xiàn)象。

對線性自由面條件采用先積分后離散的處理方法，在等式兩邊對t 在（0，τ1）重積分，然后再對τ1在（0，τ）中積分，可得到：

再由初始條件，上式可以寫為：

然后采用如下的離散模型將（9）式進(jìn)行離散：在空間上把自由面劃分成若干小平面單元，并假定每個單元中心點(diǎn)上的物理量為常數(shù)分布；在時間上以時間Δt 為步距，等間隔前進(jìn)。采用梯形公式離散（9）式，可以得到：

1.3 去奇異邊界元積分方法

采用邊界元方法的關(guān)鍵一步是積分方程的離散。本文基于分布源法，流場中的速度勢可以表達(dá)為：

式中：p（x，y，z）為場點(diǎn)，即流體域內(nèi)的動點(diǎn)；q（ξ，η，ζ）為源點(diǎn)，即點(diǎn)源所在固定點(diǎn)；rpq為p 和q 兩點(diǎn)間距離，即；S1為流體域上積分表面。

因此上節(jié)提到的邊界條件可改寫成如下形式：

將上述二式代入（11）式，那么關(guān)于未知量σ0（q，t）的積分方程可表示為：

對于（14）式和（15）式的積分方程，傳統(tǒng)的邊界元方法都是將源強(qiáng)直接分布在物體及自由表面上，也就是說積分表面S1即為流域的邊界。這樣往往會出現(xiàn)由于格林函數(shù)1/rpq的分母趨于零所帶來的奇異積分的問題。本文采用的方法為去奇異邊界元方法，即將傳統(tǒng)作法中原本直接布置于流體計(jì)算域表面節(jié)點(diǎn)上的所有奇點(diǎn)，移至計(jì)算域外面，也就是將傳統(tǒng)作法中疊在一起的節(jié)點(diǎn)和奇點(diǎn)分開了。在積分邊界SF和SW每個單元上分別布置強(qiáng)度為σF和σW的點(diǎn)源，SF和SW是實(shí)際流體域外距離流體域很近的積分表面，則：

將（14）-（15）式代入上式，則：

假設(shè)研究的問題中總共有N 個孤立的點(diǎn)源構(gòu)成，則（17）式和（18）式可簡化成如下的N 個孤立點(diǎn)源的代數(shù)和的形式：

當(dāng)采用上述離散方法對總共N 個配置點(diǎn)列寫方程后，可最終得到如下N×N 的線性代數(shù)方程組：

式中：Aij為影響系數(shù)矩陣；bi為邊界條件所形成的確定矩陣；σj為待求的未知源強(qiáng)。

求解線性代數(shù)方程組（21）后即可得出未知源強(qiáng)。由（10）式求得速度勢，可以通過以下（22）-（24）式求得水動壓力p、波高η 和水動力F。

1.4 基于DBIEM 晃蕩程序的流程

基于DBIEM 理論，以FORTRAN 語言為工具，本文編寫了一套能夠模擬任意尺寸任意形狀液艙晃蕩的程序。圖1 是晃蕩程序的基本流程圖。

圖1 晃蕩程序基本流程Fig.1 The basic process of sloshing program

2 數(shù)值方法有效性驗(yàn)證

2.1 線性晃蕩解析解

2.1.1 水平方向激勵液艙晃蕩

對于周期性激勵ue= Acosωt，其中ue是液艙激勵速度，A=bω 為速度幅值，b 為位移幅值，ω 為激勵頻率，F(xiàn)altinsen給出了求解速度勢φ 的線性解析方法，通過下式可以很容易地將求得的φ 值轉(zhuǎn)化為自由液面的分布[11]（液艙水深h、長度2a、寬度2w，且原點(diǎn)位置在液面中心處）。

2.1.2 橫蕩縱蕩耦合線性激勵液艙晃蕩

對于周期性振動ue= Acosωt，我們將振動速度ue投影到x 與y 方向并將此類問題當(dāng)作橫蕩與縱蕩耦合問題考慮。將一維線性激勵下x 與y 方向的Faitinsen 解析解進(jìn)行結(jié)合，即得到橫蕩與縱蕩耦合線性激勵下三維液艙液面升高解析解（液艙水深h、長度2a、寬度2w，且原點(diǎn)位置在液面中心處）。

2.2 數(shù)值解與解析解對比

在數(shù)值模擬中，取坐標(biāo)系O-XYZ，OXY 平面與靜水面重合，Z 軸垂直向上。液艙的長和寬分別為L和B，h 表示液艙內(nèi)液體高度。表1所示為液艙的主要參數(shù)。

表1 液艙主要模擬參數(shù)Tab.1 Main simulation parameters of tank

為驗(yàn)證程序是否準(zhǔn)確，本文在網(wǎng)格收斂性分析的基礎(chǔ)上，選取合適的網(wǎng)格大小、時間步長以及去奇異距離（如表2所示），模擬不同激勵頻率作用下液艙晃蕩問題。

