學(xué)科整合讓數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生

劉勝峰

新時(shí)代社會(huì)對(duì)未來(lái)人才的要求強(qiáng)調(diào)注重實(shí)踐能力培養(yǎng)、綜合素質(zhì)養(yǎng)成以及創(chuàng)新能力的提升，跨學(xué)科、跨文化、跨界的學(xué)習(xí)已經(jīng)成為當(dāng)前課程改革的發(fā)展方向。學(xué)校教育不僅需要多學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)累加，還要在課程學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生適應(yīng)未來(lái)社會(huì)需求的綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。課程整合是落實(shí)核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)的主要抓手，有助于打破學(xué)科間的壁壘，能較好地培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和已有技能解決真實(shí)情境下的實(shí)際問(wèn)題的能力。

課程整合既有跨學(xué)科整合，又有學(xué)科內(nèi)整合。小學(xué)數(shù)學(xué)在自己的學(xué)科內(nèi)進(jìn)行整合教學(xué)，是從中觀的課程建構(gòu)和微觀的課堂教學(xué)角度研究學(xué)科關(guān)鍵能力的落地路徑。在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)整合時(shí)，教師要能夠從小學(xué)一年級(jí)到六年級(jí)一以貫之，并進(jìn)行比較、聯(lián)系、統(tǒng)整，激活小學(xué)各階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，豐富和延展學(xué)科教學(xué)，從而讓數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)真正發(fā)生。筆者認(rèn)為，組合、整理、協(xié)調(diào)、串聯(lián)是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)整合的有效方法。

一、組合相近知識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型的體驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)是建立在約定和邏輯之上的，數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)整體，且在不斷發(fā)展完善。為了讓學(xué)生更充分地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)間的整體聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，教師就要抓住數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和特殊性，把相近的數(shù)學(xué)知識(shí)嵌入核心概念模型中，將相近的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行模塊化組合，讓學(xué)生明白每個(gè)知識(shí)點(diǎn)在整體結(jié)構(gòu)中的位置，以及與鄰近知識(shí)點(diǎn)的區(qū)別和聯(lián)系。教師可以把內(nèi)部結(jié)構(gòu)相同、在知識(shí)發(fā)展體系中作用相近、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相似的知識(shí)內(nèi)容整合在一起進(jìn)行教學(xué)，有機(jī)地將相近的數(shù)學(xué)知識(shí)融入一個(gè)結(jié)構(gòu)相對(duì)一致的體系中去學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、推理能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型的體驗(yàn)。

例如，運(yùn)算定律是一種模型化知識(shí)，在不改變運(yùn)算結(jié)果的前提下靈活處理運(yùn)算順序，可以達(dá)到簡(jiǎn)便易算的目的。人教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的交換律，其表達(dá)式是一個(gè)恒等式，在對(duì)原來(lái)的算式進(jìn)行等值變換過(guò)程中，只是數(shù)的位置變化了，其他都不變。因此在教學(xué)本單元內(nèi)容時(shí)，筆者把加法交換律和乘法交換律這兩課時(shí)的內(nèi)容整合在一節(jié)課中，在學(xué)生學(xué)習(xí)完加法交換律之后，教師提出問(wèn)題：“加法運(yùn)算中存在著交換加數(shù)和不變的關(guān)系，其他運(yùn)算中是否也存在這類關(guān)系呢？”學(xué)生在以前的計(jì)算和解決問(wèn)題的活動(dòng)中，積累了不少四則運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，已經(jīng)不知不覺(jué)地認(rèn)同了“加法交換律和乘法交換律”這兩個(gè)規(guī)律結(jié)構(gòu)，有著豐富的認(rèn)知基礎(chǔ)。因此，在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生能很快地列舉出許多運(yùn)算例子。有的學(xué)生直接列舉乘法交換律的算式，提出兩者的相同特征;有的學(xué)生說(shuō)明除法和減法沒(méi)有交換律，如“30-5=25，5-30不等于25”“30÷6=5，6÷30不等于5”。經(jīng)過(guò)比對(duì)所列舉的式子中的相同定律特征，學(xué)生清晰地看到“加法交換律”和“乘法交換律”的相同本質(zhì)要素——兩個(gè)數(shù)的位置變了，結(jié)果不變。在接下來(lái)總結(jié)乘法交換律教學(xué)中，學(xué)生就可以很輕松地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表示乘法交換律，對(duì)交換律的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)非常深刻。

筆者還把具有相同邏輯結(jié)構(gòu)的“連減、連除”兩個(gè)簡(jiǎn)便性質(zhì)的教學(xué)內(nèi)容整合在一起。這樣，學(xué)生很容易就掌握了“234-66-34=234-（66+34）”“180÷5÷6=180÷（5×6）”這兩類簡(jiǎn)便運(yùn)算。上述案例有利于幫助學(xué)生建立交換律的“等值變形”模型，加深了學(xué)生對(duì)交換律模型的理解。這樣組合相近知識(shí)展開(kāi)教學(xué)，有助于讓學(xué)生體會(huì)變與不變的數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和歸納規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

