基于括號表示法的一階邏輯系統(tǒng)

杜國平

一、括號表示法

根據(jù)張清宇先生的相關(guān)思想[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞和量詞的一階邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1996年第5期。張清宇：《哲學(xué)邏輯研究》，北京：社會科學(xué)文獻出版社，1997年，第25～68頁。，我們在《關(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》與《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》[注]杜國平：《關(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》，《重慶理工大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué))》2019年第4期。杜國平：《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》，《湖南科技大學(xué)學(xué)報(社會科學(xué)版)》2019年第3期。兩篇文章中對“不用聯(lián)結(jié)詞”的相關(guān)思想進行了進一步的闡發(fā)并以此為基礎(chǔ)做了一些推進性的研究工作。以這些工作為基礎(chǔ)，我們在此明確提出邏輯符號的括號表示法。之所以在張清宇先生“不用(真值)聯(lián)結(jié)詞”提法的基礎(chǔ)上，提出邏輯符號的“括號表示法”，是基于幾點考慮：1.為了避免誤解。聯(lián)結(jié)詞是邏輯研究的核心內(nèi)容之一，例如命題邏輯主要研究的是“否定”“蘊涵”“合取”“析取”“等值”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，模態(tài)邏輯研究的是“必然”“可能”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，時態(tài)邏輯研究的是“曾經(jīng)”“將來”“一直”“永遠”等時態(tài)聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，直覺主義邏輯和弗協(xié)調(diào)邏輯研究的主要是基于獨特哲學(xué)思考的“否定”“蘊涵”等聯(lián)結(jié)詞的推理性質(zhì)，即使在以量詞為核心研究內(nèi)容之一的一階邏輯中，聯(lián)結(jié)詞也是不可或缺的。對于不太了解張清宇先生“不用聯(lián)結(jié)詞”具體含義的人來說，在一個邏輯系統(tǒng)中不用聯(lián)結(jié)詞是令人費解的。實際上，張清宇先生“不用聯(lián)結(jié)詞”指的僅僅是在初始符號中不用聯(lián)結(jié)詞而已，是使用括號來代替某一個聯(lián)結(jié)詞的符號表示法，常用的聯(lián)結(jié)詞是可以通過定義而引入的(在公理系統(tǒng)中，張清宇先生使用了通過定義引入的聯(lián)結(jié)詞“”)[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。，并且在語義解釋中，括號是可以被解釋為“聯(lián)結(jié)詞”的。2.在初始符號中，符號僅僅是符號而已，我們常把小寫字母“p、q、r”等稱為“命題變元”，把箭頭“→”和方框“□”稱為聯(lián)結(jié)詞，這實際上是基于一個直覺的語義解釋的背景，作為形式語言，“p、q、r、→、∧、∨、、、”都僅僅是不同的符號而已。同樣，作為形式語言，括號“( )”也僅僅是符號而已，當其經(jīng)過語義解釋之后，它可以是具有結(jié)構(gòu)功能的“括號”，也可以是真值運算的“聯(lián)結(jié)詞”，還可以做其他解釋。有時我們稱形式語言中的某類符號為“聯(lián)結(jié)詞符號”也僅僅是為了稱呼方便而已。3.在括號表示法中，括號不僅可以用來承擔“(真值)聯(lián)結(jié)詞”的功能，而且可以繼續(xù)承擔其區(qū)分層次、確立符號結(jié)合先后順序的結(jié)構(gòu)表達功能，還可以用來表示“量詞”“模態(tài)詞”“時態(tài)詞”等等。4.在邏輯符號系統(tǒng)中，不同的符號標示系統(tǒng)是各個邏輯系統(tǒng)的特征標志之一，這些符號的使用情況有時甚至影響著相關(guān)邏輯系統(tǒng)和邏輯思想的傳播和發(fā)展。如包含二維符號“a、、f(a)”的弗雷格符號系統(tǒng)，包含符號“p、p∩q、p∪q、p?q、pq”的皮亞諾符號系統(tǒng)，包含符號“p∨q、pq、p?q、pq”的羅素《數(shù)學(xué)原理》符號系統(tǒng)，包含符號“p∨q、p&q、p→q、p～q”的希爾伯特符號系統(tǒng)等，特別值得一提的是由盧卡西維茨等人發(fā)明的包含符號“Np、Cpq、Kpq、Apq”的波蘭表示法系統(tǒng)。其中，弗雷格的符號“雖然相當精確，但因為是二維的，因此很難掌握，也不便于應(yīng)用，從歷史上看，這就是造成弗雷格的《概念文字》在當時未能產(chǎn)生很大影響的重要原因之一?！盵注]鄭毓信：《現(xiàn)代邏輯的發(fā)展》，沈陽：遼寧教育出版社，1989年，第52～53頁?！蛾P(guān)于“不用聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)”的注記》與《不用聯(lián)結(jié)詞的“舍生取義”型自然推演系統(tǒng)》兩篇文章中提出的包括符號“(p)、(pq)、(x)”的括號表示法是與前述若干種符號表示法不同的一種新的標記方法。

