江蘇省姜堰中學(xué) 張圣官
“排列”與“組合”問題的求解往往需要縝密的思維方式和獨(dú)特的解決辦法,考慮稍有不周便會(huì)出現(xiàn)“重復(fù)”或“遺漏”而導(dǎo)致計(jì)數(shù)的結(jié)果發(fā)生偏差,在初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)我們首先要把握定義的實(shí)質(zhì).
通俗地講,排列即有序,組合即無序,“有序”或“無序”是區(qū)分“排列”與“組合”的重要標(biāo)志.從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中取三個(gè)不同的數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),這時(shí)要考慮有序,如123與213就是其中不同的兩個(gè)排列;而從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中取三個(gè)不同的數(shù)組成一個(gè)集合,這時(shí)是無序的,像{1,2,3}就是其中一個(gè)組合.例如,從1,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相乘可得多少個(gè)不同的積?從1,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)相除可得多少個(gè)不同的商?第一個(gè)“無序”是組合問題,結(jié)果為C24=6;第二個(gè)“有序”是排列問題,結(jié)果為A24=12.當(dāng)然,第二題也可以分步進(jìn)行,先從4個(gè)數(shù)中選兩個(gè),再將選出的兩數(shù)按分子、分母討論,一樣可得結(jié)果為C24·A22=12.事實(shí)上,Amn=Cmn·Amm是永遠(yuǎn)成立的.
碰到有關(guān)順序一定的計(jì)數(shù)問題怎么辦?例如讓5個(gè)人排成一排,要求其中甲、乙兩人中甲必須在乙的左邊(可相鄰或不相鄰),排法有多少種?結(jié)果為怎樣解釋呢?在5人全排列A55中每一種都算了A22次(甲在乙左邊或甲在乙右邊),因此符合事實(shí).當(dāng)然,換個(gè)角度思考,第一步從5個(gè)座位中選2個(gè)座位讓甲、乙兩人去坐,由于甲在乙的左邊,兩人確定地坐下了,第二步讓另外3人隨便坐,這樣結(jié)果為C25·A33=60,結(jié)果一樣正確.從這個(gè)意義講,“排列”與“組合”又是辯證統(tǒng)一的.比如,要求有多少個(gè)百位數(shù)字、十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字依次減小的三位數(shù)?用或C39+C29或C310都行,你能分別給以解釋嗎?
我們教材中所學(xué)的“排列”與“組合”,前提條件首先必須是“從n個(gè)不同的元素中取出m 個(gè)(不同)元素”.之所以要突出“不同”兩字,說明相同元素問題可不能直接套用排列組合公式.
例1(1)若a,b∈{3,4,5},則函數(shù)f(x)=ax2+bx 有多少條不同的對(duì)稱軸?
(2)若{a,b}?{3,4,5},則函數(shù)f(x)=ax2+bx 有多少條不同的對(duì)稱軸?
解析二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=故只要研究有多少個(gè)不同的的值即可,都有順序但要注意兩小題的區(qū)別.第(1)小題中a,b∈{3,4,5},當(dāng)a,b不同時(shí)有6個(gè)不同的的值,當(dāng)a,b相等時(shí)因此共有7條不同的對(duì)稱軸;第(2)小題中{a,b}?{3,4,5},說明a,b必須不相等,因此只有6條不同的對(duì)稱軸.
換一個(gè)角度來看,在某些計(jì)數(shù)問題中,我們還要善于在關(guān)于“相同元素”的問題中挖掘出不同因素,這樣才能運(yùn)用排列或組合解題.
例25個(gè)“1”與2個(gè)“2”可以組成多少個(gè)不同的數(shù)列?
解析按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.由于7個(gè)位置不同,故只要優(yōu)先選兩個(gè)位置安排好“2”,剩下的位置填“1”(也可先填“1”再填“2”,思考一下兩種方法的優(yōu)劣).因此,一共可以組成C27C55=21個(gè)不同的數(shù)列.問題如果改成:“將5個(gè)相同的紅球與2個(gè)相同的白球排成一排,問有多少種不同的結(jié)果”,答案其實(shí)是一樣的.
