指示變量隨機缺失下變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸

寧黎明，何曉霞，王志明

(武漢科技大學(xué)理學(xué)院，湖北 武漢，430065)

刪失數(shù)據(jù)廣泛存在于金融、生物、醫(yī)學(xué)、工程等研究領(lǐng)域。為了更好地對刪失數(shù)據(jù)進行分析，各種統(tǒng)計模型相繼出現(xiàn)，較早的有Cox提出的比例風(fēng)險模型[1]，但其中一些假設(shè)在現(xiàn)實中是不成立的。隨后Cox等[2]又提出了加速失效時間(accelerated failure time, AFT)模型：logT=XTβ+ε，將失效時間的對數(shù)表示為協(xié)變量的線性組合。AFT模型很顯然是有意義的，但在實際應(yīng)用中，不可能保證所有協(xié)變量對生存時間都有線性影響，因此研究人員又提出了部分線性變系數(shù)模型，它在線性回歸模型的基礎(chǔ)上增加了非線性部分，使得整個模型具有更強的可塑性，通常采用局部多項式和光滑樣條來估計其非參數(shù)部分?；诰植慷囗検椒椒ǎ琙hang等[3]研究了半變系數(shù)模型，而Fan等[4]研究了協(xié)變量帶測量誤差情況下的懲罰經(jīng)驗似然估計。Zhao等[5]基于B樣條估計，得到半?yún)?shù)部分線性變系數(shù)模型的模態(tài)回歸。

分位數(shù)回歸較普通的均值回歸更加靈活，其應(yīng)用也得到了迅速發(fā)展。何曉霞等[6]針對右刪失數(shù)據(jù)，得到光滑回歸函數(shù)的組合分位數(shù)回歸估計。Wang等[7]對非參數(shù)部分采用B樣條近似，得到部分線性變系數(shù)模型在縱向數(shù)據(jù)情形下的分位數(shù)回歸。Shen等[8]運用局部多項式方法，在指示變量缺失的條件下得到部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸估計。由于局部多項式的計算速度較慢，因此本文采用B樣條估計，研究刪失指示變量缺失情形下部分線性變系數(shù)模型的分位數(shù)回歸。

1 模型描述

本文考慮右刪失數(shù)據(jù)情形下的部分線性模型

(1)

由于數(shù)據(jù)右刪失，故只能觀察到(Xi,Ui,Zi,Yi)，其中Yi=min(Ti,Ci)，Ci是隨機刪失時間。定義刪失指示量δi=I(Ti≤Ci)以及缺失指示量ξi，其中I為示性函數(shù)，如果δi被觀測到存在缺失時ξi=1，否則ξi=0。另外，記Hi=(Xi,Zi,Ui)。

2 估計方法和主要結(jié)論

2.1 樣條近似和估計

(1)s限制在任何區(qū)間IMi(0≤i≤M)上是r次多項式；

(2)對r≥2，s在區(qū)間[a,b]上是r次連續(xù)可微的。

由文獻[10]，對Sn存在標準化的B樣條基{Bω,1≤ω≤mn}，其中mn=M+r是Sn的維數(shù)。因此對于任意函數(shù)αn(t)∈Sn，能夠得到

(2)

在合理的平滑假設(shè)條件下，可以通過Sn中的基函數(shù)來逼近任意平滑函數(shù)。因此模型(1)中對α*的估計就可以轉(zhuǎn)化為估計αω。

(3)

進一步地，式(3)又可以寫為

(4)

其中Wi=Ip?B(Ui)·Xi且γ=(α1,α2,…,αmn)T，cτk是誤差ε的τk分位數(shù)。

(5)

(6)

在刪失指示量隨機缺失的情況下，對于G(·)的估計不能再使用較為常見的Kaplan-Meier估計。參照文獻[11]，這里給出G(·)的估計：

(7)

(8)

2.2 估計量的理論性質(zhì)

為了分析估計量的理論性質(zhì)，首先給出以下假設(shè)條件：

(C1) 對于任意α*∈Ψ，有E[α*(Ui)]=0。

(C2) 協(xié)變量U有密度函數(shù)fU(u)且存在兩個常數(shù)c1和c2，使得在[a,b]區(qū)間上，有0

(C3)Ci獨立于(Zi,Ui)和Ti。

(C4) 對于任何t∈[0,τ]，P(t≤T≤C)≥ζ0，其中ζ0是正常數(shù)。

(C5)ε1,ε2,…,εn有共同的連續(xù)可微的概率密度函數(shù)f(·)，滿足0

(C7) 定義aH=inf{t∶H(t)=1},aG=inf{t∶G(t)=1}，令aH

條件(C1～C2)是一般性假定，條件(C3～C5)是生存分析背景下的常規(guī)設(shè)定，條件(C6)保證定理1的證明中所定義矩陣D的特征值是有界的并且遠離零,條件(C7)表示G(Yi)遠離零。

