平面含復(fù)鉸桿組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的同構(gòu)判定方法*

張 瑤，孔建益，孫亮波，劉懷廣，劉源泂

(1.武漢科技大學(xué) 機(jī)械自動(dòng)化學(xué)院，武漢 430081；2.武漢輕工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430038)

0 引言

桿組是組成機(jī)構(gòu)的基本元素之一，機(jī)構(gòu)的組成理論[1]指出任何機(jī)構(gòu)都可以由若干個(gè)基本桿組聯(lián)接機(jī)架和主動(dòng)件得到，這一機(jī)構(gòu)形成過程簡單且直觀。李樹軍[2-4]提出平面機(jī)構(gòu)綜合方法，將基本桿組、主動(dòng)件、機(jī)架作為矩陣基本元素進(jìn)行排列組合得出機(jī)構(gòu)，這種組合方式簡單、實(shí)用，同時(shí)給出了機(jī)構(gòu)識(shí)別的思想。曹毅等[5]在李樹軍的機(jī)構(gòu)綜合方法研究基礎(chǔ)之上，加入了復(fù)鉸因子參數(shù)，獲得了八桿含復(fù)鉸的機(jī)構(gòu)構(gòu)型綜合。EE Peisakh[6]提出了Assur桿組的型綜合算法和識(shí)別構(gòu)型方法，使得型綜合計(jì)算機(jī)自動(dòng)化。孫亮波等[7-8]在桿組型綜合方面取得了很多成果，得到了2～10桿的單鉸桿組拓?fù)鋱D庫以及6桿含復(fù)鉸桿組圖庫。韓建友等[9]運(yùn)用拆分法在機(jī)構(gòu)中拆分得到桿組，并采用關(guān)聯(lián)和鄰接矩陣特征值特征向量來判定同構(gòu)，但未涉及含復(fù)合鉸鏈的復(fù)雜桿組的獲得。

同構(gòu)判定是型綜合中重要步驟，關(guān)于運(yùn)動(dòng)鏈同構(gòu)的研究成果有很多，但不適用于桿組，一般我們討論的運(yùn)動(dòng)鏈都是閉式運(yùn)動(dòng)鏈，而桿組是含有兩個(gè)以上外接運(yùn)動(dòng)副的非閉合鏈，隨著桿組中構(gòu)件數(shù)目的增多，桿組結(jié)構(gòu)復(fù)雜度增大，無可避免的會(huì)出現(xiàn)同構(gòu)現(xiàn)象，所以針對桿組的同構(gòu)判定方法是不可或缺的。文獻(xiàn)[10]中提及了同構(gòu)運(yùn)動(dòng)鏈其鄰接矩陣特征值和特征向量的充分必要條件，該方法是判斷同構(gòu)最簡便的方法之一，但不適合桿組的識(shí)別。

本文根據(jù)描述桿組結(jié)構(gòu)特征的雙色拓?fù)鋱D，構(gòu)造了拓展的鄰接矩陣?；跅U組拓展鄰接矩陣表達(dá)桿組結(jié)構(gòu)中構(gòu)件、復(fù)鉸以及外接運(yùn)動(dòng)副的自身信息，和三者之間的連接關(guān)系。之后結(jié)合桿組拓展鄰接矩陣中包含的桿組結(jié)構(gòu)信息以及連接信息，利用矩陣特征值特征向量[10]來判斷桿組結(jié)構(gòu)是否同構(gòu)，解決了含有復(fù)合鉸鏈的復(fù)雜桿組同構(gòu)問題。

1 含復(fù)鉸桿組的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征

為了保證桿組特征信息得到充分表達(dá)，尋求一種桿組拓?fù)鋱D描述方式尤為重要。桿組中的結(jié)構(gòu)特征信息包括構(gòu)件數(shù)(n)、復(fù)鉸數(shù)(J)、運(yùn)動(dòng)副數(shù)(P)、環(huán)路數(shù)(Lg)、外接運(yùn)動(dòng)副數(shù)(pe)等。雙色拓?fù)鋱D是一種普遍用來表示含復(fù)鉸結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋱D表示方法，含復(fù)鉸的桿組用實(shí)心和空心圓點(diǎn)分別表示構(gòu)件和復(fù)鉸，構(gòu)件與復(fù)鉸之間連接的線段表示內(nèi)接運(yùn)動(dòng)副，圓點(diǎn)上引出的線段表示外接運(yùn)動(dòng)副。下圖是桿組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中n=6、J=1、P=9、Lg=2、pe=2的雙色拓?fù)鋱D。