點(diǎn)評(píng)本題還可以分類解決.先把5個(gè)“1”放好,再把2個(gè)“2”插入.但要注意分兩個(gè)“2”在一起和分開在兩處兩種情形討論.結(jié)果為有C16+C26=21個(gè)不同的數(shù)列.
例310個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中,要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)小球,問有多少種不同的方法?
解析小球相同但盒子不同,本題相當(dāng)于將10個(gè)相同小球分成3堆,可將10個(gè)球一字排開,中間有9個(gè)空檔,在這9個(gè)空檔中選2個(gè)插入2個(gè)隔板,每一種插法對(duì)應(yīng)一種放小球的方法.因此,共有C29=36種放法.這種解題方法稱為“隔板法”.
排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)模型,求解的基本手法是準(zhǔn)確利用兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理,首先要考慮分類或分步,然后常常是先組后排,最終要確保結(jié)果“不重不漏”.
例4如圖1,一環(huán)形花壇分成A,B,C,D 共4塊,現(xiàn)有4種不同的花供選擇,要求在每塊里種1種花且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法為_______.
圖1
解法一先按A,C 是否選種相同的
解法二按選種幾種花來分類求解.若選種4種花有A44種;若選種3種花,則有A,C種同一種花,B,D 種另2種花,或者B,D 種同一種花,A,C 種另2種花兩種情形,2C34A33種;若選種2種花,則A,C與B,D 分別種同一種花,C24A22種.總共84種.最后通過一則教學(xué)案例,來說明利用排列組合定義解題時(shí)的一些注意點(diǎn).
師:把形狀大小完全相同的分別標(biāo)有1,2,3的3個(gè)小球隨機(jī)地放在編號(hào)分別是1,2,3,4的4個(gè)盒子中,則1號(hào)盒子內(nèi)有球的不同放法有多少種?
生1(先下手為強(qiáng)):先從3個(gè)球中任取一個(gè)放在1號(hào)盒內(nèi),其余2球任意放,得=48種放法.(因重復(fù)計(jì)數(shù)而犯錯(cuò))
生2(折半扣除):以上解法重復(fù),應(yīng)折半扣除,只有24種.(因出現(xiàn)新的遺漏致誤)
生3(套用隔板):由隔板法得C25=10種.(視3個(gè)球完全相同而致誤)
生4(抓1號(hào)球分類求解):按1號(hào)球放“1號(hào)盒、2號(hào)盒、3號(hào)盒、4號(hào)盒”分類.第1類,1號(hào)球在1號(hào)盒內(nèi)且另2球任意放,有C14C14種;第2類時(shí),1號(hào)盒又分有1球或有2球兩種情形,有種;第3類、第4類與第2類相同.因此共有C14C14+3(C12C13+C22)=37種放法.(特殊元素法)
生5(抓1號(hào)盒分類求解):按1號(hào)盒內(nèi)分別放“1個(gè)球、2個(gè)球、3個(gè)球”來分類.有=37種.(特殊位置法)
生6(正難則反):3個(gè)球任意放有43種,其中1號(hào)盒無球的有33種,故符合條件的共有43-33=37種.(間接法)
生7(追根究底):無疑37種為正確答案了,生1多了,生2折半又少了,是怎么產(chǎn)生的?
生8(指點(diǎn)迷津):在C13C14C14=48種放法中,當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)只放1個(gè)球時(shí)不會(huì)出現(xiàn)重復(fù);當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)放2個(gè)或3個(gè)球時(shí)就出現(xiàn)重復(fù).假如放入1號(hào)盒內(nèi)為“1號(hào)、2號(hào)球”,則按“1號(hào)、2號(hào)先后順序”與“2號(hào)、1號(hào)先后順序”放入屬同一種放法,但在C13C14C14中當(dāng)成了不同,因此會(huì)出現(xiàn)種重復(fù)應(yīng)予扣除;而當(dāng)1號(hào)盒內(nèi)放3個(gè)球時(shí)只有1種放法,但在C13C14C14中計(jì)成了3種.故正確放法有=37種.