關(guān)于估計量的性質(zhì)，本文有下述結(jié)論。

定理1假設(shè)條件(C1～C7)成立，可以得到

其中，D1和Σ的定義在定理1的證明中給出。假設(shè)mn=O(n1/(2p+1))，定理1的結(jié)論(II)也可寫為

3 定理的證明

3.1 三條引理

引理2假設(shè)條件(C1～C7)成立，最小化式(8)等同于最小化下式：

(9)

同時，可以得到

因此A2=op(1),A3=op(1)。

基于以上結(jié)論，可以得到

(10)

(11)

而

=op(1)

(12)

(13)

根據(jù)引理1和引理2，可以得到

(14)

結(jié)合式 (13) 和式(14) 就可以得到式(11)。

3.2 定理1的證明

定義如下矩陣：

D-1=

令

=op(1)。

下面證明定理1的結(jié)論(II)。由式(11)也可得到:

則可以得到

因此，

(15)

根據(jù)I2的定義與如下等式:

有

(16)

結(jié)合式 (15)～式(16)，有

因此

4 數(shù)值模擬與實例驗證

4.1 蒙特卡洛模擬

本文采用R軟件中的lpsolve包解決此線性規(guī)劃問題。

樣本數(shù)據(jù)由以下模型產(chǎn)生：

Ti=b1zi1+b2zi2+α(Ui)Xi+εi,i=1,…,n

(17)

評價非參數(shù)部分估計效果采用均方誤差指標：

(18)

本文應(yīng)用3種方法處理缺失數(shù)據(jù)：校準方法(Calibration Method, CA)和插補方法 (Imputation Method, IM)以及完全記錄分析(Complete Case Analysis, CC)方法。CC方法的基本思路就是直接忽略那些有缺失記錄的個體，再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法去處理剩下的數(shù)據(jù)集，該方法的缺點是，當缺失數(shù)據(jù)太多時得不到有效的估計。IM方法是對缺失的數(shù)據(jù)進行填補，然后再用傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法去處理整個數(shù)據(jù)集，其缺點也很明顯，對缺失的數(shù)據(jù)進行填補亦要選擇合適的方法，否則不會得到較好的估計。CA方法是用當前的可觀測數(shù)據(jù)來估計參數(shù)，通過給定參數(shù)的形式產(chǎn)生模擬數(shù)據(jù)，即對包含缺失在內(nèi)的整個數(shù)據(jù)集進行估計。

設(shè)置模擬次數(shù)為200、q=5，誤差服從N(0,1)和t(5)分布的計算結(jié)果分別見表1和表2，其中MSE為200次模擬均值。另外，在表1中，CR為10%和20%時所對應(yīng)的刪失時間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.1和0.19；在表2中，CR為10%和20%所對應(yīng)的刪失時間指數(shù)分布參數(shù)分別為0.08和0.16。

從表1和表2的結(jié)果可以看出:①對比不同的處理缺失數(shù)據(jù)方法，CA方法最好，IM方法其次，CC方法最差，表明本案例選用數(shù)據(jù)校準方法比較合適，而CC方法在不是完全隨機缺失的假設(shè)下只能得到有偏的估計，所以在本案例中的估計效果是最差的。②隨著樣本數(shù)量的增多，估計結(jié)果的偏差也逐漸變小，這與估計的大樣本性相符。③當刪失率和丟失率增大時，估計偏差隨之變大，這也從側(cè)面說明了估計的大樣本性，在足夠的樣本容量下，配合適當?shù)墓烙嫹椒ú拍艿玫胶玫墓烙嫿Y(jié)果。④在樣本量一定的情況下，相較于丟失率的變化，刪失率的變化對最后的估計結(jié)果影響更大。