在邏輯形式語言中，包括常項和變項。變項主要用來描述所要研究的特定范圍內(nèi)的語言對象；常項包括邏輯常項和非邏輯常項，其中邏輯常項是邏輯研究揭示特定范圍內(nèi)推理規(guī)律的核心要素。不同的符號表示法的區(qū)別主要體現(xiàn)在邏輯常項的區(qū)別上。

一般認為，常見的邏輯形式語言對于邏輯常項的表示方法主要有前置法、中置法和后置法。前置法指的是把運算符號或者聯(lián)結(jié)詞寫在運算項或者變項之前的一種表示方法。20世紀20年代波蘭邏輯學(xué)家盧卡西維茲提出的波蘭表示法就是前置法。后置法也稱逆波蘭表示法，指的是把二元運算符號或者二元聯(lián)結(jié)詞寫在兩個運算項或者兩個變項之間的一種表示方法，常見的數(shù)學(xué)運算如“+、-、×、÷”等采用的都是中置法。中置法的優(yōu)點是直觀，缺點是需要括號或者其他約定來確定運算的先后次序，而且不適用于一元運算，也難以適用于三元或者三元以上的運算。前置法和后置法的優(yōu)點是運算的先后次序是明確的，不需要使用括號，公式簡約，缺點是不夠直觀。

上述常見的三種符號表示法都是分離表示法。括號表示法不屬于上述任何一種表示法，它是一種整體表示法，在設(shè)計思想上是一種完全不同的符號表示法。之所以稱上述三種符號表示法為分離表示法，是因為中置法將運算符號或聯(lián)結(jié)詞左右的兩個符號斷開，當其作為一個單元形成更復(fù)雜的公式時(如p∨q→r)，需要括號或者其他規(guī)定來確定運算的先后順序；前置法和后置法雖然運算順序是明確的，但是因為相互臨近的兩個符號是分置的，當公式足夠復(fù)雜時(如CKCNpCpqrs)，確立運算順序也非易事。反之，括號表示法將其作用的符號作為一個整體連接在一起，結(jié)合順序和運算順序非常明確。并且，括號表示法也不受元數(shù)的限制，非常靈活，它可以作為一元聯(lián)結(jié)詞，如(p)；也可以作為二元聯(lián)結(jié)詞，如(pq)；還可以作為三元或者多元聯(lián)結(jié)詞，如(pqrs)；當然，也可以作為量詞，如(x)。綜上所述，括號表示法是一種在形式語言中以括號來表示各種邏輯常項的符號表示方法。

二、形式語言

因為括號表示法和其他表示法的區(qū)別主要是聯(lián)結(jié)詞符號表示的區(qū)別，所以下面我們在命題邏輯的形式語言中研究括號表示法的精確性(唯一性)問題。

定義2.1 形式語言L(P)包括如下兩類符號：

(1)命題符號：p1，p2，p3……；

(2)左右括號：(，)。

通常以p、q、r等表示任一命題符號。

定義2.2 一個由形式語言L(P)中的符號構(gòu)成的任意有窮序列稱為一個表達式；一個表達式中依次出現(xiàn)的符號的數(shù)目，稱為表達式的基數(shù)。

