高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的雙時(shí)延反饋混沌化

柴 凱，樓京俊，楊慶超，俞 翔

（海軍工程大學(xué)a.艦船與海洋學(xué)院；b.科研學(xué)術(shù)處，武漢430033）

0 引言

艦船動(dòng)力機(jī)械周期性運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生的水下輻射噪聲主要有兩個(gè)危害，其一是線譜特征，其二是線譜強(qiáng)度，利用非線性隔振系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)其響應(yīng)功率譜呈連續(xù)譜的特點(diǎn)，可以改變和重構(gòu)動(dòng)力機(jī)械振動(dòng)傳遞到艇體基座的線譜特征，提高艦船的聲隱身性能。朱石堅(jiān)等[1]系統(tǒng)地提出了線譜混沌化控制方法；樓京俊等[2]深入研究線譜混沌化的基本原理，提出了Duffing 隔振系統(tǒng)的性能評(píng)估指標(biāo)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了混沌隔振原理的有效性；俞翔等[3]采用數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)方法研究了非線性隔振系統(tǒng)在混沌狀態(tài)的隔振性能；劉樹(shù)勇等[4]對(duì)準(zhǔn)周期激勵(lì)非線性隔振系統(tǒng)的混沌進(jìn)行了研究?；诨煦绲母粽裣到y(tǒng)研究重點(diǎn)和難點(diǎn)在于如何實(shí)現(xiàn)小振幅、寬頻域和持續(xù)的混沌，很多學(xué)者開(kāi)展了非線性系統(tǒng)的混沌化技術(shù)研究。張振海等[5]利用Lyapunov 指數(shù)配置，提出了離散脈沖混沌化方法；曾強(qiáng)洪等[6]對(duì)投影混沌同步在隔振系統(tǒng)中的應(yīng)用進(jìn)行了深入研究；張敬等[7]提出了非線性時(shí)延反饋控制的混沌化方法；李盈利等[8]利用時(shí)延反饋實(shí)現(xiàn)了雙層非線性隔振系統(tǒng)的持續(xù)小振幅混沌化。混沌化方法雖然能有效改變線譜特征，但在削弱其線譜強(qiáng)度上作用不大，降低動(dòng)力機(jī)械振動(dòng)向船體傳遞最有效的方法是提高隔振系統(tǒng)的隔振性能。高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)是一種將正負(fù)剛度彈性元器件并聯(lián)在靜平衡位置獲得低剛度的組合隔振系統(tǒng)，能有效解決大承載力和超低頻隔振、超低剛度和位置穩(wěn)定性、低頻振動(dòng)傳遞率和高頻振動(dòng)衰減率不可兼顧的矛盾，具有高的靜載支撐能力和低頻隔振性能，且有利于實(shí)現(xiàn)小能量混沌化控制，引起了諸多學(xué)者極大的關(guān)注。鄭宜生等[9]對(duì)基于永磁鐵和電磁鐵的高靜低動(dòng)隔振器進(jìn)行了深入研究；Zhou 等[10]通過(guò)電磁鐵、永磁體和屈曲梁得到了半主動(dòng)的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)；孟令帥等[11]研究了等厚和變厚蝶形彈簧提供負(fù)剛度的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)。高靜低動(dòng)隔振器負(fù)剛度實(shí)現(xiàn)機(jī)制主要有以下三種形式：（1）儲(chǔ)備了一定能量或發(fā)生了一定形變的機(jī)構(gòu)；（2）幾何非線性機(jī)構(gòu)；（3）微小擾動(dòng)后能減小回復(fù)力的機(jī)構(gòu)。本文通過(guò)雙時(shí)延反饋控制實(shí)現(xiàn)高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的混沌化，實(shí)現(xiàn)線譜混沌化控制技術(shù)與艦船動(dòng)力裝置隔振的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到了降低線譜強(qiáng)度和隱匿線譜信息的雙重目的。

1 系統(tǒng)建模和問(wèn)題描述

1.1 高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

典型三彈簧高靜低動(dòng)系統(tǒng)的原理如圖1所示。主要由一根正剛度豎直彈簧和兩根完全相同的負(fù)剛度斜彈簧組成，其中豎直彈簧剛度為k2，斜彈簧剛度為k1，三根彈簧的一端在C 點(diǎn)連接，另一端分別鉸接在A、B 和O 點(diǎn)；斜彈簧水平時(shí)的長(zhǎng)度a，此時(shí)豎直彈簧處于靜平衡位置，相應(yīng)壓縮量為h，x 表示系統(tǒng)在外力f 作用下產(chǎn)生的位移。

