發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)存在的誤區(qū)及改進(jìn)建議

蘭贈連

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確了“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”。其中數(shù)學(xué)運(yùn)算內(nèi)容在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是重頭戲，幾乎每冊教材中都有關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)單元，且所占課時(shí)總量的比重較大。比如人教版數(shù)學(xué)五年級上冊第1單元“小數(shù)乘法”占9課時(shí)、第3單元“小數(shù)除法”占11課時(shí)，共占全書除總復(fù)習(xí)外7個(gè)單元57課時(shí)的35.09%。在實(shí)際教學(xué)中，有相當(dāng)一部分教師花在數(shù)學(xué)運(yùn)算上的教學(xué)時(shí)間卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到既定的課時(shí)量，往往是課課練、時(shí)時(shí)練、天天練，花去的時(shí)間可能是既定課時(shí)量的兩三倍，甚至更多。雖然用時(shí)這么多，實(shí)際效果卻并不盡如人意。其根源在于，教師對發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的價(jià)值、理念、方法等方面都存在著認(rèn)識或?qū)嵺`誤區(qū)。

一、發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)存在的誤區(qū)

1.發(fā)展價(jià)值——從窄化到弱化

一部分教師認(rèn)為，現(xiàn)在含運(yùn)算功能的智能終端設(shè)備如手機(jī)如此發(fā)達(dá)和普及，甚至連小學(xué)生都達(dá)到人手一機(jī)的地步，成年人就更不用說，在日常生活中碰到的幾乎所有計(jì)算問題都能用手機(jī)來速算，還有必要讓學(xué)生學(xué)習(xí)這么多、這么復(fù)雜的運(yùn)算嗎？持這種觀點(diǎn)的教師將“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的發(fā)展價(jià)值窄化成獲得計(jì)算結(jié)果，看不見或不了解隱含在數(shù)學(xué)運(yùn)算背后對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感及觀察、比較等思辨能力方面更加廣泛的價(jià)值，進(jìn)而弱化了對數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)。

2.發(fā)展理念——重算法不重算理

數(shù)學(xué)運(yùn)算包括算法和算理兩個(gè)方面。算法是怎樣算，即第一步算什么，第二步算什么，第三步算什么……強(qiáng)調(diào)程序性，屬于顯性的“是什么”層面，易看見，檢測多，可量化評價(jià);算理是為什么這樣算的道理，屬于隱性的更進(jìn)一步的“為什么”層面，難看見，檢測少，不太好量化評價(jià)。因而，有部分教師對學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)培養(yǎng)的理念依然停留于重視算法不重視算理的狀態(tài)上。

3.發(fā)展方法——重計(jì)算不重思考

在日常教學(xué)中，有部分教師對發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)使用的“法寶”是一個(gè)字——算，一題不會算十題，十題不會算百題……算得部分學(xué)生一看到計(jì)算就頭痛。因此，教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生觀察算式特點(diǎn)、比較算式或算法異同、尋找各種運(yùn)算之間的聯(lián)系、從多種算法中選擇最簡算法的思維能力。

二、對發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的改進(jìn)建議

1.重新認(rèn)識發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的價(jià)值，發(fā)展多種能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：“數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等?！睆闹锌汕宄刂?，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)包括六個(gè)方面：

（1）理解運(yùn)算對象，發(fā)展理解能力。數(shù)學(xué)教材對有關(guān)運(yùn)算內(nèi)容的例題都給出了相應(yīng)的生活情境，只有在極少數(shù)的情況下出現(xiàn)無情境的例題。比如前面提到的人教版數(shù)學(xué)五年級上冊的“小數(shù)乘法”單元，其中“小數(shù)乘整數(shù)”給出的是買東西的情境：“一個(gè)風(fēng)箏3.5元，買3個(gè)風(fēng)箏多少錢”;“小數(shù)乘小數(shù)”的情境是給宣傳欄刷油漆：“給一個(gè)長2.4 m、寬0.8 m的長方形宣傳欄刷油漆，每平方米要用油漆0.9 kg，一共需要多少kg油漆”。