左括號、右括號、字母或者字母加下標算作一個符號。

我們使用大寫字母X、Y、Z(或加下標)來表示任一表達式；所有表達式的集合記為Expr(L(P))。

定義2.3 兩個表達式X和Y是相等的(或相同的)，記作XY，當且僅當它們有相同的基數(shù)，并且依次出現(xiàn)的符號相同。

定義2.4 設(shè)X、Y、Z、Z1、Z2Expr(L(P))。如果XZ1YZ2，則稱Y為X的段；如果XY，則稱Y為X的真段；如果XYZ，則稱Y為X的初始段，稱Z為X的結(jié)尾段；如果XYZ，且Z不空，則稱Y為X的真初始段；如果XYZ，且Y不空，則稱Z為X的真結(jié)尾段。

定義2.5 稱L(P)的一個表達式為原子公式當且僅當它是一個單獨的命題符號(加下標)。

由L(P)中所有原子公式構(gòu)成的集合記為Atom(L(P))，由L(P)中所有公式構(gòu)成的集合記為Form(L(P))。

定義2.6Form(L(P))是滿足以下(1)—(3)的表達式集合中的最小集：

(1)Atom(L(P))；

證明：

證明：

根據(jù)定理2.2和定理2.4可得：

命題2.1 形式語言L(P)中的任一公式恰好具有以下三種形式之一：原子公式、()或者()；并且在各種情形下公式所具有的那種形式是唯一的。

證明：

1.顯然，形式語言L(P)中的任一公式所具有的形式必定為原子公式、()或者()這三種形式之一。

2.這三種形式中的任何兩種都不相同，即形式語言L(P)中的任一公式所具有的形式至多為這三種形式之一。

首先，原子公式的基數(shù)為1，而其他兩種公式的基數(shù)至少為3，因此原子公式和其他兩種公式的形式不同。

其次，其他兩種公式的形式也不相同。因為，假設(shè)其他兩種形式的公式并非不相同，則存在公式、、，使得

()()

等式兩邊均去掉最外層的左括號和右括號，得到：

()()

等式兩邊均去掉最外層的左括號，可得

))

證明：

以上完成了公式結(jié)構(gòu)唯一性的證明。這說明括號表示法的語言是無歧義的，公式結(jié)構(gòu)具有唯一性、精確性。

三、公式的長度

因為在形式語言中，左右括號一般都是成對使用，不單獨使用，因此，正如將一個字母及其下標視為一個符號一樣，將左右括號視為一個符號也是合理的。

在波蘭表示法中，這3條公理表示為：

在括號表示法中，這3條公理可表示為：

對比中置法、前置法(波蘭表示法)、后置法(逆波蘭表示法)和括號表示法可以看出，括號表示法和波蘭表示法同樣簡潔，比中置法簡短許多。這是因為中置法比括號表示法多聯(lián)結(jié)詞，比波蘭表示法多括號。另外，因為括號表示法總是從最里層的括號開始并按照由內(nèi)而外的結(jié)合順序進行，因此順序關(guān)系的辨識也比波蘭表示法清晰、容易。

四、一階邏輯系統(tǒng)

在《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》中，張清宇先生指出他建立的系統(tǒng)包含命題常項，即零元聯(lián)結(jié)詞，“因此利用它們建立的不用聯(lián)結(jié)詞的系統(tǒng)還不能算是十分嚴格的不用聯(lián)結(jié)詞的系統(tǒng)”[注]張清宇：《不用聯(lián)結(jié)詞的經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)》，《哲學(xué)研究》1995年第5期。。對此他提出了以括號代替舍弗函數(shù)的策略，這當然是一個非常巧妙的可行策略。

其實，還有一個比較簡單直觀的策略，就是使用括號表示法直接對已有的系統(tǒng)進行改寫，這樣一方面可以發(fā)揮括號標記法的簡明優(yōu)勢，另一方面也可利用現(xiàn)成的推理系統(tǒng)。下面我們簡要地對此加以闡述：

定義4.1 形式語言L(Q)包括如下符號：

(1)個體符號：c1，c2，c3……(常元)；u1，u2，u3……(自由變元)；x1，x2，x3……(約束變元)；

(2)函數(shù)符號：f1，f2，f3……；

(4)左右括號：(，)。

定義4.2 一個由形式語言L(Q)中符號構(gòu)成的任意有窮序列稱為一個表達式。

一般使用大寫字母X、Y、Z來表示任一表達式。

形式語言L(Q)中的項、原子公式和公式的集合分別記為Term(L(Q))、Atom(L(Q))和Form(L(Q))；一般用小寫字母及其下標、、等來表示任一項，用大寫字母、、、等來表示任一公式，用~、等表示任一公式集。