在外力f 作用下，高靜低動(dòng)系統(tǒng)在豎直方向上的力：

設(shè)y=x-h，并將（1）式無(wú)量綱化可得

圖1 高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic representation of an isolator based on HSLDS

（2）式依據(jù)三階Maclaurin 公式展開(kāi)，可得

因此，水平彈簧不僅能夠降低系統(tǒng)的正剛度，從而減小系統(tǒng)的固有頻率，擴(kuò)大隔振頻帶的寬度；而且能夠產(chǎn)生非線性立方剛度，具有硬彈簧的特性，從而使系統(tǒng)的共振曲線骨架向高頻彎曲，發(fā)生共振頻率轉(zhuǎn)移現(xiàn)象。

1.2 雙時(shí)延反饋控制的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

考慮的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)為含有位移和速度的雙時(shí)延反饋控制器，具體如圖2所示。被隔振物體質(zhì)量為M，它由一個(gè)含一次剛度系數(shù)k1和三次剛度系數(shù)k3的彈簧和一個(gè)線性阻尼組成的隔振器支撐，在被隔振物體和基座之間有兩個(gè)作動(dòng)器，用來(lái)施加雙時(shí)延反饋控制，Kt1和Kt2分別為位移和速度反饋的控制增益，τ1和τ2分別為位移和速度反饋的延遲時(shí)間，且τ1=τ2。

M 處于靜平衡位置時(shí)彈簧壓縮量為h，令X=Z-h，在簡(jiǎn)諧力Fcos（ωnt）激勵(lì)下，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

圖2 雙時(shí)延反饋控制的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)模型Fig.2 Vibration isolation system based on HSLDS with dual time-delay feedback control

其中：Mg=k3h3-k1h，則（5）式可進(jìn)一步改寫為

在kti=0（i= 1，2）時(shí)，求得（7）式的平衡點(diǎn)A（0，0）。為了分析（7）式在平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性，在A 點(diǎn)處施加一個(gè)無(wú)限小的擾動(dòng)（Δx1，Δy1），則其滿足如下線性化方程：

2 穩(wěn)定性分析

系統(tǒng)穩(wěn)定性分析主要分為全時(shí)延穩(wěn)定性和穩(wěn)定性切換。系統(tǒng)全時(shí)延穩(wěn)定是指對(duì)于任意給定的時(shí)延τ 系統(tǒng)均穩(wěn)定[12]；而在實(shí)際系統(tǒng)中，系統(tǒng)全時(shí)延穩(wěn)定的控制增益區(qū)間較小，實(shí)際控制增益常位于全時(shí)延穩(wěn)定區(qū)域之外。穩(wěn)定性切換是指當(dāng)控制增益位于全時(shí)延穩(wěn)定區(qū)域之外時(shí)，隨著參數(shù)的變化，系統(tǒng)穩(wěn)定性會(huì)有由不穩(wěn)定變?yōu)榉€(wěn)定，或者由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的現(xiàn)象[13]。

線性時(shí)延系統(tǒng)（8）的特征方程為：

定理1：方程（8）零解全時(shí)延穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)它滿足以下兩個(gè)條件：

（1）當(dāng)τ=0 時(shí)，P（λ）+Q（λ）是Hurwitz 穩(wěn)定的；

（2）對(duì)于所有的τ≥0，D（iω ，τ）=0 無(wú)非零實(shí)數(shù)根ω。

當(dāng)τ=0 時(shí)，由Routh-Hurwitz 穩(wěn)定性判據(jù)可知系統(tǒng)零解全時(shí)延穩(wěn)定應(yīng)滿足kt1＜1，kt2＜2ξ。在上述前提下，假設(shè)式具有純虛根λ=iω（ω≥0），則有

分離（10）式的實(shí)部和虛部，可得關(guān)于諧波函數(shù)的方程組：

由此得到：

消去方程（12）中的諧波項(xiàng)，可得一個(gè)關(guān)于ω 的四次代數(shù)方程如下：

根據(jù)不同的參數(shù)組合形式，可以得到D（iω ，τ）=0 無(wú)正實(shí)根的條件為：p≥0，q≥0 或p＜0，p2-4q＜0，即：

由（14）式可知方程（10）最多有兩個(gè)正實(shí)根ω1和ω2，將其代入（12）式可求出兩組臨界時(shí)延：

其中：c=1，2，k=0，1，2，L，arccos（·）是反余弦函數(shù)。

特征根λ 是時(shí)延τ 的函數(shù)，求出一對(duì)純虛根±iωc和相應(yīng)臨界時(shí)延τk后，純虛根的變化趨勢(shì)就可由確定，其中sgn 為符號(hào)函數(shù)。在ω1和ω2處，有

