基于正態(tài)分布的成績(jī)分析

孫永科 熊飛

摘要：該文介紹了一種學(xué)生成績(jī)等級(jí)的劃分方法，按照正態(tài)分布的3-sigma理論將學(xué)生的成績(jī)劃分為不同的等級(jí)。與傳統(tǒng)的純數(shù)字成績(jī)比較，該方法屏蔽了試卷和課程的難易程度的影響，配合線箱圖可以反映學(xué)生的成績(jī)分布和個(gè)體成績(jī)等級(jí)。

關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；學(xué)習(xí)能力；線箱圖

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2019）06-0207-02

A Visual Analysis of Students Score Based on Normal Distribution

SUN Yong-ke， XIONG Fei

（Southwest Forestry University， Kunming 650224， China）

Abstract： This article presented a visual analysis of students score which divide students into different levels according the 3-sigma theory about normal distribution. Compared with traditional method which only display number， this method has ability to estimate the level of student more accurately than before， it can easily display the distribution of class scores and personal position in class level.

Key words： normal distribution； ability of study； box plot

1 背景

每個(gè)學(xué)期結(jié)束時(shí)，學(xué)校都要進(jìn)行學(xué)生成績(jī)分析，并給學(xué)生家長(zhǎng)發(fā)放學(xué)生成績(jī)通知單。傳統(tǒng)的學(xué)生成績(jī)通知單中只包含各科成績(jī)的列表，信息量比較少，缺乏成績(jī)的分布信息，所以家長(zhǎng)很難了解學(xué)生的學(xué)生情況。例如某門課程的成績(jī)90分，這并不能說(shuō)明該學(xué)生學(xué)習(xí)水平高，可能本次試卷簡(jiǎn)單，90分也許是全班的最低成績(jī)；因?yàn)樵嚲黼y度不同，分?jǐn)?shù)會(huì)表現(xiàn)出不同的差異，僅僅通過(guò)考試的成績(jī)很難對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行正確評(píng)價(jià)。文獻(xiàn)[1-3]中作者使用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法分析學(xué)生成績(jī)，從不同的角度展示成績(jī)的分布特點(diǎn)，但是結(jié)果復(fù)雜需要相關(guān)的專業(yè)知識(shí)才能理解。目前成績(jī)分析研究熱點(diǎn)是課程的重要性分析和關(guān)聯(lián)度分析[4-8]。

利用學(xué)生成績(jī)總體呈正太分布的特點(diǎn)，結(jié)合正態(tài)分布理論，學(xué)生的成績(jī)可以劃分為5個(gè)不同的等級(jí)。這種劃分方法不僅可以描述成績(jī)的整體分布情況，而且還可以的描述個(gè)體與整體之間的關(guān)系。有利于了解學(xué)生的個(gè)人學(xué)習(xí)情況和整體的成績(jī)分布。

2 原理介紹

近幾年關(guān)于學(xué)生成績(jī)分布的研究都認(rèn)為：學(xué)生的成績(jī)一般都呈正太分布[9-11]，文獻(xiàn)[11]中作者利用R語(yǔ)言對(duì)一高等學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了分析，再次證明了學(xué)生的成績(jī)呈正態(tài)分布，同時(shí)作者還進(jìn)一步解釋了學(xué)生成績(jī)與正態(tài)分布之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。在正態(tài)分布理論認(rèn)為學(xué)生的成績(jī)應(yīng)該集中分布在平均分附近，多數(shù)人的智力水平都處于平均水平，成績(jī)?cè)竭h(yuǎn)離平均分，人數(shù)越少，其分布圖類似一個(gè)對(duì)稱的山峰。利用概率可以把學(xué)生的成績(jī)劃分為優(yōu)、良、中、低和差5個(gè)等級(jí)。以圖1為例，人數(shù)最多的區(qū)域被劃分為中間水平，覆蓋了50%的學(xué)生對(duì)應(yīng)圖中Q1和Q3之間的區(qū)域；兩端的24.65%分別被劃分良和低，成績(jī)良好的占24.65%，對(duì)應(yīng)圖中的UCL和Q3之間的區(qū)域，成績(jī)低的也占24.65%，對(duì)應(yīng)圖中LCL和Q1之間的區(qū)域。優(yōu)秀的數(shù)量和差的數(shù)量最少，分布在最兩端共占0.7%。

Box線箱圖基于上述的劃分原則，按照比例對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化展示。箱子（矩形區(qū)域，如圖2所示）的上下邊界分別對(duì)應(yīng)Q1和Q3，上尾線對(duì)應(yīng)UCL，下尾線對(duì)應(yīng)LCL。利用box線箱圖可以清楚地看到班級(jí)的成績(jī)分布和個(gè)人的成績(jī)所處的位置，不同課程進(jìn)行比較，還可以了解課程之間的難度差異。

線箱圖中沒(méi)有出現(xiàn)班級(jí)中其他學(xué)生的成績(jī)，保護(hù)了其他學(xué)生隱私。但是通過(guò)觀察箱子、尾線和原點(diǎn)（黃色的原點(diǎn)表示學(xué)生的成績(jī)位置，如圖2所示）的位置，可以讓學(xué)生和家長(zhǎng)非常容易地了解到班級(jí)整體的成績(jī)分布和學(xué)生個(gè)人成績(jī)的位置。