所謂理解運(yùn)算對象，一方面要讓學(xué)生從生活情境中提煉出數(shù)學(xué)信息，組成完整、簡潔的數(shù)學(xué)問題，理解數(shù)量關(guān)系，列出算式并知道為什么要這樣列式。比如上面談到的“小數(shù)乘小數(shù)”的例題，列式“2.4×0.8”是長方形的面積，“1.92×0.9”是油漆的用量。這兩道算式都來自生活，不是憑空冒出來的，能很好地說明算式來源于生活。另一方面，在教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生將算式回歸生活，給一些算式找到相應(yīng)的生活場景，體會數(shù)學(xué)生活化。如果更進(jìn)一步，還可以引導(dǎo)學(xué)生將所有一步計(jì)算的小數(shù)乘法算式與相應(yīng)的長方形掛起鉤來，把兩個(gè)因數(shù)分別看成長方形的長和寬，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想。在這個(gè)教學(xué)過程中，其主要發(fā)展的是學(xué)生的理解能力。

（2）掌握運(yùn)算法則，發(fā)展歸納能力。運(yùn)算法則的總結(jié)，通常是以一些算式的計(jì)算過程為例，運(yùn)用歸納法概括出一類計(jì)算問題的計(jì)算方法，具有普適性和抽象性。學(xué)生掌握運(yùn)算法則的過程，也是發(fā)展其歸納能力的過程。比如小數(shù)乘法的計(jì)算法則、小數(shù)除法的計(jì)算法則，目的都是讓學(xué)生掌握運(yùn)算法則。

（3）探究運(yùn)算思路，發(fā)展思考能力。運(yùn)算思路，就是思考運(yùn)算問題的條理脈絡(luò)。比如“一個(gè)數(shù)除以整數(shù)”的例題情境：“奶奶編‘中國結(jié)，編一個(gè)要用0.85 m絲繩，這里有7.65 m絲繩，這些絲繩可以編幾個(gè)‘中國結(jié)？”，其解題思路是：

一是理清數(shù)量關(guān)系：長7.65 m，編一個(gè)要用0.85 m絲繩，可以編幾個(gè)“中國結(jié)”？

二是列式：7.65÷0.85，就是求7.65 m里面包含幾個(gè)0.85 m。

三是思考計(jì)算方法：

①把米轉(zhuǎn)化成厘米計(jì)算。

②用豎式計(jì)算。

③比較兩種方法的共同之處，理解豎式計(jì)算的道理。

④歸納豎式計(jì)算方法，得出運(yùn)算法則。

這個(gè)過程要清晰、有條理，可以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、有序的思考能力。

（4）選擇運(yùn)算方法，發(fā)展觀察能力。一題多解在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算中非常普遍。比如“568×125=？”，它可以有以下幾種算法：

①豎式計(jì)算 ②把568拆成71×8 ③利用積不變規(guī)律

568×125 568×125 568×125

5 6 8 =71×（8×125） =（568÷8）×（125×8）

× 1 2 5 =71000 =71000

如果學(xué)生能夠自覺選擇用第②種或第③種方法計(jì)算，說明該生有很強(qiáng)的數(shù)感，有異于他人的觀察能力，有選擇算法的靈活性。所以在教學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，教師一定要讓學(xué)生先觀察算式的特點(diǎn)，想想有沒有更簡便的算法，以不斷發(fā)展學(xué)生的觀察能力。

（5）設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，發(fā)展判斷能力。運(yùn)算程序是進(jìn)行運(yùn)算的先后次序。在小學(xué)階段，這更多的是相對于兩步以上的算式來說的。面對一道兩步以上的算式，學(xué)生確定怎樣的運(yùn)算次序，能夠反映其對四則運(yùn)算規(guī)則的熟悉程度及選擇先算哪步比較簡便的判斷能力。

（6）求得運(yùn)算結(jié)果，發(fā)展計(jì)算能力。前面五個(gè)方面，其最終目的都是求得運(yùn)算結(jié)果，這幾乎是對每一道算式的最后要求。這也是每一位數(shù)學(xué)教師特別注重的方面，意在讓學(xué)生正確、靈活、合理、簡潔地求出結(jié)果，發(fā)展他們的計(jì)算能力。

綜上所述，在速算器普及的時(shí)代，教師依然要注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，以發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”各方面的素養(yǎng)。

2.正確樹立“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的發(fā)展理念：算理和算法并重

算法是知其然，算理是知其所以然。在教學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該做到算理和算法并重，使學(xué)生既知其然，又知其所以然，不可偏廢。比如“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的例題：“小明[23]小時(shí)走了2 km，小紅[512]小時(shí)走了[56]km。誰走得快些？”教學(xué)中，教師要讓學(xué)生充分經(jīng)歷探究算理的過程。

