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    概率論教學(xué)中的四大公式及其應(yīng)用

    2019-05-24 07:36:48藺友江
    求知導(dǎo)刊 2019年6期
    關(guān)鍵詞:概率論

    摘 要:文章對概率論教學(xué)中的四大公式,即加法公式、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式給出了系統(tǒng)的闡述,對每個公式進(jìn)行了詳細(xì)的證明。另外探討了如何利用這些重要的公式求解概率問題,尤其研究了如何利用全概率公式和貝葉斯公式相結(jié)合來解決較復(fù)雜問題的情況。

    關(guān)鍵詞:概率論;古典概率;全概率公式;貝葉斯公式

    中圖分類號:0211

    文章編號:2095-624X(2019)06-0024-03

    概率論是一門古老而年輕的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。說它古老,是因為早在公元前1400年,古埃及人為了忘記饑餓,經(jīng)常聚集在一起玩一種類似于今天擲骰子的游戲。到17世紀(jì),將擲骰子作為賭博的方式在歐洲許多國家的貴族之間盛行,這是概率論產(chǎn)生的原動力。1654年費馬與帕斯卡通信中關(guān)于分賭注問題的討論被公認(rèn)為概率論誕生的標(biāo)志,從那以后進(jìn)入相對快速發(fā)展的時期。說它年輕,是因為直到20世紀(jì)30年代,概率的公理化體系建立之后,概率論才算是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)科。

    在研究隨機事件及事件發(fā)生的概率時,在概率論教學(xué)中引入四大公式:解決若干事件和的加法公式、計算若干事件乘積的乘法公式、解決由因索果問題的全概率公式和解決有果索因問題的貝葉斯公式。它們構(gòu)成概率計算問題的四大公式。本文對于四大公式進(jìn)行了細(xì)致的講解,并且對于如何應(yīng)用這四大公式進(jìn)行概率計算進(jìn)行了分析研究,對于大學(xué)概率論的教學(xué)有重要的參考價值。

    一、 準(zhǔn)備工作

    隨機試驗是指其結(jié)果具有不確定性、偶然性或隨機性的試驗。對于隨機試驗,雖然在每次試驗之前不能確定本次試驗的結(jié)果,但是試驗的所有可能結(jié)果在試驗之前就明確可知。一個隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為該試驗的樣本空間,記為Ω。樣本空間中的每個元素ω,也就是每個可能結(jié)果,都是該試驗的樣本點。由樣本空間Ω可以派生出許多子集合,其中的某些子集合稱為隨機事件,簡稱事件,常用大寫字母A,B,C,...表示。特別地,如果一個隨機事件中只含一個試驗結(jié)果(樣本點),則稱此事件為基本事件。令Φ為不可能事件,若事件A和事件B在任何一次試驗中都不能同時發(fā)生,則稱A與B互不相容,否則稱A與B相容。設(shè)A,B是兩個集合,A∩B的準(zhǔn)確含義是ω∈A∩B ?ω∈A,且ω∈B,如果把這個蘊含關(guān)系式翻譯成概率論的語言,那么事件A∩B表示A與B都同時發(fā)生,稱事件A∩B為A與B的交。A與B的交也常稱為A與B的乘積,并且可以寫成AB。設(shè)A,B是兩個集合,A∪B的準(zhǔn)確含義是ω∈A∪B ?ω∈A或ω∈B,如果把這個蘊含關(guān)系式翻譯成概率論的語言,那么事件A∪B表示A與B中至少有一個發(fā)生,稱為事件A∪B為A與B的并。A與B的并也常稱為A與B的和,并且可以寫成A+B。如果一組事件A1,A1,...,An滿足兩個條件:

    參考上圖,如果把A1,A2,...,An視為“原因”事件,那么B就是“結(jié)果”事件,其中每一個“原因”Ai都可能導(dǎo)致綜合“結(jié)果”B的發(fā)生。由于A1,A2,...,An構(gòu)成一個完備事件組,所以A1,A2,...,An是導(dǎo)致綜合“結(jié)果”B發(fā)生的所有的不同的“原因”。因此,全概率公式本質(zhì)上是由所有的不同的“原因”導(dǎo)出綜合“結(jié)果”的概率公式。

    4.概率的貝葉斯公式

    貝葉斯公式由英國統(tǒng)計學(xué)家貝葉斯提出。貝葉斯(Bayes,1702—1761),英國統(tǒng)計學(xué)者。他去世兩年后由朋友發(fā)表了他首先提出的一種歸納推理理論,貝葉斯公式是其中的重要內(nèi)容。直到20世紀(jì)20-30年代,歸納推理理論才由后來的統(tǒng)計學(xué)者發(fā)現(xiàn)其重要性,發(fā)展為一種系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷方法,稱為貝葉斯方法。到20世紀(jì)50-60年代,貝葉斯學(xué)派已發(fā)展成為數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中一個非常有影響的學(xué)派。

    對于一個較復(fù)雜的事件,只要知道了各種原因發(fā)生的概率及各種原因?qū)е略撌录臈l件概率,該事件的無條件概率可通過全概率公式求得。貝葉斯公式用來解決上述問題的“逆問題”。

    定理2.8(貝葉斯公式)若事件組A1,A2,...,An構(gòu)成一個完備事件組,且P(Ai)>0,i=1,2,...,n,則對于任何概率不為零的事件B,有

    證明: 由條件概率的定義、乘法公式及全概率公式,

    三、利用四大公式求解概率問題

    例1 在某城市中共發(fā)行三種報紙: 甲、乙、丙。在這個城市的居民中,訂甲報的有45%,訂乙報的有35%,訂丙報的有30%,同時訂甲、乙兩報的有10%,同時訂甲、丙兩報的有8%,同時訂乙、丙兩報的有5%,同時訂三種報紙的有3%,求下列事件的概率:(1)至少訂一種報紙;(2)不訂任何報紙;(3)只訂一種報紙;(4)正好訂兩種報紙。

    總之,利用加法公式解實際生活中的概率問題,首先要明確事件、已知事件的概率和所求事件,然后根據(jù)兩個事件的加法公式、多個事件的加法公式進(jìn)行求解。利用乘法公式解概率問題要注意和條件概率公式相結(jié)合,并結(jié)合實際情況確定條件概率。另外,要注意結(jié)合全概率公式和貝葉斯公式來解決一些較復(fù)雜的問題。

    參考文獻(xiàn):

    [1]袁德美,安軍,陶寶.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2011.

    [2]茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

    基金項目:重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃項目(cstc2015jcyjA00009);重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1500628);國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目(11501064)。

    作者簡介:藺友江(1975—),男,河北臨西人,副教授,博士,主要從事凸幾何分析研究。

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