采用如下定理[15]分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性切換：

定理2：假設(shè)P（iω）和Q（iω）無(wú)公共實(shí)根，且P（0）+Q（0）≠0，且F（ω）=0 無(wú)非零重根，則有：

（1）若F（ω）=0 無(wú)實(shí)根或僅有零根，則系統(tǒng)穩(wěn)定性與無(wú)時(shí)延時(shí)的穩(wěn)定性一致；

（2）若F（ω）=0 僅有1 個(gè)正單根，且τ=0 時(shí)穩(wěn)定，存在臨界時(shí)延τ0，使得系統(tǒng)在τ∈[0，τ0）內(nèi)穩(wěn)定，而τ≥τ0時(shí)不穩(wěn)定，發(fā)生一次穩(wěn)定性切換；而τ=0 時(shí)不穩(wěn)定，則系統(tǒng)全時(shí)延不穩(wěn)定；

（3）若F（ω）=0 有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正實(shí)根，隨著τ 的增大，發(fā)生有限次數(shù)的穩(wěn)定性切換，最終系統(tǒng)不穩(wěn)定。

表1 不同參數(shù)組合下臨界時(shí)延的計(jì)算公式Tab.1 Computational formula of critical time delays with different parameter combinations

3 數(shù)值仿真與分析

將無(wú)量綱控制增益kt1、kt2和τ 作為控制參數(shù)，若無(wú)特殊說(shuō)明，設(shè)定系統(tǒng)的參數(shù)為：ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，初始條件為（0.001，0）。為驗(yàn)證穩(wěn)定性分析結(jié)論的準(zhǔn)確性，進(jìn)行下列算例仿真。

算例①：kt1=-1.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有一個(gè)實(shí)根ω2=1.541 5＞ω0，且滿足F′（ω2）=8.947 1＞0，相應(yīng)臨界時(shí)延為：

算例②：kt1=-0.5，kt2=0.1

F（ω）=0 有兩個(gè)不同實(shí)根ω1=0.776 4＜ω0＜ω2=1.118 0，且F′（ω1）=-1.007 0＜0，F(xiàn)′（ω2）=1.435 4＞0，相應(yīng)臨界時(shí)延和為：

圖3 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=-1.5，kt2=0.1）Fig.3 Response of the isolated equipment when kt1=-1.5 and kt2=0.1

圖4 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=-0.5，kt2=0.1）Fig.4 Response of the isolated equipment when kt1=-0.5 and kt2=0.1

算例③：kt1=0.1，kt2=0.1

易知kt1=0.1 和kt2=0.1 滿足全時(shí)延穩(wěn)定性條件：，因此系統(tǒng)對(duì)任何時(shí)延均穩(wěn)定。高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的響應(yīng)如圖5所示，由圖可知，系統(tǒng)在τ=4.5、τ=7.5 和τ=12.5 時(shí)均穩(wěn)定。

圖5 隔振設(shè)備的響應(yīng)（kt1=0.1，kt2=0.1）Fig.5 Response of the isolated equipment when kt1=0.1 and kt2=0.1

4 雙時(shí)延反饋混沌化

穩(wěn)定性分析表明，通過(guò)調(diào)整控制增益和時(shí)延，可以使高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)穩(wěn)定或者失穩(wěn)。設(shè)諧波力激勵(lì)的幅值f =0.5，ωn=3，隔振系統(tǒng)的參數(shù)為ξ=0.2，ω0=1，α=0.1，下面分析時(shí)延τ、位移控制增益kt1和速度控制增益kt2對(duì)系統(tǒng)混沌化控制的影響，對(duì)系統(tǒng)混沌化過(guò)程中控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。圖6（a）是kt1=-1.5，kt2=0.1 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨時(shí)延變化的分岔圖，無(wú)特殊說(shuō)明，云點(diǎn)代表混沌運(yùn)動(dòng)或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)，單線點(diǎn)或多線點(diǎn)代表周期運(yùn)動(dòng)。由圖可知，系統(tǒng)在τ=0.2 時(shí)第一次發(fā)生Hopf 分岔，這與算例①的臨界時(shí)延吻合，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)作持續(xù)的混沌運(yùn)動(dòng)；圖6（b）是kt1=-0.5，kt2=0.1 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)隨時(shí)延變化的分岔圖，由圖可知系統(tǒng)周期與混沌運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)，出現(xiàn)陣發(fā)性混沌，這與算例②的穩(wěn)定性切換結(jié)論一致；圖6 表明：不穩(wěn)定區(qū)域相比穩(wěn)定區(qū)域，更容易實(shí)現(xiàn)時(shí)延混沌化；較大的時(shí)延可以降低混沌響應(yīng)峰值。

