簡(jiǎn)支梁橋在車輛荷載作用下由于墩臺(tái)沉降動(dòng)力響應(yīng)分析

俞增煌 楊敬林

摘 要：隨著市政橋梁與高速公路的發(fā)展，橋梁占道路的比例越來越大。簡(jiǎn)支梁橋在橋梁設(shè)計(jì)中起著舉足輕重的作用，移動(dòng)車輛荷載行駛在橋面上，車輛的動(dòng)力荷載對(duì)簡(jiǎn)支梁橋有很大的動(dòng)力作用，產(chǎn)生較大的動(dòng)撓度幅值變化。本文基于移動(dòng)車輛荷載行駛在簡(jiǎn)支梁橋上，探討簡(jiǎn)支梁橋在兩端墩臺(tái)發(fā)生一定沉降時(shí)車橋橫向振動(dòng)微分方程，根據(jù)梁振動(dòng)基本理論求解其振動(dòng)微分方程得出簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)力撓度的解析解，得出移動(dòng)車輛荷載作用下動(dòng)撓度大小與移動(dòng)車速、兩端支座沉降位移和簡(jiǎn)支梁固有頻率之間的一般關(guān)系。最后通過實(shí)例進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得出在墩臺(tái)沉降位移一定的工況下移動(dòng)車輛荷載在不同移動(dòng)速度時(shí)簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)撓度變化曲線，探討了簡(jiǎn)支梁橋兩端墩臺(tái)發(fā)生不同沉降位移時(shí)動(dòng)撓度的變化規(guī)律，此外也研究了簡(jiǎn)支梁橋墩臺(tái)僅有一支座發(fā)生沉降時(shí)的動(dòng)撓度曲線變化規(guī)律，為混凝土簡(jiǎn)支梁橋設(shè)計(jì)的工程實(shí)踐提供一些參考依據(jù)。

關(guān)鍵詞：車輛荷載；簡(jiǎn)支梁；墩臺(tái)；沉降；動(dòng)力響應(yīng)

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2019.11.092

移動(dòng)汽車行駛在公路橋梁上，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)必將產(chǎn)生一定的應(yīng)力和變形，導(dǎo)致公路橋梁的損傷性破壞或疲勞性破環(huán)，出現(xiàn)裂縫，引起橋梁的變形和沉降位移[1-3]。反過來，橋梁橋墩的不均勻沉降也必將使行駛在橋面上的各類車輛產(chǎn)生嚴(yán)重的影響，引起移動(dòng)車輛的振動(dòng)。在移動(dòng)車輛荷載作用下，橋梁橋墩由于地基的不均勻或橋墩混凝土的收縮徐變影響使橋墩出現(xiàn)不均勻的沉降位移，對(duì)行駛的車輛產(chǎn)生不利影響。另外，在關(guān)于移動(dòng)車輛受橋梁橋墩沉降位移的動(dòng)力響應(yīng)分析，國內(nèi)外的研究報(bào)道甚少。因此，將車橋作為一個(gè)系統(tǒng)，研究二者之間的相互作用，發(fā)生沉降位移后的橋梁結(jié)構(gòu)在移動(dòng)車輛動(dòng)載作用下的動(dòng)力學(xué)行為，是一個(gè)相當(dāng)重要而復(fù)雜的系統(tǒng)問題[4]。本文基于橋墩結(jié)構(gòu)發(fā)生一定的沉降位移，簡(jiǎn)支梁仍然保持為剛性，移動(dòng)車輛簡(jiǎn)化為一勻速移動(dòng)的集中荷載，研究汽車荷載在通過橋梁時(shí)的振動(dòng)問題，由振動(dòng)基本理論求解振動(dòng)微分方程[5]，得出移動(dòng)車輛在通過發(fā)生沉降位移的橋梁時(shí)動(dòng)力撓度的解析解，繪出移動(dòng)車輛在不同移動(dòng)汽車行駛速度時(shí)的橋梁的動(dòng)撓度變化曲線，分析了動(dòng)撓度隨橋面跨度長時(shí)的變化規(guī)律，最后給出建議和結(jié)論。

