運用畫圖策略 培養(yǎng)兒童幾何直觀

江蘇南京致遠外國語小學(xué)分校 王 靜

“幾何直觀”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的十大核心概念之一。雖然，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有出現(xiàn)“幾何直觀”的定義，但小學(xué)數(shù)學(xué)諸多問題的呈現(xiàn)、分析等過程充分體現(xiàn)了“幾何直觀”的作用和價值。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾也曾說：“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念、方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦?！币虼耍P者一直在思考，在小學(xué)階段如何運用畫圖策略培養(yǎng)兒童的幾何直觀？

一、重視畫圖，培養(yǎng)幾何直觀意識

數(shù)學(xué)中的“幾何直觀”究竟指什么？數(shù)學(xué)家克萊因指出，“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數(shù)學(xué)的直觀就是對概念、證明的直接把握?！薄读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中也指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果?！边@段闡述明確指出圖形是培養(yǎng)兒童幾何直觀的重要載體。因此，筆者認(rèn)為，培養(yǎng)兒童的畫圖意識，運用好畫圖的策略對培養(yǎng)兒童幾何直觀能力有著重大意義。

1.低起點：以圖求解——變模糊為清晰

兒童的認(rèn)知發(fā)展一般經(jīng)歷三個階段：動作感知—形成表象—建立概念。而在小學(xué)階段，畫圖的做法就符合這一規(guī)律，將抽象的思考對象 “圖形化”。教師培養(yǎng)學(xué)生畫圖首先從低起點開始，通過簡單的圖（圖形直觀、簡潔）讓兒童體會。如三年級在學(xué)習(xí)“倍數(shù)”的知識時，教材中對“什么是倍”并沒有給出語言定義，而是通過簡單的圖（如圖1）畫一畫、圈一圈的方法感受“倍”的含義。那么，運用這樣的直觀教學(xué)，將“6是2的3倍”這樣的文字表述借助圖形就能解釋得清晰明了：每2個是一份，有這樣的3份，就是2的3倍。模糊的“倍”與清晰的“份數(shù)”相結(jié)合，學(xué)生就能直觀感受到畫圖的重要作用，為畫圖意識的培養(yǎng)助力。

圖1

2.慢滲透：以形助數(shù)——變抽象為具體

數(shù)學(xué)家華羅庚對“數(shù)”與“形”有過非常精辟的刻畫：形使數(shù)更直觀，數(shù)使形更入微。數(shù)形結(jié)合作為一種重要的思想方法，是把數(shù)學(xué)問題中的運算、數(shù)量關(guān)系等與幾何圖形和圖像結(jié)合起來思考，從而使“數(shù)”與“形”優(yōu)勢互補，展現(xiàn)邏輯思維與形象思維的完美統(tǒng)一。在蘇教版三年級上冊第一單元中有這樣一道思考題：小欣家離學(xué)校850米，一天早晨，她從家出發(fā)去學(xué)校上學(xué)，大約走到總路程的一半時，發(fā)現(xiàn)忘記帶數(shù)學(xué)書。于是又回家拿書，再去學(xué)校。這天早晨，小欣上學(xué)大約一共走了多少米？

筆者對學(xué)生們提出如下要求：你能把小欣上學(xué)的過程在本子上畫下來嗎？以下三幅圖是學(xué)生的代表作品，圖2-1將學(xué)校、小欣家還有人物都畫了出來，數(shù)學(xué)里透露出童趣；圖2-2用小圓圈代表學(xué)校和小欣家，將線和“一半”“回去”“又去學(xué)校”這些關(guān)鍵詞相結(jié)合，這是從抽象到半抽象的一次轉(zhuǎn)變；圖2-3是一幅常見的線段圖，學(xué)生已經(jīng)不再借助房子、小人、圓圈來表征信息，幾條線就已經(jīng)將條件表示得清清楚楚了。這三幅圖從稚嫩到成熟，層次不一樣，但學(xué)生們的幾何直觀都得到了發(fā)展。

圖2-1

圖2-2

圖2-3

學(xué)生從低起點的感知到逐漸滲透，用畫出來的“形”來刻畫和解釋數(shù)學(xué)知識，感受到幾何直觀的價值，滲透幾何直觀的意識。

二、豐富模型，提升幾何直觀理解

圖形有助于將抽象的數(shù)學(xué)對象直觀化，利于培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)直觀領(lǐng)悟能力，而圖形模型的建立則是從若干具體情境中抽象出問題的本質(zhì)，全方位培養(yǎng)兒童幾何直觀理解能力及初步的模型思想。以下介紹兩種在小學(xué)階段常見的畫圖模型。

1.線段圖模型

小學(xué)一年級起，教師就應(yīng)該有培養(yǎng)學(xué)生畫示意圖的意識，3可以畫成3個△。在蘇教版教材中，學(xué)生第一次正式認(rèn)識線段圖是在三年級，用來表示數(shù)量之間的關(guān)系，幫助學(xué)生分析并解決問題。