定義4.3 一個表達式X稱為項，當且僅當X能有限次使用下面的規(guī)則生成：

(1)Atom(L(Q))Form(L(Q))；

定義4.6 基于括號表示法的一階邏輯自然推演系統(tǒng)QZ2包括如下7條推理規(guī)則：

在QZ2中不難證明：

等等。

(4) ((x)(x))1當且僅當，對的任一x-變異，((u))1。

對于系統(tǒng)QZ2，不難證明：

五、推理結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)推理是一種非常直觀的邏輯形式系統(tǒng)的構(gòu)建方法。它從結(jié)構(gòu)規(guī)則和邏輯聯(lián)結(jié)詞的推理規(guī)則兩個方面來研究邏輯，并且尤其關(guān)注各種結(jié)構(gòu)規(guī)則所體現(xiàn)的推理行為，展示不同邏輯形式系統(tǒng)的推理特征[注]具體可參見馮棉《結(jié)構(gòu)推理》，桂林：廣西師范大學(xué)出版社，2015年。。與之相類似的是可以由此深入細致地分析基于各種聯(lián)結(jié)詞的聯(lián)系和區(qū)別的推理特性，而括號表示法為研究聯(lián)結(jié)詞(或邏輯常項)的推理結(jié)構(gòu)提供了一個非常良好的分析工具。下面我們來概要地說明這一點。

對于一元聯(lián)結(jié)詞，可以列出如下一些推理規(guī)則：

在適當?shù)墓餐慕Y(jié)構(gòu)規(guī)則之上加上推理規(guī)則1至推理規(guī)則6的不同組合可以用來表述不同類型的二值否定，如經(jīng)典否定、某種直覺主義否定或者某種弗協(xié)調(diào)否定等等[注]杜國平：《哲思邏輯——一個形而上學(xué)內(nèi)容的公理體系》，《東南大學(xué)學(xué)報(哲學(xué)社會科學(xué)版)》2007年第4期。；推理規(guī)則7至推理規(guī)則11的不同組合則可以用來表述某種類型的三值否定等等。

對于二元聯(lián)結(jié)詞，可以列出如下一些推理規(guī)則：

在適當?shù)墓餐慕Y(jié)構(gòu)規(guī)則之上加上推理規(guī)則1至推理規(guī)則11的不同組合可以用來表述不同類型的二值二元聯(lián)結(jié)詞。如推理規(guī)則1加推理規(guī)則3至6的組合可以用來描述二值析取，推理規(guī)則1、2、3加上推理規(guī)則7、8、9的組合可以用來描述二值合取，推理規(guī)則1、2加上推理規(guī)則10、11、12的組合可以用來描述二值蘊含等等[注]Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, Boca Raton: CRC Press, 2010, p. 39.。

其實，推理規(guī)則1、3中的括號還具有二元函子的特征，因為其中的括號可以是合取，也可以是析取，還可以是等值等等[注]盧卡西維茨：《亞里士多德的三段論》，李真、李先焜譯，北京：商務(wù)印書館，1981年，第197～204頁。。

由此可見，使用括號表示法可以彰顯各種邏輯聯(lián)結(jié)詞在推理行為上的區(qū)別和聯(lián)系，括號表示法可以作為分析聯(lián)結(jié)詞推理行為的良好工具。

綜上，括號表示法作為一項形式語言的符號處理技術(shù)，以括號來表示命題聯(lián)結(jié)詞、量詞、模態(tài)詞等各種邏輯常項，其語言表達是精確而無歧義的。它與以往的符號表示法不同，是一種整體性符號表示法。運用括號表示法表達的公式，其長度比中置法表達的公式簡短，比波蘭表示法表達的公式清晰。運用括號表示法改寫的一階邏輯自然推理系統(tǒng)非常簡潔。括號表示法為研究邏輯常項的推理結(jié)構(gòu)提供了一個非常良好的技術(shù)工具。