時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的二階差分/擬小波法

郭 沖， 趙鳳群

(西安理工大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710054)

0 引言

近年來，時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程受到了廣大學(xué)者的關(guān)注，它的應(yīng)用領(lǐng)域也越來越廣泛，如動(dòng)力系統(tǒng)中的控制理論[1]、粘彈性材料[2]、混沌[3]、神經(jīng)細(xì)胞中離子的反常擴(kuò)散過程[4]等.

時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程是對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階擴(kuò)散方程的推廣，但是由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的存在，這類方程的求解出現(xiàn)了一些困難.在實(shí)際問題中，對(duì)方程建立有效的數(shù)值逼近格式是必要的.時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有兩種直接的離散公式:L1離散公式和Grünwald-Letnikov離散公式，前者是對(duì)Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)關(guān)于被積函數(shù)進(jìn)行分段線性插值得到的，而后者通常用來離散Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).

然而，上述方法的精度有限.近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多數(shù)值方法，比如有限差分法、譜方法、有限元法等.Sun和Wu[5]通過引入兩個(gè)新變量將原始方程轉(zhuǎn)換為低階方程組來得到時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的差分格式，并證明差分格式是唯一可解的、無條件穩(wěn)定的和收斂的，其收斂階為O(τ3-α+h2) (1<α<2)，其中τ是時(shí)間步長(zhǎng)，h是空間步長(zhǎng).Li等[6]提出了兩種用于數(shù)值求解時(shí)間分?jǐn)?shù)徑向擴(kuò)散方程的隱式有限差分格式，并證明了這兩種格式是無條件穩(wěn)定和二階收斂的.Ercilia和Li[7]研究了具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散模型，并給出了該導(dǎo)數(shù)的二階離散化，推導(dǎo)出了無條件穩(wěn)定的加權(quán)平均有限差分方法.

Lin和Xu[8]提出了時(shí)間分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的有限差分方法，并證明收斂階為O(τ2-α).Alikhanov[9]提出了一種新的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的差分離散公式，并建立了相應(yīng)的空間四階和二階的有限差分格式.Chen等[10]考慮了半無限空間域上具有變系數(shù)的時(shí)間分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的數(shù)值近似，提出了一種基于時(shí)間和頻譜近似的有限差分方法的全離散格式.擬小波法與小波法相比，具有更好的局部特征，在處理復(fù)雜的幾何邊界條件時(shí)，擬小波方法通過選擇合適的參數(shù)控制整體精度并具有良好的穩(wěn)定性，而且對(duì)有局域急劇變化的非線性偏微分方程的數(shù)值求解是非常有利的.Zhang等[11]、Yang等[12]在求分?jǐn)?shù)階偏微分方程時(shí)都采用了擬小波法離散空間導(dǎo)數(shù)，形成了有效的數(shù)值方法.Luo等[13]運(yùn)用擬小波法求解了無界空間域上Volterra積分微分方程，并給出了一些數(shù)值算例來說明此方法的有效性.

本文將L2-1σ差分公式和擬小波法應(yīng)用于如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程：

q(x,t)u(x,t)=f(x,t),

0

(1)

u(x,0)=0,0≤x≤L,

(2)

u(0,t)=0,u(L,t)=0,0≤t≤T,

(3)

其中

0<α<1是關(guān)于t的α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；p≥c0>0，q≥c1>0；f是足夠光滑的函數(shù).

1 基于L2-1σ差分公式的時(shí)間半離散格式

對(duì)于函數(shù)u(t)∈C3[0,T]，考慮一致網(wǎng)格

文獻(xiàn)[9]給出了Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)逼近的L2-1σ差分公式

(4)

其中

ut,s=(u(ts+1)-u(ts))/τ,

當(dāng)n≥1時(shí)，

引理1[9]對(duì)所有α∈(0,1)和u(t)∈C3[0,tn+1](0≤n≤M-1)，

由L2-1σ公式(4)，方程(1)可寫成如下形式

(5)

fn+σ(x).

(6)

在非整數(shù)節(jié)點(diǎn)n+σ處，取

un+σ(x)≈σun+1(x)+(1-σ)un(x)，

則半離散格式(6)可以寫成

qn+σ(x)[σun+1(x)+(1-σ)un(x)]=

fn+σ(x).

(7)

根據(jù)引理2和引理3，有以下推論.

推論1[10]對(duì)于n=0,1,2…,M-1,具有以下不等式

根據(jù)參考文獻(xiàn)[10]，運(yùn)用上述引理和推論，得到了時(shí)間半離散格式(7)的穩(wěn)定性和收斂性.

