彈性波導模型中的非線性波動方程整體解的存在性

張媛媛

(開封大學 數學教研部，河南 開封 475000)

引 言

在研究非線性彈性桿中的應變孤立波時,出現了一類縱向的波動方程[1,2]

utt-[a0+na1(ux)n-1]uxx-a2uxxtt=0

(1)

這里a0,a2>0是常數,a1是任意的實數,n為自然數。在文獻[1],[2]中,方程(1)退化為KDV方程[1,2]

ut+uux+μuxxx=0

(2)

其中μ是常數。在文獻[2]中,作者研究了方程(2)的應變孤立波,但是關于方程(1)沒有做出任何討論[2]。很明顯,方程(1)不同于方程(2),就處理方程(1)來看,目前只有為數不多的研究成果。在文獻[3]中,作者就方程(1)的第一邊值問題和初邊值問題,用Galerkin的方法證明出局部古典解的存在唯一性[3]。方程(1)和(2)的建立具有重要的數學和物理意義,許多數學家和物理學家投身于應變波解及其行波解的研究中,并且得到了很多有意義的研究結果[4-9]。其中,在文獻[10]中,作者討論了一類一般的波動方程初值問題整體解的存在性和不存在性[10]。

本文我們主要研究下列一類彈性波導模型中的非線性波動方程

utt-uxxtt-uxx-uxxt=f(ux), in Ω×R+,

(3)

(4)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω。

(5)

的初邊值問題。這里Ω是RN中的有界區(qū)域,具有光滑邊界?Ω,ν是?Ω上的單位外法線,f滿足的條件以后再限制。

文章分以下幾個部分。第一部分,主要介紹一些概念和結論;第二部分,主要對問題(3)-(5)的整體解作先驗估計,并證明解的整體存在性和唯一性。

1 主要結果

為書寫簡便,記下列簡寫符號：

C代表不同的正常數,C(·)代表正常數依賴于括號內出現的數量。

首先,考慮和問題(3)-(5)等價的Cauchy問題:

utt-uxxtt-uxx-uxxt=f(ux), in Ω×R+,

(6)

u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Ω。

(7)

下面給出主要定理:

定理1.1假定下列條件成立

(i)f∈C1(R),|f(s)|C1(1+|s|p+1),|f′(s)|C2(1+|s|p),這里0(i≥0)是正常數,并且(a)+=max {0,a}。

則問題(6)-(7)存在唯一解u,且(u,ut)∈L另外,(u,ut)連續(xù)依賴上的初值。

2 整體估計和解的整體存在唯一性

證明定理1.1。我們首先對問題(6)-(7)的解作一些先驗估計。

令v=ut+εu,則v滿足:

(8)

v(0)=u1+εu0≡v0。

(9)

(8)兩邊與v作內積,得:

(10)

這里,

K1(u,v)=ε3‖u‖2-ε‖v‖2+(1-ε)‖vx‖2+ε(ε2-ε+1)‖ux‖2-ε(f(ux),u)。

由假定,得:

(11)

然而,由假定(i),得:

≥C(‖u‖2+‖vx‖2+‖ux‖2)-C0。

(12)

(f(ux),u)|(f(ux),u)|

(13)

用同樣的方法,得:

(14)

將(13)-(14)代入(10),得:

‖ut‖2+‖u‖2+‖uxt‖2+‖ux‖2

(15)

(8)兩邊分別與uxxt和uxx作內積,得:

(16)

(17)

(16)+ε×(17),得:

(18)

其中,

K2(u)=(1-ε)‖uxxt‖2+ε‖uxx‖2-ε‖uxt‖2-(f(ux),uxxt+εuxx),

(19)

(20)

由假定(i),得:

(f(ux),uxxt)|(f(ux),uxxt)|

(21)

同理,

(f(ux),uxx)

(22)

由(19),(21),(22),得:

K2(u)-δH2(u)≥(1-ε)‖uxxt‖2+ε‖uxx‖2-C1e-δt-C0,t>0,δ>0。

(23)

因此,

‖uxt‖2+‖uxxt‖2+‖uxx‖2+‖ux‖2

(24)

現在,我們求問題(6)-(7)的滿足形式

(25)

(26)

un→u在L

(27)

在(25)-(26)中,令n→,由在L2中的稠密性可得,u是問題(6)-(7)的解,并且(u,ut)∈L

事實上,設u,v是問題(6)-(7)在空間L上分別對應于初值u0,u1和v0,v1的兩個解,則ω=u-v滿足方程:

ωtt-ωxxtt-ωxx-ωxxt=f(ux)-f(vx),

(28)

ω(0)=u0-v0≡ω0,ωt(0)=u1-v1≡ω1。

(29)

(28)兩邊與ωxxt作內積,由f的假定,得:

=(f(ux)-f(vx),ωxxt)

‖ωxxt‖·‖f′(θux+(1-θ)vx)dθωx‖

C‖ωxxt‖(‖ωx‖+(‖uxx‖p+‖vxx‖p)‖ωxx‖)

(30)

(30)應用Gronwall不等式,得:

定理1.1得證。