基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法

鄭亞男, 袁宏俊, 莊科俊

( 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 安徽 蚌埠 233030 )

0 引言

在預(yù)測(cè)過程中，不同的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法能夠提供不同的有效信息.1969年， J.M.Bates等首次提出了組合預(yù)測(cè)方法[1]，該方法的思想是利用各單項(xiàng)方法的有效信息，取長補(bǔ)短，提高預(yù)測(cè)的精準(zhǔn)度.此后，國內(nèi)外學(xué)者對(duì)組合預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了深入研究，并取得了一些成果[2-10].在實(shí)際的經(jīng)濟(jì)研究中，經(jīng)常會(huì)面臨變量取值不確定的情形，如研究股價(jià)的變動(dòng)時(shí)，分別使用開盤價(jià)和收盤價(jià)會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果.區(qū)間數(shù)據(jù)可以很好地表達(dá)動(dòng)態(tài)事件，因此對(duì)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)進(jìn)行研究具有重要意義.陳華友等[11]引入誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(induced ordered weighted averaging,IOWA)算子，以相關(guān)系數(shù)為最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)建立了多目標(biāo)區(qū)間組合模型，并結(jié)合實(shí)例驗(yàn)證了模型的精度優(yōu)于單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法.胡凌云等[12]在區(qū)間數(shù)距離最小的準(zhǔn)則下，使用誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均(induce generalized ordered weighted logarithmic averaging,IGOWLA)算子集結(jié)數(shù)據(jù)建立了變權(quán)的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型，實(shí)證結(jié)果顯示該模型預(yù)測(cè)精度優(yōu)于傳統(tǒng)的定權(quán)組合預(yù)測(cè)模型.袁宏俊等[13]構(gòu)造了連續(xù)區(qū)間有序幾何加權(quán)平均Power (continuous ordered weighted geometric-weighted Power averaging,COWG -WPA)算子，在廣義絕對(duì)誤差λ次和最小的準(zhǔn)則下建立了基于COWG -WPA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)模型，實(shí)例驗(yàn)證表明該方法能夠顯著提高預(yù)測(cè)的精度.本文在已有的文獻(xiàn)基礎(chǔ)上，選取區(qū)間相離度作為衡量組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)序列與實(shí)際區(qū)間數(shù)序列的準(zhǔn)則，并引入GIOWA算子，提出基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法，并通過實(shí)例驗(yàn)證該方法的預(yù)測(cè)精度.

1 基本概念

定義3[15]設(shè)有兩區(qū)間數(shù)X1=[a1,b1]，X2=[a2,b2]， 定義X1、X2的相離度函數(shù)為

如果d(X1,X2)是區(qū)間數(shù)X1與X2的相離度函數(shù)，則：

1)d(X1,X2)≥0；

2)d(X1,X2)=d(X2,X1)；

3)d(X1,X2)=0當(dāng)且僅當(dāng)X1=X2.

其次證明d(X1,X2)=0 ?X1=X2.d(X1,X2)=0 ? |b2-b1|+|a2-a1|=0, 因此

即X1=X2.

由定理1可知，區(qū)間數(shù)相似度函數(shù)可用于刻畫兩個(gè)區(qū)間數(shù)的偏離程度.相似度函數(shù)越接近于0，表示兩個(gè)區(qū)間數(shù)越接近.特別地，當(dāng)d(X1,X2)=0時(shí)，表示兩個(gè)區(qū)間數(shù)完全重合.因此，可以將兩個(gè)區(qū)間數(shù)的相離度函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展，應(yīng)用于描述兩個(gè)區(qū)間數(shù)序列的偏離程度.為使組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值區(qū)間相離度達(dá)到最小，本文提出基于區(qū)間相離度最小的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法.

2 基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法

2.1 區(qū)間數(shù)組合預(yù)測(cè)值的構(gòu)造

顯然有vi t∈[0,1],t=1,2,…,N;i=1,2,…,m.

由此可以得出，組合預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)預(yù)測(cè)值為

2.2 實(shí)際值序列與各組合預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值序列區(qū)間相離度的計(jì)算

根據(jù)定義3計(jì)算第i種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間的區(qū)間相離度：

由GIOWA算子集結(jié)得到的組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間的區(qū)間相離度為

2.3 基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的構(gòu)造

由GIOWA算子集結(jié)得到的組合預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列之間的區(qū)間相離度可以表示為

從上式可以看出，區(qū)間相離度d是各單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法權(quán)重W的函數(shù).根據(jù)上述分析，預(yù)測(cè)值序列與實(shí)際值序列區(qū)間相離度越小，則二者越接近.因此，可以得到如下最優(yōu)區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法(Ⅰ)：

2.4 區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的有效性

1)若d(w1,w2,…,wn)

2)若dmin≤d(w1,w2,…,wn)≤dmax， 稱基于區(qū)間數(shù)相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法是非劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè)；

3)若d(w1,w2,…,wn)>dmax， 稱基于區(qū)間數(shù)相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法是劣性區(qū)間組合預(yù)測(cè).

2.5 區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的精度檢驗(yàn)

3 實(shí)例分析

選取文獻(xiàn)[16]的數(shù)據(jù)驗(yàn)證本文預(yù)測(cè)方法的有效性，具體數(shù)據(jù)見表1所示.

表1 實(shí)際區(qū)間數(shù)和3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)區(qū)間數(shù)及其等價(jià)形式

3.1 計(jì)算區(qū)間型組合預(yù)測(cè)值

根據(jù)定義4及表1的數(shù)據(jù)，計(jì)算t時(shí)刻第i單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法的左、右端點(diǎn)預(yù)測(cè)精度，結(jié)果如表2所示.