二、整理同類方法，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性、嚴(yán)密性和系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)循序漸進(jìn)，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有突出的階段性、有序性。因此，教學(xué)過(guò)程中教師要有機(jī)整合小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的同類方法，讓學(xué)生常常對(duì)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行模仿遷移，自主地系統(tǒng)建構(gòu)普適性數(shù)學(xué)方法。如在教學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)，我們可以梳理同類的數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生整體認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)，將已學(xué)到的一個(gè)個(gè)碎片化的數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)整理起來(lái)，實(shí)現(xiàn)質(zhì)變的突破。

在教學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“圖形與幾何”復(fù)習(xí)課時(shí)，筆者對(duì)圖形面積這一領(lǐng)域的內(nèi)容進(jìn)行了整合，幫助學(xué)生系統(tǒng)認(rèn)識(shí)探求面積（平面圖形）的相同過(guò)程，感悟圖形測(cè)量中蘊(yùn)含的思想方法。先讓學(xué)生看圖形想面積計(jì)算公式，分別整理出平面圖形的周長(zhǎng)與面積計(jì)算公式;接著引導(dǎo)學(xué)生討論不同圖形的面積推導(dǎo)過(guò)程是什么;然后讓學(xué)生看視頻回憶探索各圖形面積計(jì)算公式的過(guò)程，從“轉(zhuǎn)化”的先后順序、共同存在的“等積變形”等方面整理探索各平面圖形面積計(jì)算公式的內(nèi)在聯(lián)系（如圖1）;最后組織學(xué)生小組合作，繪制各平面圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程的“思維導(dǎo)圖”。學(xué)生發(fā)現(xiàn)各平面圖形都采用了劃分、割補(bǔ)的方法，把它們轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或已學(xué)過(guò)的圖形，從而推導(dǎo)出面積公式。在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生感悟了等積變形的數(shù)學(xué)思想。如此整合教學(xué)，有助于引導(dǎo)學(xué)生追溯面積公式的由來(lái)，領(lǐng)悟割補(bǔ)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，形成探究圖形本質(zhì)的方法，實(shí)現(xiàn)“溫故而知新”。

此外，與運(yùn)算相關(guān)的知識(shí)，從整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)，許多算法是相同的，算理也是一脈相連的。我們可以整合同類算理的教學(xué)，通過(guò)聯(lián)系舊知，剖析新知的算理本質(zhì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的共性。如在教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)計(jì)算”的最后部分時(shí)，筆者組織學(xué)生觀察對(duì)比3組算式（如圖2）。學(xué)生很容易就發(fā)現(xiàn)：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減計(jì)算，都是要求計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加減的，從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的認(rèn)知。

三、協(xié)調(diào)關(guān)聯(lián)情境，增強(qiáng)學(xué)科育人的效果

在三維目標(biāo)的基礎(chǔ)上提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并不是拋棄三維目標(biāo)，而是在其基礎(chǔ)上深化和發(fā)展，直指向育人。數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要途徑就是通過(guò)數(shù)學(xué)情境滲透學(xué)科思想進(jìn)行育人，教師可以通過(guò)協(xié)調(diào)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境，借助每種情境的特質(zhì)展開(kāi)針對(duì)性教學(xué)，有效地幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀，使得相關(guān)數(shù)學(xué)育人主旨落到實(shí)處。

運(yùn)用直觀手段是豐富學(xué)生表象積累最有效的辦法。教學(xué)“數(shù)的運(yùn)算”時(shí)，我們可以把圖形與幾何領(lǐng)域里的同類問(wèn)題情境協(xié)調(diào)整合在一起，借助有效的觀察思考，幫助學(xué)生建立豐富的表象，突出比較、分析、抽象和概括等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透效果。如圖3，把乘法分配律的理解與求兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的問(wèn)題情境整合在一起，這兩個(gè)同類數(shù)學(xué)情境，學(xué)生都很容易理解，形象直觀，不僅能更有效地滲透數(shù)形結(jié)合思想，也能凸顯具體運(yùn)算問(wèn)題和一般數(shù)學(xué)原理之間的關(guān)系。

