概率論教學(xué)中的四大公式及其應(yīng)用

摘 要：文章對概率論教學(xué)中的四大公式，即加法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式給出了系統(tǒng)的闡述，對每個公式進(jìn)行了詳細(xì)的證明。另外探討了如何利用這些重要的公式求解概率問題，尤其研究了如何利用全概率公式和貝葉斯公式相結(jié)合來解決較復(fù)雜問題的情況。

關(guān)鍵詞：概率論;古典概率;全概率公式;貝葉斯公式

中圖分類號：0211

文章編號：2095-624X（2019）06-0024-03

概率論是一門古老而年輕的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。說它古老，是因為早在公元前1400年，古埃及人為了忘記饑餓，經(jīng)常聚集在一起玩一種類似于今天擲骰子的游戲。到17世紀(jì)，將擲骰子作為賭博的方式在歐洲許多國家的貴族之間盛行，這是概率論產(chǎn)生的原動力。1654年費馬與帕斯卡通信中關(guān)于分賭注問題的討論被公認(rèn)為概率論誕生的標(biāo)志，從那以后進(jìn)入相對快速發(fā)展的時期。說它年輕，是因為直到20世紀(jì)30年代，概率的公理化體系建立之后，概率論才算是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)科。

在研究隨機事件及事件發(fā)生的概率時，在概率論教學(xué)中引入四大公式：解決若干事件和的加法公式、計算若干事件乘積的乘法公式、解決由因索果問題的全概率公式和解決有果索因問題的貝葉斯公式。它們構(gòu)成概率計算問題的四大公式。本文對于四大公式進(jìn)行了細(xì)致的講解，并且對于如何應(yīng)用這四大公式進(jìn)行概率計算進(jìn)行了分析研究，對于大學(xué)概率論的教學(xué)有重要的參考價值。

一、 準(zhǔn)備工作

隨機試驗是指其結(jié)果具有不確定性、偶然性或隨機性的試驗。對于隨機試驗，雖然在每次試驗之前不能確定本次試驗的結(jié)果，但是試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前就明確可知。一個隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為該試驗的樣本空間，記為Ω。樣本空間中的每個元素ω，也就是每個可能結(jié)果，都是該試驗的樣本點。由樣本空間Ω可以派生出許多子集合，其中的某些子集合稱為隨機事件，簡稱事件，常用大寫字母A，B，C，...表示。特別地，如果一個隨機事件中只含一個試驗結(jié)果（樣本點），則稱此事件為基本事件。令Φ為不可能事件，若事件A和事件B在任何一次試驗中都不能同時發(fā)生，則稱A與B互不相容，否則稱A與B相容。設(shè)A，B是兩個集合，A∩B的準(zhǔn)確含義是ω∈A∩B ?ω∈A，且ω∈B，如果把這個蘊含關(guān)系式翻譯成概率論的語言，那么事件A∩B表示A與B都同時發(fā)生，稱事件A∩B為A與B的交。A與B的交也常稱為A與B的乘積，并且可以寫成AB。設(shè)A，B是兩個集合，A∪B的準(zhǔn)確含義是ω∈A∪B ?ω∈A或ω∈B，如果把這個蘊含關(guān)系式翻譯成概率論的語言，那么事件A∪B表示A與B中至少有一個發(fā)生，稱為事件A∪B為A與B的并。A與B的并也常稱為A與B的和，并且可以寫成A+B。如果一組事件A1，A1，...，An滿足兩個條件：

參考上圖，如果把A1，A2，...，An視為“原因”事件，那么B就是“結(jié)果”事件，其中每一個“原因”Ai都可能導(dǎo)致綜合“結(jié)果”B的發(fā)生。由于A1，A2，...，An構(gòu)成一個完備事件組，所以A1，A2，...，An是導(dǎo)致綜合“結(jié)果”B發(fā)生的所有的不同的“原因”。因此，全概率公式本質(zhì)上是由所有的不同的“原因”導(dǎo)出綜合“結(jié)果”的概率公式。

4.概率的貝葉斯公式

貝葉斯公式由英國統(tǒng)計學(xué)家貝葉斯提出。貝葉斯（Bayes，1702—1761），英國統(tǒng)計學(xué)者。他去世兩年后由朋友發(fā)表了他首先提出的一種歸納推理理論，貝葉斯公式是其中的重要內(nèi)容。直到20世紀(jì)20-30年代，歸納推理理論才由后來的統(tǒng)計學(xué)者發(fā)現(xiàn)其重要性，發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法，稱為貝葉斯方法。到20世紀(jì)50-60年代，貝葉斯學(xué)派已發(fā)展成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中一個非常有影響的學(xué)派。

對于一個較復(fù)雜的事件，只要知道了各種原因發(fā)生的概率及各種原因?qū)е略撌录臈l件概率，該事件的無條件概率可通過全概率公式求得。貝葉斯公式用來解決上述問題的“逆問題”。

定理2.8（貝葉斯公式）若事件組A1，A2，...，An構(gòu)成一個完備事件組，且P（Ai）>0，i=1，2，...，n，則對于任何概率不為零的事件B，有

證明： 由條件概率的定義、乘法公式及全概率公式，

三、利用四大公式求解概率問題

例1 在某城市中共發(fā)行三種報紙： 甲、乙、丙。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下列事件的概率：（1）至少訂一種報紙;（2）不訂任何報紙;（3）只訂一種報紙;（4）正好訂兩種報紙。

總之，利用加法公式解實際生活中的概率問題，首先要明確事件、已知事件的概率和所求事件，然后根據(jù)兩個事件的加法公式、多個事件的加法公式進(jìn)行求解。利用乘法公式解概率問題要注意和條件概率公式相結(jié)合，并結(jié)合實際情況確定條件概率。另外，要注意結(jié)合全概率公式和貝葉斯公式來解決一些較復(fù)雜的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]袁德美，安軍，陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

基金項目：重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目（cstc2015jcyjA00009）;重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目（KJ1500628）;國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目（11501064）。

作者簡介：藺友江（1975—），男，河北臨西人，副教授，博士，主要從事凸幾何分析研究。