(a)結(jié)構(gòu)簡圖 (b)雙色拓?fù)鋱D圖1 桿組的表示

這種雙色拓?fù)鋱D的表示方法相較于桿組結(jié)構(gòu)簡圖，能清晰直觀的表達(dá)了桿組中復(fù)鉸和外接運(yùn)動(dòng)副等重要的結(jié)構(gòu)特征信息，有利于后續(xù)同構(gòu)判定和型綜合的完成。

2 桿組拓展鄰接矩陣的構(gòu)建

2.1 拓展的鄰接矩陣

為了便于桿組結(jié)構(gòu)信息的描述以及后續(xù)桿組同構(gòu)識(shí)別的計(jì)算機(jī)處理，構(gòu)建了拓展的鄰接矩陣，假設(shè)桿組結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D中有n個(gè)構(gòu)件，J個(gè)復(fù)鉸和pe個(gè)外接運(yùn)動(dòng)副組成，則可以用A=[ai,j]表示，其中i,j=1,2,3,…,(n+J+pe)，拓展的鄰接矩陣的數(shù)學(xué)表達(dá)式如式(1)：

(1)

式(1)中d表示復(fù)鉸連接的構(gòu)件數(shù)目，即復(fù)鉸的元數(shù)。一般地，鄰接矩陣是用于表示運(yùn)動(dòng)鏈中構(gòu)件與構(gòu)件之間的關(guān)系，而桿組拓展的鄰接矩陣表示構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副三者之間的關(guān)系。矩陣中非對角線元素表示的構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副之間是否連接，對角線元素為0。圖1中的桿組有一個(gè)三元復(fù)鉸，則d=3，它的拓展鄰接矩陣見式(2):

(2)

2.2 矩陣的性質(zhì)

(1)矩陣的階數(shù)等于桿組結(jié)構(gòu)中構(gòu)件數(shù)、復(fù)鉸數(shù)以及外接運(yùn)動(dòng)副數(shù)三者之和；

(2)矩陣中i行(列)中“1”的個(gè)數(shù)m≥2時(shí)，則該行(列)表示的是構(gòu)件，其中m是構(gòu)件的元數(shù)；

(3)若矩陣i行(列)中“d”的個(gè)數(shù)t≥2時(shí)，則該行(列)表示的是復(fù)鉸，其中t是復(fù)鉸的元數(shù)；

(4)若矩陣中i行(列)有且僅有一個(gè)“1”，則該行(列)表示桿組的外接運(yùn)動(dòng)副，且該外接運(yùn)動(dòng)副連接位置在元素“1”對應(yīng)的列(行)構(gòu)件上。

例如式(2)的矩陣，表示對應(yīng)的桿組拓?fù)鋱D中構(gòu)件數(shù)、復(fù)鉸數(shù)、外接運(yùn)動(dòng)副數(shù)的和為8，即n+J+pe=8。矩陣中第一行中元素“1”的個(gè)數(shù)m=3，則該行表示的是三元構(gòu)件；矩陣中第七行中“3”的個(gè)數(shù)為t=3，所以該行代表的是三元復(fù)鉸；第7、8行中只有一個(gè)元素“1”，則它們表示的是外副。式(2)中的具體桿組結(jié)構(gòu)信息如表1所示。

表1 矩陣包含信息

3 桿組結(jié)構(gòu)的同構(gòu)判定及案例

3.1 同構(gòu)判定步驟

兩桿組是否同構(gòu)，可按照如下步驟來判定：

(1)對桿組拓?fù)鋱D的構(gòu)件、復(fù)鉸及外接運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行任意編號(hào);

(2)比較桿組結(jié)構(gòu)中構(gòu)件數(shù)(n)、復(fù)鉸數(shù)(J)、外接運(yùn)動(dòng)副數(shù)(pe)，若三個(gè)數(shù)不相等，則異構(gòu)；若不相等，則進(jìn)行下一步;

(3)構(gòu)建桿組拓展的鄰接矩陣，得到桿組結(jié)構(gòu)信息列表，比較列表中的信息，若不同，則異構(gòu)；若相同，則進(jìn)行下一步;

(4)求出拓展的鄰接矩陣的特征值λ，特征向量ξ，若特征值不完全相同，則異構(gòu)；否則，進(jìn)行下一步;

(5)若兩桿組的特征向量矩陣[ξ1,ξ2,…ξi…,ξN]可以通過若干行列變化得到另外一個(gè)特征向量矩陣，則同構(gòu)；反之，異構(gòu)。之后根據(jù)上述變化矩陣找到同構(gòu)桿組中對應(yīng)的構(gòu)件、復(fù)鉸及外接運(yùn)動(dòng)副。

3.2 案例

以圖2三個(gè)含復(fù)鉸的八桿桿組為例，進(jìn)行同構(gòu)判定。首先對拓?fù)鋱D中構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副進(jìn)行任意編號(hào)1～11(n+J+pe=11)。

