例解特殊的二元一次方程組

◎卞書彥

第1100章 二元一次方程組

領(lǐng) 銜 人：卞書彥

組稿團(tuán)隊(duì)：江蘇省鹽城市葛武初級中學(xué)

解二元一次方程組的關(guān)鍵在于消元，化“二元”為“一元”，將“陌生”的二元一次方程組轉(zhuǎn)化為熟悉的一元一次方程，從而求解。對于常規(guī)性的二元一次方程組，同學(xué)們可以用代入消元法、加減消元法，而對于一些復(fù)雜的二元一次方程組，一般先將每一個(gè)方程變形化簡，再采用代入消元法或加減消元法解之。往往每一個(gè)方程化簡變形比較繁瑣，但如果注意觀察和分析方程組中各方程的結(jié)構(gòu)特征，采用一些特殊方法，就可以迅速得到解答，從而培養(yǎng)和提高自己的創(chuàng)新能力。

一、整體代入法

例1 解方程組：

【分析】此題常規(guī)解法是先化簡再加減消元，雖能達(dá)到目的，但不是明智之舉。我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)方程①與方程②中有相同的代數(shù)式4x+5y，所以把方程②代入方程①中，解出x的值進(jìn)而求出y的值。

【簡解】將方程②整體代入方程①中，得3x+2×（-1）=1，所以x=1。將x=1代入②，可得y=-1，所以原方程組的解為{x=1，y=-1。

【點(diǎn)評】解方程組時(shí)，有時(shí)可根據(jù)題目的特點(diǎn)整體代入，從而達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，當(dāng)然不是所有的題目都能像本題一樣直接整體代入，有時(shí)須通過仔細(xì)觀察，抓住方程組的特點(diǎn)，先作一些處理，再整體代入。

二、整體加減法

例2 解方程組：

【分析】對于這種系數(shù)較大的方程組，如果采用常規(guī)加減法，繁瑣難算且易錯(cuò)。我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)方程組的左邊未知數(shù)的系數(shù)為輪換對稱式，分別將兩個(gè)方程整體相加、減，可構(gòu)造一個(gè)簡單方程組，從而簡化計(jì)算過程。

【簡解】①+②，得4039x+4039y=12117。

即x+y=3。

②-①，得x-y=-1。

三、消去常數(shù)法

例3 解方程組：

【分析】常規(guī)方法是尋找x或y的系數(shù)的最小公倍數(shù)，再消元，運(yùn)算量大。我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)相同，所以如果兩式相減可消去常數(shù)項(xiàng)，再代入消元可獲巧解。

【簡解】①-②，得

18x+36y=0，即x=-2y。將x=-2y代入②，可解得y=-1，進(jìn)而可得原方程組的解為

四、換元法

例4 解方程組：

【分析】若先去分母，再化簡求解，比較繁瑣。我們觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)方程中都含有別將其看作一個(gè)整體再換元，設(shè)n，原方程組可轉(zhuǎn)化為{m+n=3，m-n=-1。求出m、n的值，進(jìn)而求出x、y的值。

五、參數(shù)法

例5 解方程組：

【分析】當(dāng)方程組中出現(xiàn)“比”的形式或“連比”的形式，通常采用參數(shù)法增設(shè)輔元，可以簡化運(yùn)算。

總之，在解復(fù)雜的二元一次方程組時(shí)，一定要先分析方程組的特征，靈活運(yùn)用上述技巧，就能簡化解題過程，化繁為簡，提高正確率。我們只要細(xì)觀察，勤動腦，就能發(fā)現(xiàn)更多的方法去解決問題。