1 簡(jiǎn)支梁橋振動(dòng)微分方程

如圖1所示。一勻速過橋車輛，忽略車輛的移動(dòng)慣性，并將其看作是一集中力勻速沿簡(jiǎn)支梁的橋面移動(dòng)。假設(shè)簡(jiǎn)支梁的跨長為，材料單位體積密度和彈性模量分別為和，為梁的抗彎剛度。應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理建立簡(jiǎn)支梁橋的彎曲振動(dòng)微分方程如下所示[6]。

式中，為簡(jiǎn)支梁的豎向撓度，為狄拉克函數(shù)，定義為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

若假設(shè)簡(jiǎn)支梁橋兩端橋墩或橋臺(tái)發(fā)生支座沉降位移和，簡(jiǎn)支梁仍然表現(xiàn)為剛性。則有簡(jiǎn)支梁橋的彎曲振動(dòng)就表現(xiàn)為梁的初始條件為梁橋發(fā)生支座位移時(shí)在移動(dòng)車輛荷載作用下的彎曲振動(dòng)響應(yīng)。因此，簡(jiǎn)支梁橋在移動(dòng)車輛荷載作用下的彎曲振動(dòng)響應(yīng)就簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁橋在受到初始位移條件：

激勵(lì)時(shí)的動(dòng)力響應(yīng)求解。

2 求解微分方程

根據(jù)簡(jiǎn)支梁振動(dòng)的基本理論分析，設(shè)上述振動(dòng)微分方程的解為[7]：

式中，；

梁正則型函數(shù)——；

簡(jiǎn)支梁固有頻率——；

和為廣義坐標(biāo)和廣義速度的初始值，由初始條件確定；

。

令，得到：

，

將上述式子各項(xiàng)與相乘后并沿梁全長積分，利用正交性條件可得到：

，

代入計(jì)算得：

將和代入計(jì)算式中并簡(jiǎn)化后，可得到：

將和代入式（3）中，得到簡(jiǎn)支梁的動(dòng)力響應(yīng)為（）

式（4）中括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)為車輛荷載激勵(lì)的受迫振動(dòng)，第二項(xiàng)為伴生的自由振動(dòng)。當(dāng)簡(jiǎn)支梁固有頻率與移動(dòng)車輛激勵(lì)頻率相等時(shí)將產(chǎn)生第階共振，此時(shí)相對(duì)應(yīng)的車速為。這時(shí)梁的振幅將隨時(shí)間逐漸增大，直至移動(dòng)車輛駛過橋梁[8]。

3 實(shí)例分析

取進(jìn)行實(shí)例數(shù)值計(jì)算，，，，，橋梁兩端橋墩或橋臺(tái)沉降左支座，右支座進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。當(dāng)移動(dòng)車輛在橋上行駛速度不同時(shí)的動(dòng)撓度響應(yīng)關(guān)系曲線如圖2所示。

圖2表明在其他條件保持不變的條件下，移動(dòng)車輛速度對(duì)簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度幅值未有太大的改變，但是對(duì)于簡(jiǎn)支梁橋的振幅的振蕩性有較大影響。移動(dòng)車輛速度越小，簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度曲線越密，交替振蕩性較頻繁；移動(dòng)車輛速度越大，簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度曲線越疏；交替振蕩性較少。