定理1格式(7)是穩(wěn)定的，并且對(duì)所有的τ>0，滿足

‖un+1‖2≤

其中n=0,1,…,M-1.

(10)

應(yīng)用pn+σ≥c0>0,qn+σ≥c1>0和推論1，得到

(11)

用H?lder不等式與young不等式,得到

不等式(11)就可以寫成

即

①當(dāng)0<α<1時(shí)，

由于

所以

(12)

當(dāng)n=0時(shí)，由式(12)得到

顯然不等式(8)成立.

假設(shè)當(dāng)n

‖un+1‖2≤‖u0‖2+

則當(dāng)n=k時(shí)，

于是有

‖uk+1‖2≤‖u0‖2+

②當(dāng)α→1時(shí)

由于

所以

(13)

當(dāng)n=0時(shí)，由式(13)得到

顯然不等式(9)成立.

假設(shè)當(dāng)n

則當(dāng)n=k時(shí)，

于是有

從而定理1的不等式(9)得證.

2.3.2 慢性腎功能不全(CKD)：CKD影響血小板聚集能力和凝血功能，CKD患者腎臟排泄能力減低又會(huì)影響抗血小板藥物代謝。因此，CKD患者既是血栓高危人群也是出血高危人群，在應(yīng)用抗血小板藥物前必須進(jìn)行腎功能評(píng)估和出血風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。目前更傾向于替格瑞洛聯(lián)合阿司匹林，PLATO研究亞組分析[10]顯示，CKD 患者在阿司匹林治療的基礎(chǔ)上，替格瑞洛較氯吡格雷治療組主要心血管復(fù)合終點(diǎn)事件及全因死亡率降低更明顯，且嚴(yán)重出血事件風(fēng)險(xiǎn)未增加。

類似定理1，可以證明：

‖u(tn)-un‖2≤

2 全離散擬小波格式

擬小波法主要是通過以下插值基函數(shù)來配置[11]

其中σ是正則寬度參數(shù)，Δ是單元網(wǎng)格大小，選取σ=rΔ,r是計(jì)算中選擇的參數(shù).

對(duì)于時(shí)間半離散格式(7)，空間上采用擬小波法，給出如下網(wǎng)格xj=jh，j=0,1,…,N，h=L/N，時(shí)間步長(zhǎng)記為τ,tn=nτ，n=0,1,…,M.

假設(shè)

(14)

則nu(x)在xj點(diǎn)的n階求導(dǎo)格式為

令p-j=m，則

(15)

將式(15)代入格式(7)得其離散格式為

(16)

式(16)即是時(shí)間分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程(1)的擬小波法的全離散格式，且該格式在空間上是指數(shù)收斂的[14].

3 數(shù)值算例

求解如下時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程

(17)

滿足如下初邊值條件

u(x,0)=0,0≤x≤1,

u(0,t)=0,u(1,t)=0,0≤t≤1.

其中

精確解為u(x,t)=t2sin(πx).

此方程的數(shù)值結(jié)果呈現(xiàn)在表1～4.表1、表2和表3分別給出了M=100，參數(shù)r和W取不同值時(shí)，隨著α的改變，在不同時(shí)間和不同空間步長(zhǎng)下的最大模誤差.其中最大模誤差E∞定義為

從表1、表2和表3可以看出，當(dāng)W保持不變時(shí)，隨著r的增大，誤差也在變大.當(dāng)r保持不變時(shí)，隨著W的增大，誤差保持不變.

表4顯示了隨著時(shí)間步長(zhǎng)τ的變化，通過上述算法求得的誤差.從表4可以看出，該算法的收斂階為O(τ2)，這也驗(yàn)證了理論分析的正確性.

表1 r=3.2，W=35，M=100，N取不同值時(shí)的誤差分析

表2 r=2.2，W=35，M=100，N取不同值時(shí)的誤差分析

表3 r=3.2，W=20，M=100，N取不同值時(shí)的誤差分析

表4 τ取不同值的誤差分析

4 結(jié)論

本文給出了基于L2-1σ公式的時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的半離散格式，并得到了它的穩(wěn)定性和收斂性.采用擬小波法離散空間導(dǎo)數(shù)，從而建立時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的全離散格式.本文算法在空間上具有指數(shù)收斂的特點(diǎn)，在時(shí)間變量上收斂速度也較高，是一種高效的數(shù)值方法.