表2 3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法在各時(shí)刻的左、右端點(diǎn)預(yù)測(cè)精度

從表2可以看出，3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法各有優(yōu)劣，均在某些時(shí)刻具有最高的預(yù)測(cè)精度，因此存在使用組合預(yù)測(cè)進(jìn)行優(yōu)化的可能.由于參數(shù)λ具有無窮多個(gè)取值，為了簡化計(jì)算本文選取λ=-3，-1， 0.1， 1， 3 5種情況進(jìn)行計(jì)算.將表1及表2中的數(shù)據(jù)代入到(Ⅰ)中，利用LINGO軟件計(jì)算得到最優(yōu)組合權(quán)重系數(shù)，計(jì)算結(jié)果如表3所示.

表3 5種取值下的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的權(quán)重

根據(jù)定義2，將表3的結(jié)果代入組合預(yù)測(cè)方法(Ⅰ)得到(Ⅰ)的預(yù)測(cè)值序列，結(jié)果如表4所示.

表4 實(shí)際區(qū)間數(shù)、不同取值下區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法預(yù)測(cè)值及等價(jià)形式

3.2 精度檢驗(yàn)及靈敏度分析

利用誤差指標(biāo)檢驗(yàn)方法(Ⅰ)的預(yù)測(cè)精度.3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法(Ⅰ)的5種特殊取值情況以及已有文獻(xiàn)所提方法的各項(xiàng)誤差指標(biāo)見表5.由表5可以看出，本文方法的各項(xiàng)誤差指標(biāo)均低于3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法；另外，與文獻(xiàn)[17-18]中的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法的有效性相比，本文方法的各項(xiàng)誤差指標(biāo)也均小于文獻(xiàn)中提出的方法.這說明，本文構(gòu)建的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法(Ⅰ)是有效的.

表5 預(yù)測(cè)精度評(píng)價(jià)體系

分別計(jì)算3種單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和5種特殊取值下組合預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值區(qū)間數(shù)與實(shí)際值區(qū)間數(shù)之間的區(qū)間相離度，結(jié)果如表6所示.從表6可以看出，在5種取值情況下均有d(w1,w2,w3)

表6 各種預(yù)測(cè)方法與實(shí)際值間的區(qū)間相離度

由表5和表6可以大致看出，當(dāng)-1<λ<1,λ≠0時(shí)，組合預(yù)測(cè)的精度更高.為了更深入地了解λ的取值對(duì)所構(gòu)建組合預(yù)測(cè)方法精度的影響，本文對(duì)參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析.圖1—圖3為參數(shù)λ變化對(duì)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值d、權(quán)重系數(shù)w1,w2,w3以及誤差指標(biāo)MSEP、MSEL、MSEI、MRIE的影響.

圖1 λ變化對(duì)最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值d的影響

圖2 λ變化對(duì)權(quán)重系數(shù)的影響

圖3 λ變化對(duì)誤差指標(biāo)的影響

由圖1—圖3可以看出，當(dāng)λ在(-∞,0)及(0,+∞)上變化時(shí)，3個(gè)圖中的曲線都有明顯的變化.從圖1可以看出，在(-∞,0)，隨著λ的增大，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值逐漸減小，最終穩(wěn)定在0.26左右；在(0,+∞)上，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值整體呈上升趨勢(shì)，最終變化率趨于平緩，穩(wěn)定在0.78附近.

從圖2可以看出，在λ的變化過程中始終有w1≥w2≥w3.根據(jù)GIOWA算子集結(jié)數(shù)據(jù)的方式，各時(shí)刻精度最高的單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法將被賦予最大的權(quán)重，因此顯然有w1≥w2≥w3.另外，隨著λ的增大，w1逐漸下降，w2逐漸上升，二者逐漸趨于相等；而w3逐漸下降，最終趨近于0.

從圖3可以看出，當(dāng)λ∈(-∞,0)時(shí)，隨著λ的增大，MSEP、MSEL、MSEI值均遞減.當(dāng)λ∈(0,+∞)時(shí)，隨著λ的增大，MSEP值逐漸上升，而MSEL值逐漸下降；在MSEP和MSEL的共同作用下，MSEI值先下降后上升，最低值在0.17左右.MRIE值則一直呈逐漸下降趨勢(shì)，并最終穩(wěn)定在0.11附近.

綜合上述分析可知，當(dāng)λ∈(-1,0)∪(0,1)時(shí)，MSEI和MRIE值達(dá)到最低，組合預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的區(qū)間相離度穩(wěn)定在0.26

4 結(jié)束語

本文以左右端點(diǎn)精度作為誘導(dǎo)值，利用GIOWA算子對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行集結(jié)，并引入?yún)^(qū)間相離度作為最優(yōu)準(zhǔn)則，得到了基于區(qū)間相離度及GIOWA算子的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法.經(jīng)過實(shí)例驗(yàn)證，本文所提出的區(qū)間型組合預(yù)測(cè)方法能夠有效地提高預(yù)測(cè)精度.另外，通過參數(shù)對(duì)靈敏度的影響分析，得到了參數(shù)λ的最優(yōu)取值區(qū)間.本文在研究過程中，缺少對(duì)該方法有效性的理論分析，今后將對(duì)本文方法的非劣性組合預(yù)測(cè)及優(yōu)性組合預(yù)測(cè)等存在性的充分條件進(jìn)行研究，以完善本文方法.