1.25×0.8+1.25×0.4=1.25×（0.8+0.4）

禪學(xué)中有這樣一則故事：徒弟問(wèn)師傅，一碗米值多少錢(qián)？師傅略加沉思，說(shuō)：那要看在誰(shuí)的手里。要是在一個(gè)家庭主婦手里，她加點(diǎn)水蒸一蒸，半個(gè)鐘頭，一碗米飯出來(lái)了，那就值一塊錢(qián);要是在小商人手里，他把米泡一泡，分成四五堆，包成粽子，那就值四五塊錢(qián); 要是到了一個(gè)更有頭腦的大商人手里，把它發(fā)酵、蒸餾，釀成一瓶酒，有可能值二三十塊錢(qián)。同樣是一碗米，到底值多少錢(qián)，會(huì)因人而異，關(guān)鍵取決于如何處理。其實(shí)，我們的數(shù)學(xué)情境也是這樣，同樣是一個(gè)問(wèn)題情境，不同的理念，就會(huì)有不同的效率和價(jià)值。有的數(shù)學(xué)情境教給學(xué)生一點(diǎn)知識(shí)，有的教給學(xué)生一種方法，有的傳授給學(xué)生一種思想，有的激發(fā)起的是學(xué)生求知熱情。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育、發(fā)展離不開(kāi)豐富的情境，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求學(xué)生不僅掌握解決真實(shí)情境問(wèn)題所需的知識(shí)和技能，還要具備解讀與解決情境問(wèn)題的情意和態(tài)度。教師把相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)情境協(xié)調(diào)在一起，可以幫助學(xué)生對(duì)多樣化世界中紛繁復(fù)雜的真實(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行統(tǒng)整性抽象總結(jié)，促進(jìn)學(xué)生將習(xí)得的數(shù)學(xué)素養(yǎng)遷移到不同的問(wèn)題情境，更有效地促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移，也能提高學(xué)生對(duì)真實(shí)復(fù)雜數(shù)學(xué)情境的認(rèn)知、辨別、頓悟，以及知識(shí)、能力、態(tài)度的綜合體現(xiàn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)、動(dòng)手實(shí)踐及創(chuàng)新發(fā)展能力的提高。

四、串聯(lián)相近活動(dòng)，延伸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的軌跡

整合課程的根本目的是優(yōu)化課堂教學(xué)，切實(shí)提高數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量和實(shí)效?；谝欢ǖ呐囵B(yǎng)目標(biāo)與數(shù)學(xué)主題，從“項(xiàng)目”的角度去串聯(lián)相近的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)和教學(xué)形式，構(gòu)成系列的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)模塊或單位，可以超越原有對(duì)知識(shí)的“點(diǎn)”式理解，從更高層次思考知識(shí)在真實(shí)情境中的可能性。教師要善于構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的“延伸點(diǎn)”，注重發(fā)揮課外活動(dòng)、社會(huì)實(shí)踐和學(xué)科文化的重要作用，拓寬教學(xué)時(shí)空，加強(qiáng)課內(nèi)課外、校內(nèi)校外、書(shū)本內(nèi)外的教育合力。

比如，筆者以“位置與方向”為例進(jìn)行“大單元”的教學(xué)設(shè)計(jì)。第一課時(shí)，組織學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)科知識(shí)，完成教科書(shū)上的內(nèi)容學(xué)習(xí)。第二課時(shí)，進(jìn)行與“位置與方向”有關(guān)的繪本閱讀教學(xué)，把《尋找神秘寶藏》這本繪本引入數(shù)學(xué)課堂，進(jìn)行拓展教學(xué)。第三課時(shí)，讓學(xué)生將所學(xué)到的知識(shí)技能運(yùn)用到生活中。筆者在班級(jí)里的某個(gè)角落藏著多個(gè)神秘的“寶藏”，然后發(fā)給每個(gè)小組一張相關(guān)的線索，如“以教室第三組第三桌某同學(xué)的位置為起點(diǎn)，東偏北30度5米的位置”等，學(xué)生運(yùn)用卷尺、指南針等工具進(jìn)行尋找寶藏活動(dòng)。第四課時(shí)，要求學(xué)生繪制校長(zhǎng)室這一建筑標(biāo)識(shí)的位置與方向，學(xué)生應(yīng)用知識(shí)完成指定的數(shù)學(xué)實(shí)踐任務(wù)。

新知識(shí)的構(gòu)建依賴于已有知識(shí)，相近的幾個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)能促使學(xué)生運(yùn)用多種感官去觀察、體驗(yàn)、感悟、思考，得出更有價(jià)值的觀點(diǎn)或結(jié)論，獲得更多對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題的真實(shí)感受，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。教師在延伸數(shù)學(xué)主題活動(dòng)時(shí)，對(duì)已有的教學(xué)環(huán)節(jié)添加想要改善的元素，減去一些教學(xué)中不必要的環(huán)節(jié)，將以往教學(xué)中的某一部分替換為學(xué)生更容易參與的教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中運(yùn)用知識(shí)，學(xué)生的學(xué)習(xí)效果往往會(huì)超出教師的預(yù)期，從而取得良好的教學(xué)效果。這樣探究體驗(yàn)、反復(fù)實(shí)踐的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的深度認(rèn)識(shí)和理解，也有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為和學(xué)科精神認(rèn)識(shí)的內(nèi)化，產(chǎn)生自主、自覺(jué)的道德行為。

數(shù)學(xué)新課標(biāo)指出：教師要具備整合課程資源的能力，創(chuàng)造性地完成教學(xué)任務(wù)。在學(xué)科內(nèi)整合小學(xué)數(shù)學(xué)的課程與教學(xué)，教師要沉下心來(lái)鉆研科學(xué)的學(xué)科整合路徑，擺脫教材、教參、課標(biāo)等的束縛，進(jìn)行積極探索和嘗試。教師要提升專業(yè)素養(yǎng)，深入解讀數(shù)學(xué)知識(shí)，融入自己的教育智慧，才能有所創(chuàng)造，使得通過(guò)整合后的教學(xué)更符合學(xué)生的實(shí)際，從而顯著提高教育教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：福建省廈門(mén)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯 周瑜芽