圖6 關(guān)于時(shí)延τ 的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with the time delay τ

圖7 是時(shí)延取τ=50 時(shí)系統(tǒng)隨控制增益的分岔圖，由圖可知：正反饋（kt1＞0）可以降低系統(tǒng)響應(yīng)幅值。圖7（a）中kt2=0.1，kt1∈[-2，2]，由圖可知：當(dāng)控制增益位于全時(shí)延穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，即使時(shí)延取較大值，系統(tǒng)也未出現(xiàn)混沌；圖7（b）中kt1=kt2=k，kt∈[-2，2]，由圖可知：含時(shí)延位移和時(shí)延速度的雙時(shí)延反饋高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)相比僅含時(shí)延位移反饋的高靜低動(dòng)隔振臨界控制增益更小，混沌云點(diǎn)更稠密，表明雙時(shí)延反饋控制器更容易實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)混沌化，且混沌化品質(zhì)更高。

圖7 關(guān)于控制增益kt 的分岔圖Fig.7 Bifurcation diagrams of the HSLDS-VIS with control gain kt

圖8 是不同時(shí)延和不同控制增益隔振設(shè)備的相圖，當(dāng)時(shí)延控制參數(shù)在全時(shí)延穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)周期運(yùn)動(dòng)圖8（a）或準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)圖8（c），當(dāng)時(shí)延控制參數(shù)在不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)對(duì)應(yīng)混沌運(yùn)動(dòng)圖8（b）和圖8（d）。

圖8 隔振設(shè)備的相圖Fig.8 Phase diagrams of the isolated equipment

圖9 不同系統(tǒng)的功率譜對(duì)比Fig.9 Comparison of the power spectra with the different systems

圖9 是不同系統(tǒng)雙時(shí)延反饋控制時(shí)的功率譜對(duì)比，由圖9（a）可知，未受控系統(tǒng)作周期運(yùn)動(dòng)，最高線譜位于2.997 Hz 處，幅值為1.596 dB；施加控制后的一般非線性系統(tǒng)和高靜低動(dòng)系統(tǒng)，特征線譜變?yōu)檫B續(xù)的響應(yīng)功率譜，說(shuō)明施加雙時(shí)延反饋進(jìn)行線譜混沌化是有效的；圖9（b）和（c）對(duì)比可知，一般非線性系統(tǒng)功率譜峰值為8.31 dB，而高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的功率譜峰值為-3.75 dB。因此，相比一般非線性隔振系統(tǒng)，高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)混沌化所需控制增益小，低頻隔振性能更優(yōu)越，使得雙時(shí)延反饋控制的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)不僅能改變線譜特征，而且可以降低線譜強(qiáng)度，具有更好的混沌化效果。

5 結(jié)論

本文針對(duì)有位移和速度反饋控制的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)，研究了雙時(shí)延反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，分析了時(shí)延控制參數(shù)對(duì)系統(tǒng)混沌化的影響，對(duì)實(shí)際工程應(yīng)用有一定的指導(dǎo)意義。

通過(guò)數(shù)值計(jì)算和分析比較可得出以下結(jié)論：

（1）利用Routh-Hurwitz 穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)平衡解在原點(diǎn)處Jacobian 行列式的特征方程得到了系統(tǒng)全時(shí)延穩(wěn)定和穩(wěn)定性切換的臨界增益和臨界時(shí)延，并通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。

（2）利用雙時(shí)延反饋控制實(shí)現(xiàn)了高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)的混沌化，當(dāng)控制參數(shù)位于不穩(wěn)定區(qū)域時(shí)，系統(tǒng)更容易被混沌化。

（3）相比單時(shí)延反饋控制和一般非線性系統(tǒng)，雙時(shí)延反饋的高靜低動(dòng)隔振系統(tǒng)化所需的臨界控制增益和線譜抑制方面有獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，可實(shí)現(xiàn)隔振和線譜重構(gòu)的雙重功能。