如四年級下冊“解決問題的策略”是解決和差問題。學(xué)生讀題獲取數(shù)學(xué)信息：兩人共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，求兩人各有多少枚郵票。這時，教師提問：你能想到什么辦法幫助我們直觀地、很清楚地看清數(shù)量之間的關(guān)系嗎？還有能找到解決問題的辦法嗎?同學(xué)們紛紛回答：畫線段圖。在教師的引導(dǎo)下學(xué)生讀懂書中的半成品線段圖 （如圖3），并且補充完整信息，解決問題。

圖3

在小學(xué)階段，和差、和倍、差倍問題，還有行程問題等，都可以用線段圖厘清數(shù)量關(guān)系，學(xué)生的認(rèn)知難點得到了突破，問題得以解決。因此，在小學(xué)階段，畫線段圖是非常重要的解題策略。

2.面積圖模型

畫面積圖是解決問題的另一種策略。學(xué)生利用面積變化圖將一些表述復(fù)雜、晦澀的文字變得直白形象，從而有效地分析條件，探尋出解題路徑。在四年級學(xué)習(xí)“畫圖解決問題的策略”時，教師出示這樣一道題：李鎮(zhèn)小學(xué)有一塊長方形試驗田。如果這塊試驗田的長增加6米，或者寬增加4米，面積都比原來增加48平方米。你知道原來試驗田的面積是多少平方米嗎？此題條件較多，光靠想象無法準(zhǔn)確解決問題。畫出面積圖就能很直觀地看出題意（如圖4、圖5），圖4描述的是“長增加6米，面積比原來增加48平方米”這一條件，由此可以求出原來長方形的寬=48÷6=8（米）；圖5描述的是“寬增加4米，面積比原來增加48平方米”，從而可以求出原來長方形的長=48÷4=12（米）。

圖4

圖5

三、內(nèi)化積淀，發(fā)展幾何直觀思想

幾何直觀能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，必須經(jīng)過長期的、有意識的訓(xùn)練。學(xué)生在運用多種圖形模型解決實際問題的過程中可以積累豐富的數(shù)學(xué)畫圖經(jīng)驗，體會畫圖策略的價值，并形成自覺地應(yīng)用，進而發(fā)展其數(shù)學(xué)思想。

1.借形觀數(shù)，多元表征，積累直觀經(jīng)驗

教師在教學(xué)中把幾何直觀運用得越充分，直觀的效果越明顯，學(xué)生的直觀表現(xiàn)意識就會越強烈。如在教學(xué)12×14這樣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算時，教師通常會從情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生理解算理：12×4和12×10分別表示的意義，進而厘清算法。而當(dāng)教學(xué)時呈現(xiàn)直觀模型圖（如圖6）后，學(xué)生對直觀的理解也就更加深刻。

圖6

所以，借助圖來直觀表征數(shù)學(xué)計算問題，理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，在圖與式的勾連中，讓學(xué)生深刻理解算理，體會兩位數(shù)乘兩位數(shù)的本質(zhì)：乘法意義與乘法分配律。強烈的直觀表征，會為發(fā)展和形成幾何直觀思想奠定堅實的基礎(chǔ)。

2.借形思法，聯(lián)想頓悟，發(fā)展幾何思想

借助幾何直觀圖，學(xué)生可以進行推理、演繹以獲得一些解題的一般思路。而當(dāng)學(xué)生的幾何直觀能力發(fā)展到一定水平時，學(xué)生還能夠獨辟蹊徑，直觀頓悟出一些特殊的方法，形成創(chuàng)造性的解題思路。如教學(xué)六年級上冊“長方體和正方體的認(rèn)識”這一單元時，教師根據(jù)題目提出問題：水箱高度是水面高度的3倍，這個水箱還能盛水多少升？學(xué)生根據(jù)題意畫出直觀圖，標(biāo)好有關(guān)的條件數(shù)據(jù)（如圖7）：

圖7

一般情況下學(xué)生能找到常規(guī)的思路和方法“水箱的體積-水的體積”，用50÷（5×5）=2（分米），2×3=6（分米），5×5×6-50=100（升）。但也有學(xué)生從圖中就直接頓悟出50×2=100（升），這表明學(xué)生經(jīng)過長期的幾何直觀能力訓(xùn)練后，已經(jīng)能借形思法，實現(xiàn)頓悟。

綜上所述，幾何直觀能力的培養(yǎng)離不開畫圖策略的運用。作為一線教師，需要鉆研教材，幫助學(xué)生養(yǎng)成畫圖意識，逐步培養(yǎng)他們運用幾何直觀來描述和分析問題的能力，進而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。?