第一，讓學(xué)生從 “誰走得快些” 的問題出發(fā)思考，比什么？小明的速度怎樣列式？小紅的速度怎樣列式？

第二，讓學(xué)生嘗試用線段圖表示小明走的速度（如圖1），并說明線段圖的意思：[23]小時(shí)走了2 km，[13]小時(shí)走的就是2 km的[12]，列式是“2×[12]”，1小時(shí)里面有3個(gè)[13]，所以1小時(shí)走的就是“2×[12]×3”。

第三，將算式和線段圖建立聯(lián)系，并進(jìn)行演繹變換。

第四，觀察算式前后的變化過程，弄清算式中被除數(shù)、除數(shù)各表示什么，中間連乘的兩步分別表示什么，比較“2÷[23]”與“2÷[32]”的區(qū)別，然后總結(jié)算法。

第五，先讓學(xué)生自己列式計(jì)算小紅走的速度，再說出自己是怎么計(jì)算的。

第六，比較小明和小紅誰走得快些。

第七，讓學(xué)生完整地歸納算法。

在這個(gè)教學(xué)過程中，教師一定要留足時(shí)間讓學(xué)生充分參與關(guān)鍵的探究算理的畫圖分析以及用算式表示思考過程的第二、三、四步，讓學(xué)生通過自主探究得出“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”要用這個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的倒數(shù)的道理，深刻體會由除到乘的轉(zhuǎn)化過程，提高推理能力，培養(yǎng)探究精神，體會幾何直觀思想，進(jìn)而增強(qiáng)解決問題的能力。

所以教師一定要樹立“算理和算法并重”的理念，用理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)，使學(xué)生的“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)真正得到發(fā)展。

3.發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的方法：計(jì)算和思考結(jié)合

求得運(yùn)算結(jié)果，只是“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)其中的一個(gè)方面，絕不是唯一的方面。不可否認(rèn)，要培養(yǎng)學(xué)生正確、靈活、合理、簡潔地求出運(yùn)算結(jié)果的能力，離不開一定量的計(jì)算練習(xí)。但僅憑單一的各種計(jì)算練習(xí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)達(dá)不到發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)目的的。在平時(shí)的教學(xué)中，除了讓學(xué)生進(jìn)行口算、估算、豎式計(jì)算、遞等式計(jì)算等純計(jì)算練習(xí)外，還要增加有關(guān)運(yùn)算對象意義、算理等方面內(nèi)容的練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對算理的內(nèi)化及思考能力的發(fā)展。如學(xué)習(xí)了“一個(gè)數(shù)除以小數(shù)”后，教師讓學(xué)生完成以下類型的練習(xí)：

（1）解讀除法算式的意義。下面可以列式為“124.8÷5.2”的數(shù)學(xué)問題有（ ）。

A. 一只鴕鳥重124.8 kg，一只天鵝重5.2 kg，一只鴕鳥比一只天鵝重多少？

B. 第一根彩帶長124.8 m，第二根彩帶長5.2 m，第二根彩帶長是第一根彩帶長的幾分之幾？

C. 一個(gè)長方形面積是124.8 m2，寬是5.2 m，長是多少m？

D. 王阿姨家有兩塊菜地，一塊三角形菜地面積是124.8 m2，一塊梯形菜地面積是5.2 m2，兩塊菜地一共有多少m2？

（2）估算商的范圍。商大于7而小于10的算式是（ ）。

A. 7.97÷0.95 B. 10.28÷0.45

C. 20.76÷1.8 D. 8.84÷8.9

（3）內(nèi)化豎式計(jì)算的算理。如下圖所示，在筆算“5.98÷0.23”時(shí)，豎式中箭頭所示的這一步計(jì)算的是（ ）。

A.138÷0.23 B.1.38÷0.23

C.138÷2.3 D.138÷23

（4）根據(jù)計(jì)算過程設(shè)計(jì)試題。亮亮在計(jì)算一道小數(shù)除法時(shí)，先把除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動了一位將它變成整數(shù)，然后計(jì)算104÷26，再計(jì)算5.2÷26剛好除盡，亮亮計(jì)算的這道題是（ ）。

A. 109.2÷2.6 B. 10.92÷26

C. 10.92÷2.6 D. 109.2÷0.26

總之，數(shù)學(xué)教師要正視發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)中存在的誤區(qū)，重新認(rèn)識其發(fā)展價(jià)值，樹立正確的發(fā)展理念，加強(qiáng)除單純計(jì)算外的其他多種形式的變式練習(xí)，真正達(dá)成發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)運(yùn)算”素養(yǎng)的目的。

（作者單位：福建省武平縣教師進(jìn)修學(xué)校）

責(zé)任編輯 周瑜芽