3 分析實(shí)例

以表1的學(xué)生成績(jī)?yōu)槔１碇械摹禖語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)實(shí)習(xí)》成績(jī)是90分，《英語(yǔ)》是69分。如果按照成績(jī)的高低評(píng)判，《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)實(shí)習(xí)》成績(jī)遠(yuǎn)高于英語(yǔ)的成績(jī)，多數(shù)人很容易認(rèn)為該學(xué)生的《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)實(shí)習(xí)》成績(jī)好，英語(yǔ)的成績(jī)差，但實(shí)際情況卻恰恰相反。

同樣的學(xué)生成績(jī)，使用線箱圖進(jìn)行可視化分析結(jié)果就和之前的分析出現(xiàn)了明顯的。圖2是該學(xué)生的線箱圖，在圖中的每一列分別代表一門課程，課程代碼與表1中的代碼相同。圖2中的C2列是《C語(yǔ)言程序設(shè)計(jì)實(shí)習(xí)》的成績(jī)分布，藍(lán)色的矩形框是50%學(xué)生成績(jī)的分布區(qū)域，黃色的點(diǎn)為當(dāng)前學(xué)生的成績(jī)?？梢郧逦乜闯鲭m然該門課程的成績(jī)是90分，但是該學(xué)生的成績(jī)?nèi)蕴幱谄骄健7列為英語(yǔ)成績(jī)，雖然學(xué)生的成績(jī)是69分，但是圖中的黃點(diǎn)已經(jīng)明顯的超出了矩形框的上邊界，說(shuō)明該學(xué)生的成績(jī)高于班級(jí)的平均水平。

課程C2的矩形區(qū)域比C7的長(zhǎng)，說(shuō)明C2的成績(jī)比C7的成績(jī)分散，成績(jī)分散說(shuō)明成績(jī)的集合的方差比較大，意味著學(xué)生之間的差異比較大。C2中箱子位置比C7的位置高，說(shuō)明C2的成績(jī)整體比C7的成績(jī)高，位置高說(shuō)明班級(jí)中多數(shù)人的成績(jī)都比較高，學(xué)習(xí)效果比較好。線箱圖按照成績(jī)?nèi)藬?shù)的分布劃分成績(jī)等級(jí)，等級(jí)的界定與成績(jī)本身沒(méi)有關(guān)系至于人數(shù)的多少有關(guān)系，這樣能很好體現(xiàn)個(gè)體在群體中的排名位置。

對(duì)比表1和圖2的結(jié)果發(fā)現(xiàn)：表1中的課程只有成績(jī)沒(méi)有標(biāo)識(shí)等級(jí)區(qū)域，學(xué)生的等級(jí)只能按照成績(jī)分?jǐn)?shù)來(lái)判斷，二在圖2中不僅可以看到成績(jī)而且還可以清楚地看到成績(jī)所處的等級(jí)區(qū)域，按照表對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)行登記劃分出出現(xiàn)一些偏差，例如，表1中課程C7的成績(jī)只有69分，C2的成績(jī)有90分，僅從這個(gè)數(shù)字來(lái)衡量，很容易錯(cuò)誤地認(rèn)為該學(xué)生課程C2的成績(jī)等級(jí)比C7的等級(jí)高。但是，在圖2中C2的成績(jī)處于平均水平，而C7的成績(jī)卻高于平均水平，等級(jí)排名比較靠前。

單純地依靠成績(jī)來(lái)衡量學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，不能客觀全面地反應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和水平。課程難度差異和試卷難度差異都會(huì)對(duì)這個(gè)評(píng)價(jià)結(jié)果產(chǎn)生比較大的影響。而通過(guò)線箱圖來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，重點(diǎn)考察成績(jī)的分布特點(diǎn)和個(gè)人的排名位置，反映的是學(xué)生在班集體中的學(xué)習(xí)水平。因此后者的排名更為科學(xué)合理。

4 總結(jié)

基于線箱圖的學(xué)生成績(jī)分析方法可以對(duì)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行等級(jí)劃分，可以展示課程成績(jī)的分布特點(diǎn)。教學(xué)機(jī)構(gòu)使用該方法，可以快速地掌握學(xué)校的教學(xué)情況。使用該方法進(jìn)行不同課程之間的比較，可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)課程難易程度的差異；進(jìn)行相同課程之間的比較，可以發(fā)現(xiàn)不同班級(jí)之間的差異。使用線箱圖制作成績(jī)通知單，圖中不出現(xiàn)其他學(xué)生的成績(jī)信息，保護(hù)了其他學(xué)生的個(gè)人隱私，同時(shí)又能夠清晰地把學(xué)生的成績(jī)、成績(jī)等級(jí)和大概位次告知家長(zhǎng)，方便家長(zhǎng)有目的地對(duì)學(xué)生進(jìn)行家庭輔導(dǎo)。

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【通聯(lián)編輯：謝媛媛】