圖3為兩端支座在不同情形下動(dòng)撓度曲線變化關(guān)系。其中（a）表示簡(jiǎn)支梁橋兩端有無沉降時(shí)的動(dòng)撓度變化規(guī)律，（b）表示在兩端支座沉降不同時(shí)的動(dòng)撓度變化規(guī)律。曲線表明當(dāng)簡(jiǎn)支梁橋兩端發(fā)生一定沉降時(shí)，其動(dòng)撓度曲線幅值呈振蕩性變化，且跨中動(dòng)撓度達(dá)最大值，直至車輛通過橋梁；當(dāng)簡(jiǎn)支梁橋兩端未發(fā)生沉降時(shí)，其動(dòng)撓度曲線與移動(dòng)集中力作用下梁的變形非常接近。在簡(jiǎn)支梁橋兩端支座沉降不同的兩種工況下（工況1：左支座，右支座；工況2：左支座，右支座）梁橋動(dòng)撓度曲線變化規(guī)律。當(dāng)左支座沉降稍大時(shí)，即簡(jiǎn)支梁橋?yàn)橐粌A斜向上斜面，移動(dòng)車輛行駛需一定動(dòng)力上橋?qū)虻膭?dòng)力作用稍大一些使得簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度也稍偏大。

圖4顯示的工況是當(dāng)簡(jiǎn)支梁橋僅有一端沉降時(shí)梁橋的動(dòng)撓度曲線。曲線表明僅有兩端支座的某一側(cè)發(fā)生沉降時(shí)，左支座的沉降對(duì)簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度影響較大，右支座的沉降對(duì)動(dòng)撓度的影響較小，也即移動(dòng)車輛行駛在橋梁上，簡(jiǎn)支梁橋動(dòng)撓度與行駛車輛是否上橋或下橋有很大關(guān)系。如果上橋一側(cè)支座發(fā)生沉降時(shí)，另一側(cè)未發(fā)生沉降，橋梁的動(dòng)撓度幅值影響要大很多；遠(yuǎn)離車輛上橋側(cè)橋墩發(fā)生沉降對(duì)簡(jiǎn)支梁的動(dòng)撓度影響要小得多。

4 結(jié)論

通過前述討論與分析，簡(jiǎn)支梁橋兩端支座由于地基不均勻發(fā)生沉降時(shí)對(duì)梁橋的動(dòng)撓度幅值還是有很大影響。總結(jié)結(jié)論如下。

（1）移動(dòng)車輛速度對(duì)簡(jiǎn)支梁橋的動(dòng)撓度幅值沒有明顯改變，但是對(duì)于簡(jiǎn)支梁橋振幅的振蕩性產(chǎn)生很大影響；

（2）簡(jiǎn)支梁橋在兩端支座發(fā)生一定的沉降時(shí)動(dòng)撓度曲線呈振蕩性變化，跨中撓度達(dá)到峰值；兩端支座未有沉降發(fā)生時(shí)動(dòng)撓度曲線接近于移動(dòng)集中力作用下梁的變形情形；

（3）簡(jiǎn)支梁橋兩端支座沉降不同時(shí)左支座沉降對(duì)梁橋的動(dòng)撓度值影響比較大，右支座沉降對(duì)梁橋的動(dòng)撓度值影響比較弱；

（4）如果簡(jiǎn)支梁橋兩端支座僅有一側(cè)發(fā)生沉降位移時(shí)，移動(dòng)車輛上橋一側(cè)支座沉降對(duì)梁橋動(dòng)撓度幅值影響較大，遠(yuǎn)離車輛上橋側(cè)橋墩發(fā)生沉降對(duì)簡(jiǎn)支梁的動(dòng)撓度影響要小。

因此，在混凝土簡(jiǎn)支梁橋工程設(shè)計(jì)時(shí)必須要考慮橋梁支座下面的工程地質(zhì)情況，以盡可能避免或預(yù)防橋梁墩臺(tái)的沉降，防止混凝土簡(jiǎn)支梁橋的破壞。

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基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目：耕作層土壤中水氣含量調(diào)控及變化機(jī)理研究（31401951）

作者簡(jiǎn)介：俞增煌（1979-），男，江西興國人，碩士，工程師，研究方向：交通工程。

*為通訊作者