表2 主要計(jì)算參數(shù)Tab.2 The main calculation parameters

表2 中Nx 為液艙長度方向的劃分網(wǎng)格個數(shù)；Ny 為液艙寬度方向的劃分網(wǎng)格個數(shù)；Nz 為液艙高度方向的劃分網(wǎng)格個數(shù)；dt 為時間步長；T 為激勵周期；ld為去奇異距離，相當(dāng)于一參數(shù)，取值范圍為0～1；A 為激勵幅值，單位為m。

2.2.1 單向激勵下晃蕩數(shù)值解法驗(yàn)證

考慮到微幅運(yùn)動，單向激勵幅值取為0.01h，h 為液艙內(nèi)液面高度，入射頻率分別為0.5ω0（ω0為液艙在激勵方向上的固有頻率，此處即為液艙的縱向固有頻率），0.999 9ω0和1.1ω0。計(jì)算結(jié)果如圖2所示，圖中點(diǎn)劃線為數(shù)值解，實(shí)線為解析解。

圖2 不同激勵頻率下計(jì)算點(diǎn)波高時歷曲線Fig.2 Time history of free surface elevation at different frequencies

從圖2 可以看出，各液艙激勵頻率下，數(shù)值解都能夠很好地與解析解吻合，誤差僅在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了去奇異邊界元法求解液艙晃蕩問題的有效性。由以上各圖還可以看出計(jì)算點(diǎn)處波高時歷曲線隨著激勵頻率的不同其變化規(guī)律也出現(xiàn)變化，激勵頻率遠(yuǎn)離液艙固有頻率時如圖2（a）所示，曲線變化較快，有一定規(guī)律性，波高最大值在0.006 m 左右；當(dāng)激勵頻率接近液艙固有頻率時，計(jì)算點(diǎn)處波峰首先隨時間不斷增加達(dá)到最大值后又開始下降，并以此規(guī)律不斷循環(huán)，有很強(qiáng)的規(guī)律性，圖2（c）顯示了這一特征。不難看出越接近液艙固有頻率波高峰值就越大，如圖2（b）所示。

2.2.2 橫蕩縱蕩耦合激勵作用下液艙晃蕩數(shù)值分析

針對單向微幅激勵下液艙內(nèi)流體運(yùn)動模擬，程序已經(jīng)可以達(dá)到很高的精度。當(dāng)液艙受到雙向耦合激勵時流體運(yùn)動模式會有很大的不同，程序中也要加入相應(yīng)的耦合模塊。因此，對于耦合激勵時液艙內(nèi)流體運(yùn)動也要進(jìn)行相應(yīng)的對比分析。圖3-5給出了不同耦合激勵頻率組合下，液艙四個角點(diǎn)處波高時歷曲線。

圖3 ωpx=0.5ω0x，ωpy=0.5ω0y 時液面四角點(diǎn)的波高時歷曲線Fig.3 Wave elevation history at four corners when ωpx=0.5ω0x,ωpy=0.5ω0y

圖4 ωpx=0.9ω0x，ωpy=0.5ω0y 時液面四角點(diǎn)的波高時歷曲線Fig.4 Wave elevation history at four corners when ωpx=0.9ω0x,ωpy=0.5ω0y

圖5 ωpx=0.9ω0x，ωpy=0.9ω0y 時液面四角點(diǎn)的波高時歷曲線Fig.5 Wave elevation history at four corners when ωpx=0.9ω0x,ωpy=0.9ω0y

圖中ωpx，ωpy分別為沿x 方向與y 方向的激勵頻率；ω0x，ω0y分別為液艙沿x 方向與y 方向的固有頻率。與單一激勵相似，激勵頻率越接近固有頻率，液艙內(nèi)流體晃蕩越劇烈，ωpx=0.5ω0x，ωpy=0.5ω0y時晃蕩最大值約為0.013 m；ωpx=0.9ω0x，ωpy=0.9ω0y已經(jīng)達(dá)到0.1 m。ωpx=0.9ω0x，ωpy=0.5ω0y時時歷曲線表現(xiàn)出了很強(qiáng)的規(guī)律性，這與單一激勵結(jié)果相似；但ωpx=0.9ω0x，ωpy=0.9ω0y時卻比較復(fù)雜，這主要是由于當(dāng)耦合激勵頻率接近固有頻率時會產(chǎn)生共振并有強(qiáng)烈的相互干擾。

3 結(jié) 語

針對邊界元方法求解波浪中結(jié)構(gòu)物運(yùn)動響應(yīng)，尤其是在處理非線性問題時會遇到奇異性問題，本文采用了去奇異邊界元方法，同時基于這一理論研發(fā)了一套可以針對不同模型不同尺寸液艙進(jìn)行晃蕩模擬的程序，程序中加入了六自由度運(yùn)動耦合的模塊，可模擬液艙在六個自由度耦合激勵作用下內(nèi)部液體晃蕩各要素隨時間變化情況，文中僅針對單一激勵和橫蕩縱蕩耦合激勵下液艙晃蕩問題的數(shù)值模擬，并將結(jié)果與解析解進(jìn)行對比。結(jié)果表明，數(shù)值解和解析解吻合很好，驗(yàn)證了文中方法的有效性及對此問題的精度，可以進(jìn)一步拓展到二階或者全線性問題。