圖2 8桿桿組

然后，構(gòu)建桿組拓展鄰接矩陣(11階)，桿組(1)拓展的鄰接矩陣Ac1，表2是矩陣中包含的桿組信息。

表2 Ac1矩陣中桿組包含信息

從表2中可知圖2中桿組(1)的構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副的數(shù)量類型以及它們之間的連接情況，下面是桿組(2)、(3)對應(yīng)的拓展鄰接矩陣Ac2、Ac3，表2、表3是矩陣中Ac2、Ac3包含的桿組結(jié)構(gòu)信息。

表3 Ac2矩陣包含信息

續(xù)表

表4 Ac3矩陣包含信息

比較3個(gè)表格中各桿組中的信息，發(fā)現(xiàn)構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副各自的類型數(shù)目均相同，構(gòu)件數(shù)n=8(二元構(gòu)件1個(gè)、三元構(gòu)件3個(gè)、四元構(gòu)件1個(gè))，復(fù)鉸數(shù)J=1(三元復(fù)鉸)，外接運(yùn)動(dòng)副數(shù)pe=2。它們的連接其他結(jié)構(gòu)的情況都相同，例如四元構(gòu)件都是連接3個(gè)二元構(gòu)件和1個(gè)外接運(yùn)動(dòng)副。轉(zhuǎn)(4)。

計(jì)算機(jī)編程求取矩陣Ac1、Ac2、Ac3的特征值和特征向量，桿組(1)、(2)、(3)的特征值分別用λ1、λ2、λ3表示如下:

可知3個(gè)特征值λ1≠λ2=λ3，則桿組(1)與桿組(2)、(3)不同構(gòu)。矩陣Ac2、Ac3的特征向量矩陣分別用P2、P3表示如下，矩陣P2、P3不完全相同，此時(shí)仍不能判斷桿組(2)和桿組(3)是否同構(gòu)，需要進(jìn)行步驟(5)，特征向量矩陣P2或P3經(jīng)過行列變化后，是否能相等。

上述矩陣Ac3的特征向量矩陣P3和矩陣Ac2的特征向量矩陣P2具有6組行對應(yīng)關(guān)系，映射到桿組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，即是桿組(2)和桿組(3)的構(gòu)件、復(fù)鉸、外副之間的對應(yīng)關(guān)系。E11(i,j)表示的是11階單位矩陣中的i、j行互換，驗(yàn)證可知存在矩陣B使得BAc3B-1=Ac2。其中矩陣B為：

B=E11(7, 8)E11(6, 8)
E11(5, 8)E11(4, 5)E11(3, 4)E11(2, 8)

由此可以得出桿組(2)和桿組(3)同構(gòu)，且可得出兩者構(gòu)件、復(fù)鉸和外接運(yùn)動(dòng)副編號(hào)對應(yīng)關(guān)系如表5所示。

表5 編號(hào)對應(yīng)關(guān)系

續(xù)表

運(yùn)用桿組中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息和桿組拓展的鄰接矩陣特征值和特征向量法進(jìn)行同構(gòu)判定，全程可由計(jì)算機(jī)完成，簡單且實(shí)用。其中拓展的鄰接矩陣在原有的鄰接矩陣的基礎(chǔ)上做出了拓展，增加了復(fù)鉸以及外副的對應(yīng)行列，使得矩陣中包含了更加全面的桿組結(jié)構(gòu)信息。

4 結(jié)論

(1)通過對桿組拓?fù)鋱D結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的分析，在鄰接矩陣的基礎(chǔ)之上提出了新的桿組拓?fù)鋱D的描述方式——拓展鄰接矩陣。該矩陣是能表示桿組構(gòu)件、復(fù)鉸、外接運(yùn)動(dòng)副之間的連接關(guān)系的對稱矩陣，實(shí)現(xiàn)了桿組拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的唯一表示。

(2)綜合了拓展鄰接矩陣中包含的桿組各結(jié)構(gòu)本身信息、它們之間的連接信息，以及桿組拓展鄰接矩陣的特征值特征向量，給出一種桿組同構(gòu)判定的新方法，特別是針對含復(fù)鉸和外接運(yùn)動(dòng)副的桿組判定方法。該方法可完全由計(jì)算機(jī)來完成，是最簡便操作方法之一。

(3)根據(jù)拓展鄰接矩陣的行列變換，找出桿組中構(gòu)件、復(fù)鉸及外接運(yùn)動(dòng)副編號(hào)的對應(yīng)關(guān)系，對桿組同構(gòu)結(jié)果進(jìn)行對比驗(yàn)證，由此提高了該判別方法的可靠性。