4.2 實例分析

實例分析數(shù)據(jù)來源于文獻[15]。該數(shù)據(jù)是基于“東部腫瘤合作組織”(Eastern Cooperative Oncology Group)進行的一次臨床試驗，其對象是II 期女性乳腺癌患者，目的是比較三苯氧胺(tamoxifen)和安慰劑對于該病的療效。在參與試驗的170 名對象中，只關(guān)注其中79 個在試驗結(jié)束前死亡的病患。根據(jù)報告可知，這個試驗的死亡原因數(shù)據(jù)并不完全。在這79 個死亡對象中， 44人死于乳腺癌，17 人死于已知的其他原因，剩下的18 名死于未知原因。為了適用于本文模型，在下面的數(shù)據(jù)分析中，采用的都是生存時間(單位：d)的對數(shù)值，記作Y。設(shè)指標δ顯示死亡是否由乳腺癌引起，指標ξ顯示死因是否已知。另外，變量Z1表示病人服用藥物情況(1，三苯氧胺；0，安慰劑)；變量Z2表示病人雌激素受體蛋白狀態(tài)(1，陽性；0，陰性)；X為病人腋淋巴結(jié)個數(shù);U為腫塊的大小。模型如下：

表1 誤差服從N(0,1)分布的模擬結(jié)果

表2 誤差服從t(5)分布的模擬結(jié)果

Y=b1Z1+b2Z2+α(U)X+ε

(19)

實例分析時采用的缺失數(shù)據(jù)處理方法為CA和IM，參數(shù)估計結(jié)果見表3，非參數(shù)部分的估計結(jié)果見圖1。由表3可見，所有的系數(shù)估計值都是正值，但是變量Z1的系數(shù)估計值比較小，也就是說，乳腺癌患者的生存時間雖然沒有受到“是否接受藥物治療”這個因素的顯著性影響，但若服用三苯氧胺，病人存活的時間還是可以延長；另外雌激素受體蛋白狀態(tài)為陽性也能增加生存時間，變量Z2的系數(shù)相對比較大，可見該因素對乳腺癌患者生存時間的影響更顯著一些。上述計算結(jié)果與文獻[11]的結(jié)論基本一致。根據(jù)圖1，非參數(shù)部分估計值意味著腫塊的增大會導(dǎo)致生存時間的減少，這與文獻[15]中的試驗結(jié)果是一致的。

表3 參數(shù)估計結(jié)果

圖1 非參數(shù)部分估計結(jié)果

[1] Cox D R. Regression models and life-tables[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 1972,34(2):187-220.

[2] Cox D R, Oakes D. Analysis of survival data[M]. London: Chapman and Hall, 1984:593.

[3] Zhang W Y, Lee S-Y, Song X Y. Local polynomial fitting in semivarying coefficient model[J]. Journal of Multivariate Analysis, 2002,82:166-188.

[4] Fan G L, Liang H Y, Shen Y. Penalized empirical likelihood for high-dimensional partially linear varying coefficient model with measurement errors[J]. Journal of Multivariate Analysis, 2016,147:183-201

[5] Zhao W H, Zhang R Q, Liu J C, et al. Robust and efficient variable selection for semiparametric partially linear varying coefficient model based on modal regression[J]. Annals of the Institute of Statistical Mathematics,2014,66(1):165-191.

[6] 何曉霞，劉熙，王志明.右刪失數(shù)據(jù)下回歸函數(shù)的局部組合分位數(shù)回歸估計[J].武漢科技大學(xué)學(xué)報，2016，39(4):309-316.

[7] Wang H J, Zhu Z Y, Zhou J H. Quantile regression in partially linear varying coefficient models[J]. The Annals of Statistics, 2009,37(6B):3841-3866.

[8] Shen Y, Liang H Y. Quantile regression for partially linear varying-coefficient model with censoring indicators missing at random[J]. Computational Statistics and Data Analysis, 2018,117:1-18.

[9] Huang J, Horowitz J L, Wei F R. Variable selection in nonparametric additive models[J]. The Annals of Statistics, 2010,38(4):2282-2313.

[10] Schumaker L L. Spline functions: basic theory[M]. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.,1981.

[11] 李夏炎.刪失指示量隨機缺失情況下回歸模型統(tǒng)計推斷[D].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué), 2011.

[12] Wang Q H, Dinse G E. Linear regression analysis of survival data with missing censoring indicators[J]. Lifetime Data Analysis, 2011,17(2):256-279.

[13] Hjort N L, Pollard D. Asymptotics for minimisers of convex processes[R/OL]. (2011-07-19)[2018-12-13]. https://arxiv.org/abs/1107.3806.

[14] Knight K. Limiting distributions for L1regression estimators under general conditions[J]. The Annals of Statistics, 1998,26(2):755-770.

[15] Cummings F J, Gray R, Davis T E, et al. Tamoxifen versus placebo: double-blind adjuvant trial in elderly women with stage II breast cancer[J]. NCI Monographs: a Publication of the National Cancer Institute, 1986 (1):119-123.