談數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孔 梅

(貴州省遵義市第四中學(xué) 貴州 遵義 563000)

在高中數(shù)學(xué)的解題之中，數(shù)形結(jié)合的思想在各章節(jié)的練習(xí)中都發(fā)揮著巨大的作用，數(shù)學(xué)的研究對象是對數(shù)量與幾何的研究，有效地將數(shù)與形兩者結(jié)合可以創(chuàng)造出更多有趣的方式與方法。在一定的條件下，高中數(shù)學(xué)中的題目是可以完成數(shù)形結(jié)合的，這樣會使得題目解題效率大大提升。

1.利用數(shù)形結(jié)合思想，提高數(shù)學(xué)問題解答效率

在初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生就已經(jīng)接觸過簡單的與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān)的題目，在高中數(shù)學(xué)中又對這一思想進(jìn)行深入學(xué)習(xí)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，教師首先要讓學(xué)生明確“數(shù)形結(jié)合”思想的含義與應(yīng)用的情景。所謂“數(shù)形結(jié)合”就是讓數(shù)學(xué)代數(shù)與幾何圖形結(jié)合，兩者在題目的要求下相互轉(zhuǎn)換，從而使得代數(shù)問題更加直觀形象，幾何問題更加精準(zhǔn)正確，最終使得高中數(shù)學(xué)的問題解答簡單化、快速化，提高學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中的解題效率。高中數(shù)學(xué)的很多難題都是通過數(shù)形結(jié)合的思想來解答的，巧妙的解答方法減少了學(xué)生的計算量與計算時間。

高中生在高中數(shù)學(xué)階段掌握并且熟練使用數(shù)形結(jié)合的思想，將會讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)更加靈活，提高了學(xué)生對數(shù)學(xué)探究的興趣。例如，討論k的不同取值，使得方程滿足，并討論此時解的個數(shù)。如果單純用數(shù)值的方法解題，學(xué)生會感覺題目越算越難，若是將圖形的方法加以結(jié)合，將左邊的式子看作是一個函數(shù)，右邊的式子看作是一個函數(shù)，通過兩個函數(shù)的交點來判斷K的取值，然后通過取值在圖形中直觀地看出方程的解的個數(shù)。這種方式既直觀，在解答問題時又清晰明了，對不同的值的討論也不會出現(xiàn)遺漏。這種類似的題目結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想可以大大減少學(xué)生的解題時間。

圖1

2.利用數(shù)形結(jié)合思想，達(dá)到知數(shù)學(xué)識靈活運用

高中數(shù)學(xué)的問題一般分為兩種，一種是計算代數(shù)的值，另外一種則是分析幾何關(guān)系，因此，針對不同的高中數(shù)學(xué)問題，數(shù)形結(jié)合的思想也是分為兩種。一種是圖形借助代數(shù)，用代數(shù)的精確性來表示圖形中的一些屬性，如長度、垂直、平行關(guān)系等等；另外一種是代數(shù)借助幾何，通過代數(shù)轉(zhuǎn)換為直觀的圖形來分析估計值或者某一個值的分布區(qū)間，如一元二次方程根的分布等等?！皵?shù)”與“形”是事物的兩種不同屬性，這兩種屬性的互相變化可以展示出事物的多個方面，也讓高中生在使用的過程中達(dá)到數(shù)學(xué)知識的靈活運用。

數(shù)形結(jié)合的思想分布在高中數(shù)學(xué)的不同章節(jié)之中，例如集合、函數(shù)、立體幾何、三角函數(shù)、不等式、求解最優(yōu)解等等，數(shù)形結(jié)合的思想可以使得問題從復(fù)雜變簡單，從抽象到具體，一直到學(xué)生熟悉的、容易理解的情況，方便學(xué)生解答問題。教師在日常的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中也可以使用“數(shù)形結(jié)合”的思想進(jìn)行課程的講授。例如，在學(xué)習(xí)集合這一概念時，如果一味地講給學(xué)生定義與概念，學(xué)生接受知識時會顯得模糊不易記憶，但是使用圖形的方式可以讓學(xué)生直觀了解每個集合之間的關(guān)系，使得學(xué)生理解“相交”、“相離”、“包含”等關(guān)系。如下圖表示了A與B兩個集合之間的關(guān)系，讓A、B中所含元素的情況顯得一目了然。

圖2

3.利用數(shù)形結(jié)合思想，開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)之中，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)由簡到難層層遞進(jìn)，在學(xué)習(xí)完某一階段的知識后還會在后一階段出現(xiàn)，因此在整體復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)的時候，單純的代數(shù)轉(zhuǎn)換為圖形，或者圖形轉(zhuǎn)換為代數(shù)的方式已經(jīng)不能滿足數(shù)學(xué)題目的要求，在數(shù)學(xué)解答中往往需要“以數(shù)化形”與“以形化數(shù)”的結(jié)合，完成兩者之間的多次互換。學(xué)生在學(xué)習(xí)中掌握這一方法技巧可以使得思維更加靈活，然后進(jìn)行有效延伸達(dá)到探究學(xué)習(xí)。教師只有在日常的實踐中多為學(xué)生傳授相關(guān)思想的經(jīng)驗，才能夠讓學(xué)生更好把握并理解數(shù)形結(jié)合思想的真諦。

在高中數(shù)學(xué)中合理使用“數(shù)形結(jié)合”的思想，可以讓學(xué)生建立起數(shù)學(xué)思想的形成意識，為之后其他數(shù)學(xué)思想的引入打下基礎(chǔ)。同時，這一思想的使用可以讓學(xué)生樹立形象思維方式，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與自信心，學(xué)生能夠通過數(shù)形結(jié)合的思想解答出復(fù)雜的問題，更加對其他的數(shù)學(xué)技巧產(chǎn)生濃厚的興趣，樂于將這些枯燥的數(shù)字與符號變?yōu)樯鷦有蜗蟮膱D形，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時壓力減小，興趣與好奇心提升，變?yōu)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強大動力。教師科學(xué)合理布置有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想的題目，讓學(xué)生有意識地多加練習(xí)，熟能生巧，使得學(xué)生在遇到其他問題時可以迅速判斷使用什么方法。

“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)思想中重要的組成部分之一，在高中數(shù)學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)熟練使用這一思想可以使得學(xué)生建立起數(shù)學(xué)性的思維方式，培養(yǎng)學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在遇到數(shù)學(xué)問題時不是強制計算，而是知道用不同的方式方法進(jìn)行嘗試，最終得到最優(yōu)的算法與結(jié)果，同時這一思想的使用還幫助學(xué)生提高了思維的敏捷性與靈活性。