變時滯非線性微分方程零解的漸近穩(wěn)定性

黃明輝

( 廣州城建職業(yè)學院， 廣東 廣州 510925 )

0 引言

因時滯微分方程在物理學、生物學、系統(tǒng)工程等領域有著廣泛的應用，因此一直以來受到廣大研究者的關注，并取得了一系列研究成果[1-11].如作者在文獻[1-3]中，利用Banach不動點方法研究了時滯線性微分的穩(wěn)定性；A.Ardjouni在文獻[4-5]中利用Banach不動點方法研究了時滯非線性微分方程的漸近穩(wěn)定性.受文獻[2]和文獻[5]的啟發(fā)，本文研究如下變時滯非線性微分方程

(1)

零解的漸近穩(wěn)定性.其中bj∈C(R+,R)；cj∈C1(R+,R)；τj∈C(R+,R+)； 當t→∞時，t-τj(t)→∞，j=1,2,…,N.

1 主要結果及其證明

設C(S1,S2)表示所有連續(xù)函數φ∶S1→S2的集合，C1(S1,S2)表示所有連續(xù)可微函數φ∶S1→S2的集合，對任意t0≥0， 有mj(t0)=inf{t-τj(t),t≥t0}，m(t0)=min{mj(t0), 1≤j≤N}.

(H1)g,Q是局部的Lipschitz連續(xù)函數，即存在正數L1和L2， 若|x|,|y|

|Q(x)-Q(y)|≤L1‖x-y‖， |Q(0)|=0;

|g(x)-g(y)|≤L2‖x-y‖， |g(0)|=0.

(2)

證明對任意t0≥0， 設

(3)

對固定的ψ∈C([m(t0),t0],R)， 令

Sψ={x∈C([m(t0),∞),R)∶t→∞,x(t)→0且x(t)=ψ(t),t∈[m(t0),t0]},

2.通過各種渠道提高自身學歷層次。學校應該為教師提供到其他高?；蛘叩絿膺M修的機會。應用型本科院校的商務英語教師學歷多為本科學歷，無論從專業(yè)發(fā)展的角度還是從提升自身能力的角度，教師都應繼續(xù)考取本專業(yè)的碩士和博士，擴大自己的視野，不僅要掌握扎實的語言知識，還應掌握較強的商務實踐能力。只有這樣才能有效保證教學質量，培養(yǎng)社會真正需要的應用型商務人才。應用型本科院?？梢愿鶕緦W校實際，選拔優(yōu)秀青年教師到全國一流特色大學進行進修；利用假期為教師提供短期的商務培訓；為教師創(chuàng)造出國進修以及出國提高學歷的機會，學習國外的先進教育經驗和理念。

且其范數為‖x‖=max{|x(t)|:m(t0)≤t≤t0}， 則Sψ是一個完備度量空間.

對上式進行分部積分，得

(4)

將式(4)定義為算子P∶Sψ→Sψ.對任意t∈[m(t0),t0]， (Px)(t)=ψ(t)； 當t≥t0，

(5)

顯然， (Px)∈C([m(t0),∞),R).以下證明當t→∞時， (Px)(t)→0.由于t→∞時，x(t)→0和t-τj(t)→∞.因此對任意ε>0， 存在T1>t0， 使得當s≥T1時有|x(s-τj(s))|<ε,j=1,2,…,N.由條件(H1)—(H3)和式(2)易證當t→∞時， |Ii|→0,i=1,2,3,4.此外，當t→∞， 有

由式(2)知，存在T2≥T1， 使得當t≥T2時有

由條件(H3)知， |I5|<ε+αε<2ε.I5→0.因此，當t→∞時， (Px)(t)→0， 所以有(Px)∈Sψ.以下證明P是壓縮映射.由條件(H3)知，對任意x,y∈Sψ以及t≥t0， 有

下面證明對所有的t≥t0， |x(t)|<ε.顯然，當s∈[m(t0),t0]時， 有|x(s)|<ε.如果存在t*>t0， 使得x(t*)=ε， 且當m(t0)≤s

以下考慮方程(1)的解x(t)=x(t,tm,ψ)滿足ψ(tm)=δ0和當s≤tm時，ψ(s)≤δ0.對所有t≥tm， 有|x(t)|≤1.選取適當的ψ使得

由式(5)和x(t)=(Px)(t)知， 對所有的n≥m， 有

(6)

另外，若方程(1)的零解漸近穩(wěn)定，則當t→∞時，x(t)=x(t,tm,ψ)→0.因為當n→∞，tn-τj(tn)→∞.由條件(H3)知，當n→∞時，有

該結果與式(6)相矛盾.所以式(2)是方程(1)零解漸近穩(wěn)定的充要條件.證畢.

2 算例

例1考慮以下變時滯非線性微分方程:

(7)

因此，定理1中的α=0.002 3+0.081+0.081+0.835 4=0.999 7<1，進而由定理1知方程(7)的零解是漸近穩(wěn)定的.